Exponenten oplossen

Pdf downloaden

Pdf downloaden

In dit artikel:

Het oplossen van eenvoudige exponenten

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van exponenten

Het oplossen van breuken als machtsgetallen

Tips en waarschuwingen

Gerelateerde artikelen

Bronnen

Exponenten worden gebruikt wanneer een getal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. In plaats van $4*4*4*4*4$ helemaal uit te schrijven, kun je dit gewoon vervangen door $4^{5}$. Dit wordt uitgelegd in de onderstaande methode: 'Het oplossen van eenvoudige exponenten'. Met exponenten wordt het gemakkelijker om lange, complexe uitdrukkingen op te schrijven, en kun je ook gemakkelijk waar nodig voor het vereenvoudigen van opgaven, exponenten bij elkaar optellen of aftrekken, wanneer je de rekenregels hiervoor hebt geleerd (bijvoorbeeld: $4^{2}*4^{3}=4^{5}$).Opmerking: Indien je van plan bent om machtsvergelijkingen op te lossen, zoals $2^{2x}=30$, zoek dan op How.com.vn naar artikelen, over gevallen waarbij de exponent een onbekende bevat.

Stappen

Methode 1

Methode 1 van 3:

Het oplossen van eenvoudige exponenten

Pdf downloaden

1. 
   1
   Leer de juiste termen en vocabulaire voor opgaven met exponenten. Heb je een exponent, zoals $2^{3}$, dan werk je met twee eenvoudige onderdelen. Het onderstel getal is hierbij een 2, of het grondtal. Dit getal wordt verheven tot de macht 3, ook wel de exponent of macht. Hebben we het over $2^{3}$, dan zeggen we 'twee tot de derde', 'twee tot de derde macht', of 'twee verheft tot de derde macht.'

   • Indien een getal wordt verheven tot de tweede macht, zoals $5^{2}$, dan kun je ook zeggen dat het getal is gekwadrateerd is, zoals 'vijf in het kwadraat.'
   • Indien een getal wordt verheven tot de derde macht, zoals $10^{3}$, dan kun je ook zeggen dat getal een kubusgetal is.
   • Indien een getal zonder exponent wordt vermeldt, zoals bijvoorbeeld 4, dan staat deze in theorie in de eerste macht en kan dit worden herschreven als $4^{1}$.
   • Indien de exponent gelijk is aan 0, en een 'getal (niet nul)' wordt verheven tot de 'zero macht', dan is het geheel gelijk aan 1, zoals $4^{0}=1$ of zelfs iets als $(3/8)^{0}=1.$ Meer hierover in het deel 'Tips'.
2. 
   2
   Vermenigvuldig het grondtal het aantal malen met zichzelf zoals aangegeven door de exponent. Indien je een macht met de hand moet oplossen, dan begin je met dit te herschrijven als een vermenigvuldiging. Je vermenigvuldigt het grondtal het aantal malen met zichzelf, zoals aangeven door de exponent. Dus, heb je $3^{4}$ dan vermenigvuldig je drie viermaal met zichzelf $3*3*3*3$. Nog een aantal voorbeelden zijn:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$
   • $8^{2}=8*8$
   • Tien tot de macht drie $=10*10*10$
3. 
   3
   Los een uitdrukking op: Vermenigvuldig de eerste twee getallen met elkaar voor het product. Bijvoorbeeld, met $4^{5}$, begin je met $4*4*4*4*4$ Dit lijkt een vervelende taak, maar doe dit gewoon stap voor stap. Begin met het vermenigvuldigen van de eerste twee vieren. Vervang vervolgens de twee vieren door het antwoord zoals hieronder getoond:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$
     • $4*4=16$
   • $4^{5}=16*4*4*4$
4. 
   4
   Vermenigvuldig het antwoord van het eerste paar (16) met het volgende getal. Blijf de getallen vermenigvuldigen om je exponent te laten 'groeien'. We gaan verder met ons voorbeeld, en vermenigvuldigen 16 met de volgende 4, zodat:

   • $4^{5}=16*4*4*4$
     • $16*4=64$
   • $4^{5}=64*4*4$
     • $64*4=256$
   • $4^{5}=256*4$
     • $256*4=1024$
   • Zoals hier aangetoond, kun je doorgaan met vermenigvuldigen van het grondtal met het product van elk van de eerste getallenparen, tot je het uiteindelijke antwoord krijgt. Blijf gewoon doorgaan met het vermenigvuldigen van de eerste twee getallen, en vermenigvuldig dit antwoord vervolgens met het volgende getal in de reeks. Dit geldt voor elke exponent. Ben je klaar met het voorbeeld, dan krijg je $4^{5}=4*4*4*4*4=1024$.
5. 
   5
   Probeer ook eens de volgende voorbeelden, en controleer je antwoorden met een calculator.

   • $8^{2}$
   • $3^{4}$
   • $10^{7}$
6. 
   6
   Gebruik de 'exp,' '$$ x n {\displaystyle x^{n}} ' of '^' button van je calculator voor de exponenten. Het is bijna onmogelijk om grotere exponenten, zoals $9^{15}$ met te hand te doen, maar calculators kunnen dit gemakkelijk aan. De knop hiervoor is meestal duidelijk genoeg aangegeven. De calculator van Windows kan worden uitgebreid tot een wetenschappelijke calculator, door te klikken op het tabblad 'Weergave' van de calculator en 'Wetenschappelijk' te selecteren. Wil je de standaard-calculator terug, klik dan weer op 'Weergave' en selecteer 'Standaard'.

   • Gebruik een zoekmachine zoals Startpage, Duckduckgo of Google om het antwoord op te zoeken. Je kunt de knop '^' op je computer, tablet of smartphone gebruiken om de expressie in te voeren in het zoekveld, waarna je meteen het antwoord te zien krijgt, en suggesties voor gelijksoortige uitdrukkingen om te verkennen (Duckduckgo laat zelfs een complete calculator zien).
   Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 3:

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van exponenten

Pdf downloaden

1. 
   1
   Je kunt machtsgetallen alleen van elkaar optellen of aftrekken, als ze hetzelfde grondtal en dezelfde exponent hebben. Indien je te maken hebt met identieke grondtallen en exponenten, zoals $4^{5}+4^{5}$, dan kun je de optelling van de termen vereenvoudigen tot een vermenigvuldiging. Vergeet niet dat $4^{5}$ beschouwd kan worden als $1*4^{5}$, zodat $4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}$ door het optellen, daar waar '1 van dat + 1 van dat = 2 van dat', wat 'dat' ook moge zijn. Tel gewoon het aantal gelijke termen bij elkaar op (die met het identieke grondtal en exponent), en vermenigvuldig de som met die exponentiële uitdrukking. Je kunt vervolgens $4^{5}$ oplossen en dat antwoord met twee vermenigvuldigen. Vergeet niet dat dit mogelijk is omdat een vermenigvuldiging niets anders is dan het herschrijven van een optelling, omdat $3+3=2*3$. Hier volgen een paar voorbeelden:

   • $3^{2}+3^{2}=2*3^{2}$
   • $4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}$
   • $4^{5}-4^{5}+2=2$
   • $4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}$
2. 
   2
   Vermenigvuldig getallen met hetzelfde grondtal door de exponenten bij elkaar op te tellen. Indien je twee exponenten hebt met hetzelfde grondtal, zoals $x^{2}*x^{5}$, dan hoef je alleen maar de twee exponenten met hetzelfde grondtal bij elkaar op te tellen. Dus, $x^{2}*x^{5}=x^{7}$. Indien je dit wat vreemd vindt, deel het dan op in kleinere onderdelen om te begrijpen hoe het systeem werkt:

   • $x^{2}*x^{5}$
   • $x^{2}=x*x$
   • $x^{5}=x*x*x*x*x$
   • $x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)$
   • Omdat alles hetzelfde getal is, maar dan vermenigvuldigd, kunnen we deze combineren: $x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x$
   • $x^{2}*x^{5}=x^{7}$
3. 
   3
   Vermenigvuldig een exponentieel getal dat wordt verheven tot een andere macht, zoals $$ ( x 2 ) 5 {\displaystyle (x^{2})^{5}} . Indien je een getal verheft tot een bepaalde macht, en het geheel wordt tot een bepaalde macht verheven, vermenigvuldig dan gewoon de twee exponenten. Dus, $(x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}$. Denk er nogmaals aan wat deze symbolen eigenlijk betekenen als je in de war raakt. $(x^{2})^{5}$ betekent gewoon dat je $(x^{2})$ 5 maal vermenigvuldigt met zichzelf, dus:

   • $(x^{2})^{5}$
   • $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}$
   • Omdat de grondtallen hetzelfde zijn, kun je ze gewoon bij elkaar optellen: $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}$
4. 
   4
   Beschouw negatieve exponenten als breuken, of de reciproque van het getal. Weet je niet wat een reciproque is, geen probleem. Indien je te maken hebt met een negatieve exponent, zoals $3^{-}2$, maak de exponent dan positief en plaats dit als noemer onder de één, met als resultaat ${\frac {1}{3^{2}}}$. Hier volgen een paar extra voorbeelden:

   • $5^{-10}{\frac {1}{5^{10}}}$
   • $3x^{-}4={\frac {3}{x^{4}}}$
5. 
   5
   Deel twee getallen met hetzelfde grondtal door de exponenten van elkaar af te trekken. Delen is het tegenovergestelde van vermenigvuldiging, en hoewel ze niet exact als tegenovergestelde worden opgelost, is dat hier wel het geval. Indien je te maken hebt met de vergelijking ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}$, trek je gewoon de bovenste exponent af van de onderste, en laat je het grondtal ongemoeid. Dus, ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}$, of 16.

   • Zoals je zo meteen zult zien, kan elk getal dat deel uitmaakt van een breuk, zoals ${\frac {1}{4^{2}}}$, worden herschreven als $4^{-2}$. Negatieve exponenten vormen breuken.
6. 
   6
   Probeer enkele oefenopgaven, om gewend te raken aan het werken met machtsgetallen. De volgende opgaven oefenen alles wat tot nu toe is behandeld. Voor het antwoord selecteer je gewoon de regel waar de opgave op staat.

   • $5^{3}$ = 125
   • $2^{2}+2^{2}+2^{2}$ = 12
   • $x^{1}2-2x^{1}2$ = -x^12
   • $y^{3}*y$ = $y^{4}$ Onthoud dat een getal zonder een macht een exponent heeft van 1
   • $(Q^{3})^{5}$ = $Q^{1}5$
   • ${\frac {r^{5}}{r^{2}}}$ = $r^{3}$
   Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 3:

Het oplossen van breuken als machtsgetallen

Pdf downloaden

1. 
   1
   Behandel breuken in de vorm van machtsgetallen, zoals $$ x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} als een vierkantswortel. $x^{\frac {1}{2}}$ is in feite exact hetzelfde als ${\sqrt {x}}$. Dit geldt ongeacht de noemer van de breuk, dus $x^{\frac {1}{4}}$ wordt de vierdemachtswortel van x, ook wel geschreven als ${\sqrt[{4}]{x}}$ .

   • Wortels zijn de inverse van exponenten. Bijvoorbeeld, als je het antwoord neemt van ${\sqrt[{4}]{x}}$ tot de vierde macht, dan kom je weer uit op $x$, en dus kan ${\sqrt[{4}]{16}}=2$ ook geschreven worden als $2^{4}=16$. Een ander voorbeeld is ${\sqrt[{4}]{x}}=2$ en vervolgens $2^{4}=x$ en dus $x=2$ .
2. 
   2
   Maak van de teller een normale exponent bij een gemengde breuk.$x^{\frac {5}{3}}$ ziet er wellicht onmogelijk uit, maar is gemakkelijk als je onthoudt hoe exponenten worden vermenigvuldigd. Maak van het grondtal een wortel, zoals een normale breuk, en verhef het hele ding tot de macht bovenin de breuk. Vind je het moeilijk om dit te onthouden, neem dan de theorie nogmaals door. Uiteindelijk geldt dat ${\frac {5}{3}}$ gewoon gelijk is aan $({\frac {1}{3}})*5$ Bijvoorbeeld:

   • $x^{\frac {5}{3}}$
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$
   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$ = $({\sqrt[{3}]{x}})^{5}$
3. 
   3
   Je kunt breuken in de vorm van machtsgetallen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen – gewoon zoals je dat gewend bent. Het is veel gemakkelijker om de exponenten op te tellen of af te trekken vóór je ze oplost of omzet in wortelgetallen. Indien het grondtal hetzelfde is en de exponent ook, dan kun je ze gewoon optrekken en aftrekken. Indien alleen het grondtal hetzelfde is, dan kun je de exponenten vermenigvuldigen en delen zoals je dat gewend bent, als je maar rekening houd met hoe je breuken optelt en aftrekt. Bijvoorbeeld:

   • $x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})$
   • $x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}$
   Advertentie

Tips

• De meeste calculators hebben een knop voor exponenten -- indrukken nadat je het grondtal hebt ingevoerd -- voor het oplossen van opgaven met machtsgetallen. Meestal ziet dit eruit als een ^ of x^y.
• 'Vereenvoudigen' in de wiskunde betekent doe de bewerkingen die nodig zijn om de eenvoudigste vorm te krijgen van de expressies waar het om gaat.
• 1 is het identiteitselement van exponenten. Dat betekent dat elk reëel getal tot de macht 1 (tot de eerste macht), het getal zelf is, bijvoorbeeld: $4^{1}=4.$ Ook geldt dat 1 het identiteitselement is van vermenigvuldiging (1 als vermenigvuldiger, zoals $5*1=5$), en van deling (1 als deeltal, zoals $5/1=5$.
• Het grondtal nul tot de nulde (0⁰) is niet gedefinieerd (Engels: dne, does not exist). Computers of calculators geven dan een 'error' als resultaat. Onthoud dat elk getal dat niet nul is, tot de macht 0, altijd gelijk is aan 1, $4^{0}=1.$
• Hogere wiskunde voor imaginaire getallen is bijvoorbeeld, $e^{a}ix=cosax+isinax$, waarbij $i={\sqrt {(}}-1)$; e is een irrationeel, doorlopende constant gelijk aan 2,71828..., en a is een willekeurige constante. Het bewijs kan gevonden worden in de meeste boeken over hogere wiskunde.

Advertentie

Waarschuwingen

• Een exponentiële verhoging zorgt ervoor dat het product steeds sneller stijgt, zodat het antwoord verkeerd kan lijken, terwijl het wel klopt. (Controleer dit door een grafiek te maken van een exponentiële functie, bijvoorbeeld.: 2^x, indien x een reeks verschillende waarden heeft).

Advertentie