Как решать логарифмические уравнения

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Сначала научитесь представлять логарифмическое выражение в показательной форме.[1]

Вычисление «х»

Вычисление «х» через формулу для логарифма произведения[3]

Вычисление «х» через формулу для логарифма частного

Показать еще 1...

Показать меньше...

Дополнительные статьи

Источники

На первый взгляд логарифмические уравнения очень сложно решать, но это совсем не так, если уяснить, что логарифмические уравнения — это другой способ записи показательных уравнений. Для решения логарифмического уравнения представьте его в виде показательного уравнения.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 4:

Сначала научитесь представлять логарифмическое выражение в показательной форме.

Загрузить PDF

1. 
   1
   Определение логарифма. Логарифм определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число. Представленные ниже логарифмическое и показательное уравнения равносильны.

   • y = log_b (x)
     • При условии что: b^y = x
   • b — основание логарифма, причем
     • b>0
     • b ≠ 1
   • х — аргумент логарифма, а у — значение логарифма.
2. 
   2
   Посмотрите на данное уравнение и определите основание (b), аргумент (х) и значение (у) логарифма.

   • Пример: 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024
3. 
   3
   Запишите аргумент логарифма (х) на одной стороне уравнения.

   • Пример: 1024 =?
4. 
   4
   На другой стороне уравнения запишите основание (b), возведенное в степень, равную значению логарифма (у).

   • Пример: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?
     • Это уравнение также может быть представлено как: 4⁵
5. 
   5
   Теперь запишите логарифмическое выражение в виде показательного выражения. Проверьте, верен ли ответ, удостоверившись, что обе стороны уравнения равны.

   • Пример: 4⁵ = 1024
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 4:

Вычисление «х»

Загрузить PDF

1. 
   1
   Обособьте логарифм, перенеся его на одну сторону уравнения.

   • Пример: log₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4
2. 
   2
   Перепишите уравнение в показательной форме (для этого используйте метод, изложенный в предыдущем разделе).

   • Пример: log₃(x + 5) = 4
     • Согласно определению логарифма (y = log_b (x)): y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Перепишите это логарифмическое уравнение в виде показательного (b^y = x):
     • 3⁴ = x + 5
3. 
   3
   Найдите «х». Для этого решите показательное уравнение.

   • Пример: 3⁴ = x + 5
     • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x
     • 76 = x
4. 
   4
   Запишите окончательный ответ (перед этим проверьте его).

   • Пример: х = 76
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 4:

Вычисление «х» через формулу для логарифма произведения

Загрузить PDF

1. 
   1
   Формула для логарифма произведения: логарифм произведения двух аргументов равен сумме логарифмов этих аргументов:

   • log_b(m * n) = log_b(m) + log_b(n)
   • при этом:
     • m > 0
     • n > 0
2. 
   2
   Обособьте логарифм, перенеся его на одну сторону уравнения.

   • Пример: log₄(x + 6) = 2 - log₄(x)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(x)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
3. 
   3
   Примените формулу для логарифма произведения, если в уравнении есть сумма двух логарифмов.

   • Пример: log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄[(x + 6) * x] = 2
     • log₄(x² + 6x) = 2
4. 
   4
   Перепишите уравнение в показательной форме (для этого используйте метод, изложенный в первом разделе).

   • Пример: log₄(x² + 6x) = 2
     • Согласно определению логарифма (y = log_b (x)): y = 2; b = 4; x = x² + 6x
     • Перепишите это логарифмическое уравнение в виде показательного (b^y = x):
     • 4² = x² + 6x
5. 
   5
   Найдите «х». Для этого решите показательное уравнение.

   • Пример: 4² = x² + 6x
     • 4 * 4 = x² + 6x
     • 16 = x² + 6x
     • 16 - 16 = x² + 6x - 16
     • 0 = x² + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) * (x + 8)
     • x = 2; x = -8
6. 
   6
   Запишите окончательный ответ (перед этим проверьте его).

   • Пример: х = 2
   • Обратите внимание, что значение «х» не может быть отрицательным, поэтому решением х= - 8 можно пренебречь.
   Реклама

Метод 4

Метод 4 из 4:

Вычисление «х» через формулу для логарифма частного

Загрузить PDF

1. 
   1
   Формула для логарифма частного: логарифм частного двух аргументов равен разности логарифмов этих аргументов:

   • log_b(m / n) = log_b(m) - log_b(n)
   • при этом:
     • m > 0
     • n > 0
2. 
   2
   Обособьте логарифм, перенеся его на одну сторону уравнения.

   • Пример: log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
3. 
   3
   Примените формулу для логарифма частного, если в уравнении есть разность двух логарифмов.

   • Пример: log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
     • log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2
4. 
   4
   Перепишите уравнение в показательной форме (для этого используйте метод, изложенный в первом разделе).

   • Пример: log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2
     • Согласно определению логарифма (y = log_b (x)): y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Перепишите это логарифмическое уравнение в виде показательного (b^y = x):
     • 3² = (x + 6) / (x - 2)
5. 
   5
   Найдите «х». Для этого решите показательное уравнение.

   • Пример: 3² = (x + 6) / (x - 2)
     • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x = 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24 / 8
     • x = 3
6. 
   6
   Запишите окончательный ответ (перед этим проверьте его).

   • Пример: х = 3
   Реклама