Cómo resolver exponentes

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En este artículo:

Resolver exponentes básicos

Sumar, restar y multiplicar exponentes

Resolver exponentes fraccionales

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Referencias

Los exponentes se usan cuando un número se multiplica por sí mismo. Sin embargo, en lugar de escribir $4*4*4*4*4$, puedes escribir simplemente $4^{5}$. Esto se explica en el método "Resolver exponentes básicos" a continuación. Los exponentes facilitan la escritura de expresiones o ecuaciones largas o complejas, y también puedes sumar y restar exponentes fácilmente para simplificar problemas según sea necesario cuando hayas aprendido las reglas (por ejemplo: $4^{2}*4^{3}=4^{5}$).

Nota: si quieres resolver ecuaciones exponenciales, como $2^{2x}=30$, haz clic aquí para cuando el exponente incluya una incógnita.

Pasos

Método 1

Método 1 de 3:

Resolver exponentes básicos

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   Aprende las palabras y el vocabulario correctos para los problemas de exponentes. Cuando tienes un exponente, como $2^{3}$, tienes dos partes simples. El número inferior (en este caso, 2) es la base. El número al que se eleva (en este caso, 3) se conoce como el exponente o la potencia. Si hablas de $2^{3}$, dirías que es "dos a la tercera", "dos a la tercera potencia" o "dos elevado a la tercera potencia".

   • Si un número se eleva a la segunda potencia, como $5^{2}$, también puedes decir que el número está elevado al cuadrado, como "cinco al cuadrado".
   • Si un número está elevado a la tercera potencia, como $10^{3}$, también puedes decir que está elevado al cubo, como "diez al cubo".
   • Si un número no tiene un exponente, como un simple 4, está elevado técnicamente a la primera potencia y puede reescribirse como $4^{1}$.
   • Si el exponente es 0 y un "número diferente a cero" es elevado a la "potencia cero", todo es igual a 1, como $4^{0}=1$ o incluso algo como $(3/8)^{0}=1.$ Encontrarás más sobre esto en la sección "Consejos".
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   Multiplica la base repetidamente por la cantidad de factores representados por el exponente. Si tienes que resolver un exponente a mano, empieza reescribiéndolo como un problema de multiplicación. Debes multiplicar la base por sí misma por el número del exponente. Entonces, si tienes $3^{4}$, multiplicarías 3 en una serie de cuatro factores separados, o $3*3*3*3$. Más ejemplos incluyen:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$
   • $8^{2}=8*8$
   • Diez al cubo $=10*10*10$
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   Resuelve una expresión. Multiplica los primeros dos números para obtener el producto. Por ejemplo, con $4^{5}$, empezarías con $4*4*4*4*4$. Esto se ve abrumador, pero simplemente tómalo un paso a la vez. Empieza multiplicando los primeros dos cuatros. Luego, reemplaza los dos cuatros por la respuesta, como se muestra aquí:

   • $4^{5}=4*4*4*4*4$
     • $4*4=16$
   • $4^{5}=16*4*4*4$
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   Multiplica la respuesta a tu primer par (16 en este caso) por el siguiente número. Continúa multiplicando los números para "hacer crecer" tu exponente. Continuando con nuestro ejemplo, multiplicarías 16 por el siguiente 4, de forma que:

   • $4^{5}=16*4*4*4$
     • $16*4=64$
   • $4^{5}=64*4*4$
     • $64*4=256$
   • $4^{5}=256*4$
     • $256*4=1024$
   • Como se muestra, continúas multiplicando la base por el producto de cada primer par de números hasta que obtienes tu respuesta final. Simplemente continúa multiplicando los primeros dos números, luego multiplica la respuesta por el siguiente número en la secuencia. Esto funciona para cualquier exponente. Una vez que termines con nuestro ejemplo, deberías obtener $4^{5}=4*4*4*4*4=1024$.
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   Prueba unos cuantos ejemplos más, revisando tus respuestas con una calculadora.

   • $8^{2}$
   • $3^{4}$
   • $10^{7}$
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   Usa el botón "exp", "$$ x n {\displaystyle x^{n}} " o "^" en una calculadora para realizar exponentes. Es casi imposible realizar exponentes más grandes, como $9^{15}$, a mano, pero las calculadoras pueden manejarlo con facilidad. El botón generalmente está etiquetado claramente. La herramienta de calculadora de Windows 7 puede cambiarse a una calculadora científica haciendo clic en la pestaña "Vista" de la calculadora y seleccionando "Científica". Cuando quieras regresar al modo estándar de calculadora, usa "Vista" y selecciona "Estándar".

   • Busca la expresión en Google para revisar tu respuesta. Puedes usar el botón "^" en el teclado de tu computadora, tableta o smartphone para ingresar una expresión en Google, el cual regresará una respuesta instantánea y sugerirá expresiones similares para explorar.
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Método 2

Método 2 de 3:

Sumar, restar y multiplicar exponentes

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   Suma o resta exponentes solo si tienen la misma base y exponente. Si tienes bases y exponentes idénticos, como $4^{5}+4^{5}$, puedes simplificar la suma de términos hasta obtener un problema de multiplicación. Recuerda que puede pensarse en $4^{5}$ como $1*4^{5}$ de forma que $4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}$ sumando, en donde "1 de eso más 1 de eso = 2 de eso", sea lo que sea "eso". Solo suma la cantidad de términos similares (con la base y el exponente idénticos) y multiplica la suma por esa expresión exponencial. Luego puedes simplemente resolver $4^{5}$ y multiplicar esa respuesta por dos. Recuerda: esto es porque la multiplicación es solo una forma de reescribir una suma, ya que $3+3=2*3$. Dales un vistazo a algunos ejemplos:

   • $3^{2}+3^{2}=2*3^{2}$
   • $4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}$
   • $4^{5}-4^{5}+2=2$
   • $4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}$
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   Multiplica números con la misma base sumando los exponentes. Si tienes dos exponentes con la misma base, como $x^{2}*x^{5}$, lo único que tienes que hacer es sumar los dos exponentes con la misma base. Por lo tanto, $x^{2}*x^{5}=x^{7}$. Si estás confundido, solo divídelo en todas sus partes para resolver el sistema:

   • $x^{2}*x^{5}$
   • $x^{2}=x*x$
   • $x^{5}=x*x*x*x*x$
   • $x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)$
   • Debido a que todo es simplemente el mismo número multiplicado, podemos combinarlos: $x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x$
   • $x^{2}*x^{5}=x^{7}$
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   Multiplica un número exponencial que esté elevado a otra potencia, como $$ ( x 2 ) 5 {\displaystyle (x^{2})^{5}} . Si tienes un número elevado a una potencia y todo esto luego se eleva a otra potencia, simplemente multiplica ambos exponentes. Entonces, $(x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}$. Nuevamente, piensa en lo que estos símbolos realmente significan si te confundes.$(x^{2})^{5}$ simplemente significa que multiplicas $(x^{2})$ por sí mismo 5 veces, por lo que:

   • $(x^{2})^{5}$
   • $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}$
   • Debido a que las bases son iguales, puedes simplemente sumarlas: $(x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}$
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   Trata a los exponentes negativos como fracciones o el recíproco del número. Si no sabes lo que son los recíprocos, no importa. Si tienes un exponente negativo, como $3^{-2}$, simplemente haz que el exponente sea positivo y colócalo debajo de un 1, terminando con ${\frac {1}{3^{2}}}$. Dale un vistazo a algunos ejemplos más:

   • $5^{-10}{\frac {1}{5^{10}}}$
   • $3x^{-}4={\frac {3}{x^{4}}}$
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   Divide dos números con la misma base restando los exponentes. La división es lo opuesto a la multiplicación y, si bien no siempre se resuelven de forma exactamente opuesta, en este caso sí es así. Si tienes la ecuación ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}$, simplemente resta el exponente inferior al superior y deja la base igual. Por lo tanto, ${\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}$, o 16.

   • Como verás pronto, cualquier número que sea parte de una fracción, como ${\frac {1}{4^{2}}}$, en realidad puede reescribirse como $4^{-2}$. Los exponentes negativos crean fracciones.
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   Prueba algunos problemas de práctica para acostumbrarte a manipular números exponenciales. Los siguientes problemas cubren todo lo que se muestra actualmente.

   • $5^{3}$ = 125
   • $2^{2}+2^{2}+2^{2}$ = 12
   • $x^{1}2-2x^{1}2$ = -x^12
   • $y^{3}*y$ = $y^{4}$ Recuerda, un número sin una potencia tiene un exponente de 1
   • $(Q^{3})^{5}$ = $Q^{1}5$
   • ${\frac {r^{5}}{r^{2}}}$ = $r^{3}$
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Método 3

Método 3 de 3:

Resolver exponentes fraccionales

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   Trata a los exponentes fraccionales, como $$ x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} , como si fueran un problema de raíces cuadradas.$x^{\frac {1}{2}}$ es en realidad lo mismo que ${\sqrt {x}}$. Esto se hace de forma similar independientemente de cuál sea la parte inferior de la fracción, por lo que $x^{\frac {1}{4}}$ sería la cuarta raíz de x, también escrito como ${\sqrt[{4}]{x}}$ .

   • Las raíces son la inversa de los exponentes. Por ejemplo, si tomaras la respuesta de ${\sqrt[{4}]{x}}$ y la elevaras a la cuarta potencia, regresarías a $x$, como ${\sqrt[{4}]{16}}=2$ puede revisarse como $2^{4}=16$. También, por ejemplo, si ${\sqrt[{4}]{x}}=2$, entonces $2^{4}=x$. Por lo tanto, $x=2$.
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   Convierte el número superior en un exponente normal para las fracciones mixtas.$x^{\frac {5}{3}}$ puede verse imposible, pero es fácil si recuerdas cómo se multiplican los exponentes. Simplemente convierte la base en una raíz, como una fracción normal, y luego eleva todo a la potencia en la parte superior de la fracción. Si tienes dificultades para recordar esto, piensa bien en la teoría. Después de todo, ${\frac {5}{3}}$ en realidad simplemente es igual a $({\frac {1}{3}})*5$. Por ejemplo:

   • $x^{\frac {5}{3}}$
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$
   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}$ = $({\sqrt[{3}]{x}})^{5}$
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   Suma, resta y multiplica exponentes fraccionales como siempre. Es mucho más fácil tratar de sumar y restar los exponentes antes de resolverlos o convertirlos en raíces. Si la base es la misma y el exponente es idéntico, puedes sumar y restar como siempre. Si la base es la misma, puedes multiplicar y dividir los exponentes también como siempre, con tal que recuerdes cómo sumar y restar fracciones. Por ejemplo:

   • $x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})$
   • $x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}$
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Consejos

• "Simplificar" en matemáticas significa "realizar las operaciones indicadas para obtener la forma más simple de las operaciones involucradas".
• La mayoría de las calculadoras tiene un botón que presionas para ingresar el exponente después de ingresar la base para resolver problemas de exponentes. Es probable que esté etiquetado como "^" o "x^y".
• 1 es el elemento neutro de los exponentes. Esto es, cualquier número real a la potencia de 1 (es decir, a la primera potencia) es ese número mismo, es decir $4^{1}=4.$. 1 es también el elemento neutro de la multiplicación (1 usado como multiplicador, como $5*1=5$) y el elemento neutro de la división (1 usado como divisor, como $5/1=5$).
• La base cero al exponente cero, es decir, 0⁰, no está definida (a veces se le llama "DNE" por las siglas de "no existe" en inglés). Las computadoras o calculadoras de bolsillo deberían dar un error. Recuerda que cualquier número real diferente a cero elevado a la potencia 0 siempre es 1: $4^{0}=1$.
• En el álgebra avanzada para números imaginarios, $e^{a}ix=cosax+isinax$, donde $i={\sqrt {(}}-1)$, e es una constante irracional y continua igual a aproximadamente 2,71828..., y a es una constante arbitraria. La prueba puede encontrarse en la mayoría de los libros de matemáticas superiores.

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Advertencias

• Incrementar los exponentes ocasiona que la magnitud de un producto se eleve muy rápidamente, de forma que incluso si la respuesta podría parecer incorrecta, en realidad podría ser correcta. (Puedes revisarlo haciendo un gráfico de cualquier función exponencial, por ejemplo: 2^x si x tiene un rango de valores).

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