Como Resolver Exponenciações

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Neste Artigo:

Operações básicas com potências

Soma, subtração e multiplicação de potências

Potências com expoente fracionário

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Referências

A exponenciação (ou potenciação) é a operação usada para simplificar a multiplicação de um número por ele mesmo. Por exemplo, em vez de escrever $4*4*4*4*4$, podemos usar apenas $4^{5}$. Isso será explicado abaixo na seção "Operações básicas com potências". A exponenciação permite escrever expressões ou equações longas ou complexas de forma mais simples. Ao aprender as regras a seguir, você poderá somar e subtrair potências facilmente para simplificar a resolução de problemas matemáticos (por exemplo: $4^{2}*4^{3}=4^{5}$).Atenção: para saber como resolver equações exponenciais, isto é, equações em que o valor desconhecido aparece no expoente (por exemplo, $2^{2x}=30$), clique aqui.

Passos

Método 1

Método 1 de 3:

Operações básicas com potências

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   Aprenda o vocabulário correto para problemas de exponenciação. Toda potência, como por exemplo $2^{3}$, apresenta duas partes. O número inferior (2 nesse exemplo) é chamado de base. O número sobrescrito à direita (3 nesse exemplo) é chamado de expoente ou potência. Podemos ler a potência $2^{3}$ como dois elevado a três ou dois elevado à terceira potência.

   • Se um número estiver elevado à segunda potência, como $5^{2}$, dizemos que ele está elevado ao quadrado (no exemplo, lemos cinco ao quadrado).
   • Se um número estiver elevado à terceira potência, como $10^{3}$, dizemos que ele está elevado ao cubo (no exemplo, lemos dez ao cubo).
   • Se um número não possuir expoente, como um simples 4, dizemos que ele está elevado à primeira potência e podemos reescrevê-lo como $4^{1}$.
   • Se o expoente for 0 e um número diferente de zero estiver elevado ao expoente zero, dizemos que a potência é igual a 1, como por exemplo $4^{0}=1$ ou $(3/8)^{0}=1.$ Para saber mais, visite a seção "Dicas".
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   Multiplique a base repetidamente por ela mesma tantas vezes quanto o expoente indicar. Se você precisa calcular o valor de uma potência à mão, primeiro reescreva-a como um problema de multiplicação. A base deverá multiplicar a si mesma um número de vezes igual ao expoente. Assim, para calcular o valor de $3^{4}$, você deverá multiplicar a base três por si mesma quatro vezes seguidas, ou seja, $3*3*3*3$. Observe mais alguns exemplos:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$
   • $8^{2}=8*8$
   • Dez ao cubo $=10*10*10$
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   Resolva a expressão. Multiplique os dois primeiros números para obter o resultado do produto. Por exemplo, para calcular $4^{5}$, você começaria com $4*4*4*4*4$. Essa expressão pode parecer assustadora, porém tudo o que você precisa para poder resolvê-la é dar um passo por vez. Primeiramente, multiplique os dois primeiros quatros. Em seguida, substitua esses dois quatros pelo resultado da multiplicação, como mostra a resolução abaixo:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$
     • $4*4=16$
   • $4^{5}=16*4*4*4$
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   4
   Multiplique o produto do primeiro par (nesse exemplo, 16) pelo próximo número. Continue multiplicando os números para fazer a potência "crescer". Voltando ao nosso exemplo, o próximo passo seria multiplicar o 16 pelo próximo 4, como mostra a resolução abaixo:

   • $4^{5}=16*4*4*4$
     • $16*4=64$
   • $4^{5}=64*4*4$
     • $64*4=256$
   • $4^{5}=256*4$
     • $256*4=1024$
   • Como mostrado, você deve continuar a multiplicar a base pelo produto de cada primeiro par de números até chegar ao resultado final. Em outras palavras, você deve multiplicar os dois primeiros números da sequência e, em seguida, multiplicar esse produto pelo próximo número. Isso vale para qualquer potência. Ao terminar nosso exemplo, você obterá o resultado $4^{5}=4*4*4*4*4=1024$.
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   Resolva mais alguns exemplos (use uma calculadora pra verificar as respostas).

   • $8^{2}$
   • $3^{4}$
   • $10^{7}$
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   Use o botão "exp," "$$ x n {\displaystyle x^{n}} " ou "^" de uma calculadora para determinar o valor de potências. É quase impossível calcular potências maiores, como $9^{15}$, manualmente. Todavia, para uma calculadora, essa é uma tarefa simples. O botão é em geral nitidamente marcado. Para usar essa função na calculadora do Windows 7, mude para o modo de calculadora científica: clique no menu "Exibir" e, em seguida, selecione "Científica". Para retornar ao modo de calculadora padrão, clique novamente em "Exibir" e selecione "Padrão".

   • Verifique a resposta usando a pesquisa do Google. Use o botão "^" do teclado do computador, tablet ou celular smartphone para digitar a expressão exponencial na barra de busca. O Google mostrará a resposta instantaneamente, além de sugerir potências semelhantes para você explorar.
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Método 2

Método 2 de 3:

Soma, subtração e multiplicação de potências

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   Some ou subtraia potências de mesma base e mesmo expoente. Se as bases e os expoentes das potências forem iguais, como $4^{5}+4^{5}$, podemos simplificar os termos da adição e transformá-la em uma simples multiplicação. É importante lembrar que $4^{5}$ é o mesmo que $1*4^{5}$, de tal forma que $4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}$, ou seja, "1 disso mais 1 disso = 2 disso" (não importa o que "isso" seja). Some o número de termos semelhantes (de base e expoente iguais) e multiplique o resultado dessa soma pela expressão exponencial. No nosso exemplo, você só precisa calcular o valor da potência $4^{5}$ e multiplicar o resultado por dois. Lembre-se: a multiplicação é apenas uma forma de reescrever uma adição, como $3+3=2*3$. Observe mais alguns exemplos:

   • $3^{2}+3^{2}=2*3^{2}$
   • $4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}$
   • $4^{5}-4^{5}+2=2$
   • $4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}$
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   Ao multiplicar potências de mesma base, some os expoentes. Ao multiplicar duas potências de mesma base, como $x^{2}*x^{5}$, podemos simplificá-la repetindo a base e somando os dois expoentes. Assim, concluímos que $x^{2}*x^{5}=x^{7}$. Se esse raciocínio estiver confuso, basta decompor os termos da multiplicação para entender como ele funciona:

   • $x^{2}*x^{5}$
   • $x^{2}=x*x$
   • $x^{5}=x*x*x*x*x$
   • $x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)$
   • Como se trata simplesmente de um mesmo número multiplicado por si mesmo, podemos reorganizar a expressão da seguinte maneira: $x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x$
   • $x^{2}*x^{5}=x^{7}$
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   Ao elevar uma potência a outro expoente, como por exemplo $$ ( x 2 ) 5 {\displaystyle (x^{2})^{5}} , multiplique os expoentes. Uma potência elevada a outro expoente é igual a base dessa potência elevada ao produto dos dois expoentes. Assim, concluímos que $(x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}$. Se achar o raciocínio confuso, basta analisar o que os símbolos realmente significam. A expressão $(x^{2})^{5}$ representa que a potência $(x^{2})$ está multiplicando si mesma 5 vezes, como podemos ver abaixo:

   • $(x^{2})^{5}$
   • $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}$
   • Como as bases são iguais, podemos somar os seus expoentes: $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}$
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   Transforme uma potência com expoente negativo em uma fração (ou o recíproco do número). Você não precisa saber o que são números recíprocos. Qualquer número elevado a um expoente negativo, como $3^{-}2$, é igual ao inverso desse número elevado ao mesmo expoente, porém com sinal oposto. Assim, concluímos que nosso exemplo pode ser reescrito como a fração ${\frac {1}{3^{2}}}$. Observe mais alguns exemplos:

   • $5^{-10}{\frac {1}{5^{10}}}$
   • $3x^{-}4={\frac {3}{x^{4}}}$
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   5
   Ao dividir duas potências de mesma base, subtraia os expoentes. A divisão é o inverso da multiplicação, e embora essas duas operações nem sempre sejam resolvidas de maneira oposta, nesse caso elas serão. A divisão de duas potências de bases iguais, como ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}$, é igual a base elevada à diferença do expoente de cima pelo expoente de baixo. Assim, concluímos que ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}$, ou simplesmente 16.

   • Veremos a seguir que, qualquer potência que faz parte de uma fração, como ${\frac {1}{4^{2}}}$, pode ser reescrita como $4^{-2}$. Expoentes negativos criam frações.
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   Resolva mais alguns problemas para praticar as operações com números exponenciais. Os problemas abaixo englobam todas as operações mostradas até agora. Para visualizar a resposta, basta destacar a linha do problema com o cursor do mouse.

   • $5^{3}$ = 125
   • $2^{2}+2^{2}+2^{2}$ = 12
   • $x^{1}2-2x^{1}2$ = -x^12
   • $y^{3}*y$ = $y^{4}$ Lembre-se: todo número que não apresenta potência possui expoente 1
   • $(Q^{3})^{5}$ = $Q^{1}5$
   • ${\frac {r^{5}}{r^{2}}}$ = $r^{3}$
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Método 3

Método 3 de 3:

Potências com expoente fracionário

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   Transforme uma potência com expoente fracionário, como $$ x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} , em uma raiz. A potência $x^{\frac {1}{2}}$ equivale exatamente à raiz ${\sqrt {x}}$. Isso funciona da mesma forma para qualquer expoente fracionário, não importa o denominador da fração; assim, $x^{\frac {1}{4}}$ seria o mesmo que a raiz quarta de x, ou seja, ${\sqrt[{4}]{x}}$.

   • A radiciação é a operação inversa da exponenciação. Por exemplo, se você elevar a raiz ${\sqrt[{4}]{x}}$ à quarta potência, o resultado seria simplesmente $x$. Assim, ${\sqrt[{4}]{16}}=2$ será o mesmo que $2^{4}=16$. Outro exemplo: se ${\sqrt[{4}]{x}}=2$, então $2^{4}=x$. Portanto, $x=2$.
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   Transforme o numerador no expoente do radicando. A potência $x^{\frac {5}{3}}$ pode parecer mais complicada, mas basta lembrar de como multiplicar expoentes de potências. Transforme a base da potência no radicando da raiz (como uma fração normal) e o numerador da fração no expoente da raiz. Se sentir dificuldade para memorizar isso, você só precisa lembrar que ${\frac {5}{3}}$ é exatamente o mesmo que $({\frac {1}{3}})*5$. Por exemplo:

   • $x^{\frac {5}{3}}$
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$
   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$ = $({\sqrt[{3}]{x}})^{5}$
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   Some, subtraia e multiplique potências com expoentes fracionários normalmente. É muito mais simples somar e subtrair potências antes de calculá-las ou convertê-las em raízes. Se as bases e os expoentes das potências forem iguais, você poderá somá-las e subtraí-las normalmente. Se as bases das potências forem iguais, você também poderá multiplicá-las e dividi-las normalmente, contanto que você saiba como somar e subtrair frações. Observe os exemplos:

   • $x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})$
   • $x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}$
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   Converta raízes complicadas em potências de expoente fracionário para facilitar a resolução. Você já viu como uma potência de expoente fracionário pode ser transformada de forma simples em uma raiz. Todavia, é importante notar que esse processo também pode ser revertido. Tome como exemplo a expressão ${\sqrt[{5}]{x}}+x^{\frac {7}{5}}$. À primeira vista, parece impossível resolver o problema; contudo, a raiz no primeiro termo pode ser facilmente convertida em uma fração, permitindo que você resolva o problema da seguinte maneira:

   • ${\sqrt[{5}]{x}}+x^{\frac {7}{5}}$
   • ${\sqrt[{5}]{x}}=x^{\frac {1}{5}}$
   • $x^{\frac {1}{5}}+x^{\frac {7}{5}}$
   • $x^{\frac {8}{5}}$
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Dicas

• "Simplificar" na matemática significa "realizar as operações matemáticas necessárias para chegar à forma mais simples das expressões envolvidas".
• A maioria das calculadoras possui um botão que você deve pressionar para adicionar o expoente após digitar a base. Ele é frequentemente indicado por ^ ou x^y.
• O 1 é o elemento identidade da exponenciação. Isso quer dizer que qualquer número real elevado a 1 (ou seja, a primeira potência) é igual a ele mesmo, como por exemplo $4^{1}=4.$. Da mesma forma, 1 é o elemento identidade da multiplicação (1 usado como multiplicador, como $5*1=5$) e da divisão (1 usado como divisor, como $5/1=5$).
• Base zero elevada ao expoente zero, ou seja, 0⁰, possui valor indefinido. Computadores e calculadoras retornarão uma mensagem de erro. É importante lembrar que todo número real diferente de zero elevado a 0 é sempre igual a 1, como por exemplo $4^{0}=1.$
• Na álgebra avançada para números imaginários, $e^{a}ix=cosax+isinax$, onde $i={\sqrt {(}}-1)$, $e$ é uma constante irracional contínua que vale aproximadamente 2,71828..., e $a$ é uma constante arbitrária. A prova dessa relação pode ser encontrada na maioria dos livros de matemática de nível superior.

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Avisos

• Aumentar o valor do expoente provoca um crescimento muito rápido na magnitude da potência, de tal forma que, mesmo a resposta parecendo incorreta, ela pode realmente estar certa. Você pode verificar isso representando graficamente qualquer função exponencial (por exemplo, 2^x) se x tiver uma faixa de valores.

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