Как решать задачи со степенями

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Решение простейших задач со степенями

Сложение, вычитание, перемножение степеней

Решение задач с дробными показателями степени

Дополнительные статьи

Источники

Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи $4*4*4*4*4$ можно написать $4^{5}$ (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи). Степени позволяют упростить написание длинных или сложных выражений или уравнений; также степени легко складываются и вычитаются, что приводит к упрощению выражения или уравнения (например, $4^{2}*4^{3}=4^{5}$).

Примечание: если вам необходимо решить показательное уравнение (в таком уравнении неизвестное находится в показателе степени), прочитайте эту статью.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 3:

Решение простейших задач со степенями

Загрузить PDF

1. 
   1
   Терминология. Например, дана степень $2^{3}$. Здесь 2 — это основание степени, а 3 — это показатель степени. Число $2^{3}$ озвучивается так: два в третьей степени или два в кубе.

   • Если в показателе степени присутствует цифра 2, например, $5^{2}$, то такой показатель называется квадратом, то есть наш пример озвучивается так: пять в квадрате.
   • Если в показателе степени присутствует цифра 3, например, $10^{3}$, то такой показатель называется кубом, то есть наш пример озвучивается так: десять в кубе.
   • Если число не имеет показателя степени, то это означает, что показатель степени равен 1. Например, $4=4^{1}$.
   • Любое число (дробь, выражение), возведенное в нулевую степень, равно 1, то есть $4^{0}=1$ или $(3/8)^{0}=1.$ Более подробную информацию вы найдете в разделе «Советы».
2. 
   2
   Умножьте основание степени само на себя числом раз, равным показателю степени. Если вам нужно решить задачу со степенями вручную, перепишите степень в виде операции умножения, где основание степени умножается само на себя. Например, дана степень $3^{4}$. В этом случае основание степени 3 нужно умножить само на себя 4 раза: $3*3*3*3$. Вот другие примеры:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$
   • $8^{2}=8*8$
   • Десять в кубе $=10*10*10$
3. 
   3
   Для начала перемножьте первые два числа. Например, $4^{5}$ = $4*4*4*4*4$. Не волнуйтесь — процесс вычисления не такой сложный, каким кажется на первый взгляд. Сначала перемножьте первые две четверки, а затем замените их полученным результатом. Вот так:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$
     • $4*4=16$
   • $4^{5}=16*4*4*4$
4. 
   4
   Умножьте полученный результат (в нашем примере 16) на следующее число. Каждый последующий результат будет пропорционально увеличиваться. В нашем примере умножьте 16 на 4. Вот так:

   • $4^{5}=16*4*4*4$
     • $16*4=64$
   • $4^{5}=64*4*4$
     • $64*4=256$
   • $4^{5}=256*4$
     • $256*4=1024$
   • Продолжайте умножать результат перемножения первых двух чисел на следующее число до тех пор, пока не получите окончательный ответ. Для этого перемножайте первые два числа, а затем полученный результат умножайте на следующее число в последовательности. Этот метод справедлив для любой степени. В нашем примере вы должны получить: $4^{5}=4*4*4*4*4=1024$.
5. 
   5
   Решите следующие задачи. Ответ проверьте при помощи калькулятора.

   • $8^{2}$
   • $3^{4}$
   • $10^{7}$
6. 
   6
   На калькуляторе найдите клавишу, обозначенную как «exp», или «$$ x n {\displaystyle x^{n}} », или «^». При помощи этой клавиши вы будете возводить число в степень. Вычислить степень с большим показателем вручную практически невозможно (например, степень $9^{15}$), но калькулятор с легкостью справится с этой задачей. В Windows 7 стандартный калькулятор можно переключить в инженерный режим; для этого нажмите «Вид» –> «Инженерный». Для переключения в обычный режим нажмите «Вид» –> «Обычный».

   • Проверьте полученный ответ при помощи Google. Воспользовавшись клавишей «^» на клавиатуре компьютера, введите выражение в поисковик, который моментально отобразит правильный ответ (и, возможно, предложит аналогичные выражения для изучения).
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Сложение, вычитание, перемножение степеней

Загрузить PDF

1. 
   1
   Складывать и вычитать степени можно только в том случае, если у них одинаковые основания. Если нужно сложить степени с одинаковыми основаниями и показателями, то вы можете заменить операцию сложения операцией умножения. Например, дано выражение $4^{5}+4^{5}$. Помните, что степень $4^{5}$ можно представить в виде $1*4^{5}$; таким образом, $4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}$ (где 1 +1 =2). То есть посчитайте число подобных степеней, а затем перемножьте такую степень и это число. В нашем примере возведите 4 в пятую степень, а затем полученный результат умножьте на 2. Помните, что операцию сложения можно заменить операцией умножения, например, $3+3=2*3$. Вот другие примеры:

   • $3^{2}+3^{2}=2*3^{2}$
   • $4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}$
   • $4^{5}-4^{5}+2=2$
   • $4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}$
2. 
   2
   При перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (основание не меняется). Например, дано выражение $x^{2}*x^{5}$. В этом случае нужно просто сложить показатели, оставив основание без изменений. Таким образом, $x^{2}*x^{5}=x^{7}$. Вот наглядное объяснение этого правила:

   • $x^{2}*x^{5}$
   • $x^{2}=x*x$
   • $x^{5}=x*x*x*x*x$
   • $x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)$
   • Так как основание умножается само на себя, то мы можем представить это в следующем виде:$x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x$
   • $x^{2}*x^{5}=x^{7}$
3. 
   3
   При возведении степени в степень показатели перемножаются. Например, дана степень $(x^{2})^{5}$. Так как показатели степени перемножаются, то $(x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}$. Смысл этого правила в том, что вы умножаете степень $(x^{2})$ саму на себя пять раз. Вот так:

   • $(x^{2})^{5}$
   • $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}$
   • Так как основание одно и то же, показатели степени просто складываются: $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}$
4. 
   4
   Степень с отрицательным показателем следует преобразовать в дробь (в обратную степень). Не беда, если вы не знаете, что такое обратная степень. Если вам дана степень с отрицательным показателем, например, $3^{-2}$, запишите эту степень в знаменатель дроби (в числителе поставьте 1), а показатель сделайте положительным. В нашем примере: ${\frac {1}{3^{2}}}$. Вот другие примеры:

   • $5^{-10}={\frac {1}{5^{10}}}$
   • $3x^{-4}={\frac {3}{x^{4}}}$
5. 
   5
   При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (основание при этом не меняется). Операция деления противоположна операции умножения. Например, дано выражение ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}$. Вычтите показатель степени, стоящей в знаменателе, из показателя степени, стоящей в числителе (основание не меняйте). Таким образом, ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}$ = 16.

   • Степень, стоящую в знаменателе, можно записать в таком виде: ${\frac {1}{4^{2}}}$ = $4^{-2}$. Помните, что дробь — это число (степень, выражение) с отрицательным показателем степени.
6. 
   6
   Ниже приведены некоторые выражения, которые помогут вам научиться решать задачи со степенями. Приведенные выражения охватывают материал, изложенный в этом разделе. Для того, чтобы увидеть ответ, просто выделите пустое пространство после знака равенства.

   • $5^{3}$ = 125
   • $2^{2}+2^{2}+2^{2}$ = 12
   • $x^{1}2-2x^{1}2$ = -x^12
   • $y^{3}*y$ = $y^{4}$Помните, что любое число — это степень с показателем 1
   • $(Q^{3})^{5}$ = $Q^{1}5$
   • ${\frac {r^{5}}{r^{2}}}$ = $r^{3}$
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Решение задач с дробными показателями степени

Загрузить PDF

1. 
   1
   Степень с дробным показателем (например, $$ x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} ) преобразуется в операцию извлечения корня. В нашем примере: $x^{\frac {1}{2}}$ = ${\sqrt {x}}$. Здесь неважно, какое число стоит в знаменателе дробного показателя степени. Например, $x^{\frac {1}{4}}$ — это корень четвертой степени из «х», то есть ${\sqrt[{4}]{x}}$ .

   • Операция извлечения корня является обратной по отношению к операции возведения в степень. Например, если корень ${\sqrt[{4}]{x}}$ возвести в четвертую степень, то вы получите «х», так же как ${\sqrt[{4}]{16}}=2$ можно проверить следующим образом: $2^{4}=16$. Другой пример: если ${\sqrt[{4}]{x}}=2$, то $2^{4}=x$; таким образом, $x=2$.
2. 
   2
   Если показатель степени представляет собой неправильную дробь, то такую степень можно разложить на две степени, чтобы упростить решение задачи. В этом нет ничего сложного — просто вспомните правило перемножения степеней. Например, дана степень $x^{\frac {5}{3}}$. Превратите такую степень в корень, степень которого будет равна знаменателю дробного показателя, а затем возведите этот корень в степень, равную числителю дробного показателя. Чтобы сделать это, вспомните, что ${\frac {5}{3}}$ = $({\frac {1}{3}})*5$. В нашем примере:

   • $x^{\frac {5}{3}}$
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$
   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$ = $({\sqrt[{3}]{x}})^{5}$
3. 
   3
   Складывайте, вычитание и перемножайте дробные показатели по общим правилам. Проще складывать и вычитать дробные показатели еще до того, как вы преобразуете степени в корни или в числа. Если даны степени с одинаковыми основаниями и показателями, то они складываются и вычитаются по общим правилам. Если даны степени только с одинаковыми основаниями, то их можно умножать и делить (только если вы помните правила сложения и вычитания дробей). Например:

   • $x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})$
   • $x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}$
   Реклама

Советы

• Упрощение выражения — это приведение его к такой форме (при помощи выполнения математических операций), которую легче решить.
• На некоторых калькуляторах есть кнопка для вычисления степеней (сначала нужно ввести основание, затем нажать кнопку, а затем ввести показатель). Она обозначается как ^ или x^y.
• Помните, что любое число в первой степени равно самому себе, например, $4^{1}=4.$ Более того, любое число, умноженное или разделенное на единицу, равно самому себе, например, $5*1=5$ и $5/1=5$.
• Знайте, что степени 0⁰ не существует (такая степень не имеет решения). При попытке решить такую степень на калькуляторе или на компьютере вы получите ошибку. Но помните, что любое число в нулевой степени равно 1, например, $4^{0}=1.$
• В высшей математике, которая оперирует мнимыми числами: $e^{a}ix=cosax+isinax$, где $i={\sqrt {(}}-1)$; е — константа, примерно равная 2,7; а — произвольная постоянная. Доказательство этого равенства можно найти в любом учебнике по высшей математике.

Реклама

Предупреждения

• При увеличении показателя степени ее значение сильно возрастает. Поэтому если ответ кажется вам неправильным, на самом деле он может оказаться верным. Вы можете проверить это, построив график любой показательной функции, например, 2^x.

Реклама