Come Risolvere le Potenze

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In questo Articolo:

Risolvere le Potenze Semplici

Sommare, Sottrarre e Moltiplicare le Potenze

Risolvere le Potenze con Esponente Frazionario

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La potenza si utilizza per esprimere in maniera più semplice la moltiplicazione di un numero per se stesso. Invece di scrivere $4*4*4*4*4$, puoi semplicemente limitarti a $4^{5}$. Questo concetto è descritto nella sezione "Risolvere le Potenze Semplici" che trovi qui di seguito. Le potenze ti permettono di scrivere in maniera essenziale delle espressioni o equazioni lunghe e complesse; inoltre, puoi sommare e sottrarre le potenze fra loro per semplificare i problemi, quando necessario, una volta che ne avrai imparato le regole (ad esempio: $4^{2}*4^{3}=4^{5}$).

Nota: se stai cercando di risolvere le equazioni esponenziali, come $2^{2x}=30$, leggi questo articolo; troverai le istruzioni per le potenze in cui l'esponente è un'incognita.

Passaggi

Parte 1

Parte 1 di 3:

Risolvere le Potenze Semplici

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   Impara la terminologia delle potenze. Quando ti trovi di fronte a questa operazione, come $2^{3}$, puoi vedere due parti semplici. Il numero inferiore, in questo caso 2, è detto base. Il numero più piccolo, scritto in apice, nell'esempio è 3, viene chiamato esponente o potenza. Se stai esprimendo a parole l'operazione $2^{3}$, dovrai dire "due alla terza", "due alla terza potenza" oppure "due elevato alla terza potenza".

   • Se un numero è elevato alla seconda potenza, come $5^{2}$, allora puoi dire che la base è al quadrato, come "cinque al quadrato".
   • Se un numero è elevato alla terza potenza, come $10^{3}$, allora puoi dire che la base è al cubo, come "dieci al cubo".
   • Se un numero non ha alcun esponente, come il semplice 4, allora tecnicamente è elevato alla prima potenza e può essere riscritto: $4^{1}$.
   • Se l'esponente è 0, la base è un numero "non nullo" elevato alla "potenza di zero", allora il risultato è sempre 1: $4^{0}=1$, ma anche $(3/8)^{0}=1$. Puoi trovare ulteriori dettagli nella sezione "Consigli".
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   Moltiplica la base per se stessa per un numero di volte indicate dall'esponente. Se devi calcolare una potenza a mano, inizia a riscrivere il problema come una moltiplicazione. Devi moltiplicare il valore alla base per se stesso per un numero di volte pari all'esponente. Se devi quindi risolvere la potenza $3^{4}$, allora devi riscrivere il numero 3 come quattro fattori: $3*3*3*3$. Ecco altri esempi:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$.
   • $8^{2}=8*8$.
   • Dieci al cubo $=10*10*10$.
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   Risolvi l'espressione. Moltiplica i primi due numeri per trovare il prodotto. Per esempio, con la potenza $4^{5}$, inizi i tuoi calcoli scrivendo $4*4*4*4*4$. Questo calcolo sembra alquanto complesso, ma basta procedere considerando un passaggio alla volta. Comincia moltiplicando i primi due numeri 4. In seguito riscrivi l'espressione sostituendoli con il loro prodotto, come mostrato in questo esempio:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$.
     • $4*4=16$.
   • $4^{5}=16*4*4*4$.
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   Moltiplica il prodotto del primo calcolo (16) con il numero successivo. Continua in questo modo man mano che il valore "cresce esponenzialmente". Procedendo con le operazioni, devi moltiplicare 16 per il 4 successivo, quindi:

   • $4^{5}=16*4*4*4$.
     • $16*4=64$.
   • $4^{5}=64*4*4$.
     • $64*4=256$.
   • $4^{5}=256*4$.
     • $256*4=1024$.
   • Come mostrato, devi continuare a moltiplicare la base per il prodotto della prima coppia di numeri finché non ottieni il risultato finale. Ti basta procedere moltiplicando i primi due numeri e poi moltiplicarne il prodotto per quello successivo rispettando la sequenza. Questa logica è valida qualunque sia l'esponente. Alla fine dei calcoli avrai: $4^{5}=4*4*4*4*4=1024$.
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   Prova a risolvere questi esempi, controllando la soluzione con la calcolatrice:

   • $8^{2}$.
   • $3^{4}$.
   • $10^{7}$.
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   Per digitare una potenza sulla calcolatrice, usa il tasto "exp", "$$ x n {\displaystyle x^{n}} " oppure "^". È praticamente impossibile calcolare a mano le potenze con esponenti molto grandi, ad esempio $9^{15}$, ma con la calcolatrice è tutto più semplice. Il tasto per inserire l'esponente in genere è ben evidente. La calcolatrice presente in Windows Seven può essere convertita come scientifica cliccando sul tasto "Visualizza" e selezionando l'opzione "Scientifica". Quando vuoi riportarla alla versione standard, clicca sempre il tasto "Visualizza" e seleziona "Standard".

   • Digita l'espressione su Google per controllare la tua soluzione. Puoi usare il tasto "^" presente sulla tastiera del tuo computer, tablet o smartphone per digitare la potenza nella barra di ricerca di Google, il quale ti fornirà immediatamente la risposta e ti suggerirà espressioni simili.
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Parte 2

Parte 2 di 3:

Sommare, Sottrarre e Moltiplicare le Potenze

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   Puoi sommare o sottrarre le potenze fra loro solo se hanno la stessa base ed esponente. Se hai due potenze identiche, come $4^{5}+4^{5}$, puoi semplificare l'espressione riscrivendola in maniera più concisa. Ricorda che $4^{5}$ può essere pensato come $1*4^{5}$, perciò $4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}$, dato che "1 di qualcosa più 1 di qualcosa = 2 di qualcosa", a prescindere da cosa sia quel "qualcosa". Ti basta sommare fra loro i numeri di termini simili (con stessa base ed esponente) e moltiplicare la somma per la potenza. A questo punto non ti resta che risolvere il calcolo $4^{5}$ e moltiplicare la soluzione per due. Ricorda che questo è possibile perché la moltiplicazione è un modo per riscrivere l'addizione, dato che $3+3=2*3$. Verifica le uguaglianze che seguono:

   • $3^{2}+3^{2}=2*3^{2}$.
   • $4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}$.
   • $4^{5}-4^{5}+2=2$.
   • $4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}$.
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   Moltiplica le potenze con la stessa base sommando fra loro gli esponenti. Se hai due potenze con la medesima base, come $x^{2}*x^{5}$, tutto quello che devi fare è sommare fra loro gli esponenti. Quindi: $x^{2}*x^{5}=x^{7}$. Se non ti è chiaro il motivo di tutto ciò, prova a scomporre il problema:

   • $x^{2}*x^{5}$.
   • $x^{2}=x*x$.
   • $x^{5}=x*x*x*x*x$.
   • $x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)$.
   • Dato che tutta l'espressione indica lo stesso numero ripetuto più volte, puoi dire che: $x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x$.
   • $x^{2}*x^{5}=x^{7}$.
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   Moltiplica fra loro gli esponenti di una potenza elevata a potenza, come $$ ( x 2 ) 5 {\displaystyle (x^{2})^{5}} . Se hai una potenza che a sua volta viene elevata con un altro esponente, ti basta moltiplicare fra loro gli esponenti. Quindi: $(x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}$. Anche in questo caso, se hai delle perplessità, pensa al significato dei simboli usati. $(x^{2})^{5}$ prevede di moltiplicare $(x^{2})$ per se stesso 5 volte:

   • $(x^{2})^{5}$.
   • $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}$.
   • Dato che la base è costante puoi procedere con una semplice somma degli esponenti: $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}$
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   Trasforma le potenze con esponente negativo in frazioni, cioè nel valore reciproco. Se non sai cosa siano i numeri reciproci, non preoccuparti. Quando ti trovi di fronte a una potenza con esponente negativo, ad esempio $3^{-}2$, trasforma semplicemente l'esponente in numero positivo e poni tutta la potenza come denominatore di una frazione al cui numeratore c'è il valore 1: ${\frac {1}{3^{2}}}$. Ecco altri esempi:

   • $5^{-10}{\frac {1}{5^{10}}}$.
   • $3x^{-}4={\frac {3}{x^{4}}}$.
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   Dividi due potenze con la stessa base sottraendo fra loro gli esponenti. La divisione è l'operazione opposta alla moltiplicazione e, sebbene non sia sempre possibile risolverla seguendo un percorso a ritroso, in questo caso lo è. Se devi risolvere l'operazione ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}$, semplicemente sottrai l'esponente del denominatore da quello del numeratore, lasciando invariata la base: ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}$ cioè 16.

   • Come ti renderai conto presto, ogni valore che fa parte di una frazione, come ${\frac {1}{4^{2}}}$, può essere riscritto come $4^{-2}$. Gli esponenti negativi creano le frazioni.
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   Prova a risolvere i problemi imparando a "manipolare" le potenze. Gli esercizi che seguono ripropongono i concetti descritti finora. Per vedere la soluzione, ti basta evidenziare l'intera riga del problema.

   • $5^{3}$ = 125
   • $2^{2}+2^{2}+2^{2}$ = 12
   • $x^{1}2-2x^{1}2$ = -x^12
   • $y^{3}*y$ = $y^{4}$ Ricorda che un numero senza esponente in verità è potenza di 1
   • $(Q^{3})^{5}$ = $Q^{1}5$
   • ${\frac {r^{5}}{r^{2}}}$ = $r^{3}$
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Parte 3

Parte 3 di 3:

Risolvere le Potenze con Esponente Frazionario

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   Tratta le potenze frazionarie, $$ x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} , come una radice. L'espressione matematica $x^{\frac {1}{2}}$ è esattamente identica a ${\sqrt {x}}$. Questo concetto si estende a tutte le potenze con esponente fratto, a prescindere dalla base, quindi $x^{\frac {1}{4}}$ indica la quarta radice di x che può essere anche scritta come ${\sqrt[{4}]{x}}$.

   • La radice è l'operazione inversa della potenza. Per esempio, se consideri la soluzione di ${\sqrt[{4}]{x}}$ e la elevi alla potenza di 4, allora troverai di nuovo $x$, proprio come ${\sqrt[{4}]{16}}=2$ può essere verificata con $2^{4}=16$. Un altro esempio: se ${\sqrt[{4}]{x}}=2$ allora $2^{4}=x$ quindi $x=2$.
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   Trasforma il numeratore come esponente nel caso delle frazioni miste. L'espressione $x^{\frac {5}{3}}$ potrebbe apparirti impossibile, ma in realtà è facilmente risolvibile se ricordi come si moltiplicano gli esponenti. Trasforma la base in una radice, come accade per i normali esponenti frazionari, poi eleva il tutto alla potenza indicata dal numeratore. Se hai difficoltà a ricordare questo meccanismo, prova ad analizzarlo da un punto di vista teorico. Dopo tutto ${\frac {5}{3}}$ in verità è pari a $({\frac {1}{3}})*5$. Per esempio:

   • $x^{\frac {5}{3}}$.
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$.
   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$.
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$ = $({\sqrt[{3}]{x}})^{5}$.
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   Somma, sottrai e moltiplica le potenze frazionarie esattamente come le altre. In genere è molto più semplice sommare e sottrarre le potenze frazionarie fra loro prima di risolverle o trasformarle in radici. Se le potenze hanno fra loro basi ed esponenti identici, puoi procedere normalmente alla somma e alla sottrazione. Se le basi sono uguali, puoi moltiplicare e dividere le potenze come sempre, purché tu sia in grado di sommare e sottrarre le frazioni. Ecco alcuni esempi:

   • $x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})$.
   • $x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}$.
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Consigli

• "Semplificare" in matematica significa eseguire le operazioni indicate per raggiungere la forma più semplice dell'espressione data.
• La maggior parte delle calcolatrici è dotata di un tasto che puoi premere per inserire l'esponente subito dopo aver digitato la base e che ti permette di risolvere molte potenze. Questo tasto in genere è indicato con il simbolo ^ oppure x^y.
• Il numero 1 è l'elemento di identità delle potenze. Questo significa che ogni numero reale elevato a 1, cioè la prima potenza, è pari al numero stesso; in altre parole: $4^{1}=4$. Inoltre, 1 è l'elemento di identità della moltiplicazione (se moltiplichi un numero per 1 questo non cambia, cioè $5*1=5$) e della divisione (se il divisore è 1 il quoziente è pari al dividendo: $5/1=5$).
• Una potenza con base ed esponente pari a zero, 0⁰, non è definita, cioè non esiste. I computer e le calcolatrici mostrano un codice di errore quando la inserisci. Ricorda che ogni numero reale non nullo elevato a 0 è sempre pari a 1: $4^{0}=1$.
• Nell'algebra avanzata per i numeri immaginari $e^{a}ix=cosax+isinax$, dove $i={\sqrt {(}}-1)$, "e" rappresenta un irrazionale, una costante periodica pari a circa 2,71828… mentre "a" è una costante arbitraria. Puoi trovare la dimostrazione di questa uguaglianza nella maggior parte dei libri di testo di matematica avanzata.

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Avvertenze

• L'aumento degli esponenti fa incrementare il valore del risultato molto velocemente; per questa ragione, anche se credi che la soluzione sia sbagliata, sappi che potrebbe essere corretta. Puoi verificarlo tu stesso tracciando il grafico di qualunque funzione esponenziale come 2^x, dove x assume diversi valori.

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