Logarithmen auflösen

Logarithmen können auf den ersten Blick ziemlich einschüchternd wirken, aber sobald du verstanden hast, dass es sich dabei einfach nur um eine andere Schreibweise für eine Exponentialfunktion handelt, sollte dir das Lösen weniger Probleme bereiten. Sobald du den Logarithmus in eine dir vertrautere Form gebracht hast, solltest du ihn wie jede andere Exponentialfunktion lösen können.

Vorgehensweise

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Bevor du beginnst: Umformung einer Logarithmusgleichung in eine Exponentialgleichung^{[1]XForschungsquelle}^{[2]XForschungsquelle}

1
Kenne die Definition eines Logarithmus. Bevor du einen Logarithmus auflösen kannst, musst du zunächst verstehen, dass es sich dabei im Grunde nur um eine andere Schreibweise für eine Exponentialfunktion handelt. Die genaue Definition sieht folgendermaßen aus:
- y = log_b (x)
  - Dies gilt nur, wenn: b^y = x
- Beachte, dass b die Basis des Logarithmus ist. Außerdem muss gelten:
  - b > 0
  - b ≠ 1
- In derselben Gleichung steht y für den Exponenten und x für den Potenzwert, dem der Logarithmus entspricht.
2
Schaue dir die Gleichung an. Wenn du dir deine Aufgabe anschaust, bestimme die Basis (b), den Exponent (y) und den Potenzwert (x).
- Beispiel: 5 = log₄(1024)
  - b = 4
  - y = 5
  - x = 1024
3
Verschiebe den Potenzwert auf eine Seite der Gleichung. Stelle die Gleichung so um, dass der Potenzwert x allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht.
- Beispiel: 1024 = ?
4
Wende den Exponenten auf die Basis an. Der Wert deiner Basis b muss so oft mit sich selbst multipliziert werden, wie es der Exponent y angibt.
- Beispiel: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?
  - Dies könnte man auch als 4⁵ ausdrücken.
5
Schreibe dein Endergebnis auf. Du solltest nun deinen Logarithmus in eine Exponentialgleichung umschreiben können. Überprüfe die Richtigkeit von deinem Ergebnis, indem du nachrechnest, ob beide Seiten der Gleichung den gleichen Wert ergeben.
- Beispiel: 4⁵ = 1024
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Methode 1

Methode 1 von 3:

Methode Eins: Auflösen nach x

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Isoliere den Logarithmus. Nutze Umkehroperationen, um alle Teile der Gleichung, die nicht Teil des Logarithmus sind, auf die andere Seite zu bringen.
- Beispiel: log₃(x + 5) + 6 = 10
  - log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  - log₃(x + 5) = 4
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Schreibe die Gleichung als Exponentialgleichung. Nutze dein Wissen über das Verhältnis zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktionen und forme deine Gleichung in eine einfachere, lösbare Exponentialgleichung um.
- Beispiel: log₃(x + 5) = 4
  - Wenn du diese Gleichung mit der Definition eines Logarithmus [y = log_b (x)] vergleichst, kannst du zu der Schlussfolgerung kommen, dass: y = 4; b = 3; x = x + 5
  - Schreibe die Gleichung so um, dass gilt: b^y = x
  - 3⁴ = x + 5
3
Löse die Gleichung nach x auf. Nachdem du deine Aufgabe in eine normale Exponentialgleichung umgewandelt hast, solltest du diese mit Hilfe der üblichen Rechenschritte lösen können.
- Beispiel: 3⁴ = x + 5
  - 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  - 81 = x + 5
  - 81 - 5 = x + 5 - 5
  - 76 = x
4
Notiere dein Endergebnis. Wenn du deine Gleichung nach x umgestellt hast, erhältst du die Lösung für deinen ursprünglichen Logarithmus.
- Beispiel: x = 76
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Methode Zwei: Anwenden der Produktregel^{[3]XForschungsquelle}^{[4]XForschungsquelle}

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1
Kenne die Produktregel. Die erste Eigenschaft eines Logarithmus, auch bekannt als die "Produktregel", drückt aus, dass der Logarithmus eines Produkts gleich der Summe der Logarithmen aus beiden Faktoren ist. Als Gleichung ausgedrückt:
- log_b(m * n) = log_b(m) + log_b(n)
- Außerdem muss Folgendes gelten:
  - m > 0
  - n > 0
2
Isoliere den Logarithmus. Nutze Umkehroperationen, um alle Teile der Gleichung, die nicht Teil des Logarithmus sind, auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen.
- Beispiel: log₄(x + 6) = 2 - log₄(x)
  - log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(x)
  - log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
3
Wende die Produktregel an. Wenn in der Gleichung zwei Logarithmen addiert werden, kannst du die Produktregel anwenden, um diese in einem Logarithmus zusammenzufassen.
- Beispiel: log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
  - log₄[(x + 6) * x] = 2
  - log₄(x2 + 6x) = 2
4
Schreibe die Gleichung als Exponentialgleichung. Denke daran, dass ein Logarithmus nur eine andere Schreibweise für eine Exponentialgleichung ist. Nutze die Definition des Logarithmus, um die Gleichung in eine lösbare Form umzuschreiben.
- Beispiel:log₄(x² + 6x) = 2
  - Wenn du diese Gleichung mit der Definition eines Logarithmus [y = log_b (x)] vergleichst, kannst du zu der Schlussfolgerung kommen, dass: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  - Schreibe die Gleichung so um, dass gilt: b^y = x
  - 4² = x² + 6x
5
Löse die Gleichung nach x auf. Nachdem du deine Aufgabe in eine normale Exponentialgleichung umgewandelt hast, solltest du diese mit Hilfe der üblichen Rechenschritte lösen können.
- Beispiel: 4² = x² + 6x
  - 4 * 4 = x² + 6x
  - 16 = x² + 6x
  - 16 - 16 = x² + 6x - 16
  - 0 = x² + 6x - 16
  - 0 = (x - 2) * (x + 8)
  - x = 2; x = -8
6
Notiere dein Ergebnis. An diesem Punkt solltest du deine Gleichung gelöst haben. Schreibe das Ergebnis in das entsprechende Feld für die Antwort.
- Beispiel: x = 2
- Beachte, dass niemals eine negative Lösung für deinen Logarithmus herauskommen kann, also kannst du dein zweites Ergebnis (x = -8) als Lösung ausschließen.
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Methode Drei: Anwenden der Quotientenregel^{[5]XForschungsquelle}

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Kenne die Quotientenregel. Entsprechend der zweiten Eigenschaft von Logarithmen, auch bekannt als "Quotientenregel", kann der Logarithmus eines Quotienten als Subtraktion des Logarithmus des Nenners vom Logarithmus des Zählers umgeschrieben werden. Als Gleichung ausgedrückt:
- log_b(m / n) = log_b(m) - log_b(n)
- Außerdem muss Folgendes gelten:
  - m > 0
  - n > 0
2
Isoliere den Logarithmus. Bevor du den Logarithmus lösen kannst, musst du alle Logarithmen mit Hilfe von Umkehroperationen auf eine Seite der Gleichung bringen und den Rest der Gleichung auf die andere Seite.
- Beispiel: log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
  - log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
  - log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
3
Wende die Quotientenregel an. Wenn sich zwei Logarithmen in der Gleichung befinden und einer vom anderen subtrahiert wird, kannst und solltest du die Quotientenregel anwenden, um die beiden Logarithmen in einem Logarithmus zusammenzufassen.
- Beispiel: log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
  - log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2
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Schreibe die Gleichung als Exponentialgleichung. Nachdem sich jetzt nur noch ein Logarithmus in der Gleichung befindet, kannst du die Gleichung mit Hilfe der Definition des Logarithmus in eine Exponentialgleichung umschreiben.
- Beispiel: log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2
  - Wenn du diese Gleichung mit der Definition eines Logarithmus [y = log_b (x)] vergleichst, kannst du zu der Schlussfolgerung kommen, dass: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  - Schreibe die Gleichung so um, dass gilt: b^y = x
  - 3² = (x + 6) / (x - 2)
5
Löse die Gleichung nach x auf. Nachdem du deine Aufgabe in eine normale Exponentialgleichung umgewandelt hast, solltest du diese mit Hilfe der üblichen Rechenschritte lösen können.
- Beispiel: 3² = (x + 6) / (x - 2)
  - 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  - 9 = (x + 6) / (x - 2)
  - 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  - 9x - 18 = x + 6
  - 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  - 8x = 24
  - 8x / 8 = 24 / 8
  - x = 3
6
Notiere dein Endergebnis. Überprüfe noch einmal deinen Rechenweg und sobald du dir sicher bist, dass du die richtige Lösung gefunden hast, schreibe sie auf.
- Beispiel: x = 3
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