Een grafiek van een functie maken

Als grafiek ziet een tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c , ook welk geschreven als a(x - h)² + k, er uit als een vloeiende kromme in een U-vorm. Dit noemen we een parabool. Het maken van een grafiek van een tweedegraadsvergelijking heeft te maken met het vinden van de top, de richting en ook vaak de snijpunten met de x-as en de y-as. In het geval van de relatief eenvoudige tweedegraadsvergelijking kan het ook voldoende zijn om een aantal waarden in te vullen voor x om deze punten in het assenstelsel aan te kunnen geven, waarna de parabool kan worden getekend. Ga verder met stap 1 om hiermee te beginnen.

Stappen

Pdf downloaden

1
Bepaal wat voor tweedegraadsvergelijking je hebt. Deze kan op twee manieren geschreven worden: de standaardnotatie en de vertexnotatie (een andere manier om de wortelformule te schrijven). Beide kun je gebruiken om een grafiek van een tweedegraadsvergelijking te maken, maar dit proces verloopt in beide gevallen net even anders. Meestal zal je de standaardvorm tegenkomen, maar het kan zeker geen kwaad om beide vormen te leren gebruiken. De twee vormen van een tweedegraadsvergelijking zijn:
- De standaardvorm. Hierbij wordt de tweedegraadsvergelijking genoteerd als: f(x) = ax² + bx + c waarbij a, b, en c reële getallen zijn en a niet gelijk is aan nul.
  - Twee voorbeelden van standaard tweedegraadsvergelijkingen: f(x) = x² + 2x + 1 en f(x) = 9x² + 10x -8.
- De vertexvorm. Hierbij wordt de tweedegraadsvergelijking genoteerd als: f(x) = a(x - h)² + k waarbij a, h, en k reële getallen zijn en a niet gelijk is aan nul. Deze vorm heet vertex omdat h en k direct verwijzen naar de top van je parabool in het punt (h,k).
  - Twee voorbeelden van vergelijkingen in vertexvorm zijn f(x) = 9(x - 4)² + 18 en -3(x - 5)² + 1
- Om van deze vergelijkingen een grafiek te kunnen maken, gaan we eerst de top (h,k) van de grafiek bepalen. Bij de standaardvergelijking vind je deze via: h = -b/2a en k = f(h), terwijl deze in vertexvorm al gegeven is omdat h en k in de vergelijking voorkomen.
2
Bepaal je variabelen. Om een kwadratische vergelijking op te lossen is het meestal nodig om de variabelen a, b, en c (of a, h, en k) te bepalen. Een gewone opgave zal je een tweedegraadsvergelijking geven in de standaardvorm, maar de vertexnotatie zou eventueel ook voor kunnen komen.
- Bijvoorbeeld: de standaardfunctie f(x) = 2x² +16x + 39. Hierbij hebben we a = 2, b = 16, en c = 39.
- In vertexnotatie: f(x) = 4(x - 5)² + 12. Hierbij hebben we a = 4, h = 5, en k = 12.
3
Bereken h. In de vertexnotatie is de waarde van h al gegeven, maar in de standaardnotatie moet deze waarde nog worden berekend. Onthoud dat bij de standaardvergelijking geldt: h = -b/2a.
- Voorbeeld 1. (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Door dit op te lossen zien we dat h = -4.
- Voorbeeld 2. (f(x) = 4(x - 5)² + 12), we zien meteen dat h = 5.
4
Bereken k. Evenals bij h, is k al bekend bij vergelijkingen in de vertexvorm. Voor vergelijkingen in de standaardnotatie kun je onthouden dat k = f(h). Met andere woorden, je kunt k vinden door elke variabele x te vervangen door de waarde van h.
- We hebben bij voorbeeld 1 gezien dat h = -4. Om nu k te vinden lossen we deze vergelijking op door deze waarde van h in te vullen in de vergelijking, voor de variabele x:
  - k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  - k = 2(16) - 64 + 39.
  - k = 32 - 64 + 39 = 7
- Vanuit voorbeeld 2 weten we dat de waarde van k gelijk is aan 12, zonder dat daar een berekening voor nodig is.
5
Teken de top of het dal van de grafiek. De top of het dal van je parabool is het punt (h, k) - h staat voor de x-coördinaat en k staat voor de y-coördinaat. De top is het middelpunt van je parabool – het hoogste of laagste punt, de top of het dal, van een grafiek in de vorm van een "U" of omgekeerd. Het kunnen bepalen van de top van een parabool is een essentieel onderdeel van het kunnen tekenen van een correcte grafiek – vaak is het bepalen van de top van een parabool onderdeel van een wiskundevraagstuk op school.
- In voorbeeld 1 is de top van de grafiek (-4,7). Teken het punt in je grafiek en zorg dat je de coördinaten op de juiste manier benoemd.
- In voorbeeld 2 is de top (5,12). Dus vanuit het punt (0,0) ga je 5 plaatsen naar rechts en vervolgens 12 omhoog.
6
Teken eventueel de symmetrie-as van de parabool. De symmetrie-as van een parabool is de lijn die de figuur in het midden doorsnijdt en deze daarmee precies doormidden deelt. De ene kant van de grafiek wordt langs deze lijn gespiegeld in de andere kant van de grafiek. Bij tweedegraadsvergelijkingen van zowel de vorm ax² + bx + c of a(x - h)² + k, is deze as de lijn parallel aan de y-as die door de top van de parabool gaat.
- In het geval van voorbeeld 1 is de symmetrie-as de lijn parallel aan de y-as en gaat door het punt (-4, 7). Hoewel het geen onderdeel uitmaakt van de parabool zelf, kan het lichtjes aanduiden van deze hulplijn je laten zien hoe symmetrisch de kromme van de parabool is.
7
Bepaal de richting van de parabool. Nadat je hebt uitgevonden wat de top van de parabool is, is het nodig om te weten of je te maken hebt met een berg- of met een dalparabool, dus of de opening aan de onderkant of aan de bovenkant zit. Gelukkig is dit heel eenvoudig. Als "a" positief is heb je te maken met een dalparabool; is "a" negatief dan is het een bergparabool (met de opening aan de onderkant)
- Bij voorbeeld 1 hebben we te maken met de functie (f(x) = 2x² +16x + 39), en dit is dus een dalparabool, want a = 2 (positief).
- Bij voorbeeld 2 hebben we te maken met de functie f(x) = 4(x - 5)² + 12), en dit is ook een dalparabool omdat a = 4 (positief).
8
Bepaal eventueel de snijpunten van de parabool. Vaak word bij wiskundeopgave gevraagd om de snijpunten van de parabool met de x-as te geven (dit zijn "nul", één of twee punten waar de parabool de x-as snijdt of raakt). Ook als hier niet om gevraagd wordt zijn deze punten heel belangrijk om een accurate grafiek te kunnen tekenen. Maar niet alle parabolen hebben een snijpunt met de x-as. Als je te maken hebt met een dalparabool en het dalpunt ligt boven de x-as of, in het geval van een bergparabool, juist onder de x-as, dan zijn er gewoonweg geen snijpunten te vinden. Is dit wel het geval, gebruik dan één van de volgende methoden:
- Bepaal dat f(x) = 0 en los de vergelijking op. Deze methode mag dan werken voor eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen, zeker in de vertexvorm, maar je zult merken dat dit steeds moeilijker wordt naarmate de functies complexer worden. Hieronder volgen een paar voorbeelden.
  - f(x) = 4(x - 12)²
  - 0 = 4(x - 12)² - 4
  - 4 = 4(x - 12)²
  - 1 = (x - 12)²
  - SqRt(1) = (x - 12)
  - +/- 1 = x -12. x = 11 en 13 zijn de snijpunten met de x-as van de parabool.
- Ontbind de vergelijking in factoren. Sommige vergelijkingen in de vorm ax² + bx + c kunnen gemakkelijk worden herschreven als (dx + e)(fx +g), waarbij dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, en e × g = c. In dit geval zijn de x-snijpunten de waarden van x waarbij elke term binnen de haakjes gelijk wordt aan 0. Bijvoorbeeld:
  - x² + 2x + 1
  - = (x + 1)(x + 1)
  - In dit geval is het snijpunt gelijk aan -1 omdat dit, ingevuld in de beide factoren, nul oplevert.
- Gebruik de abc-formule. Als het niet eenvoudig is om achter de snijpunten te komen, of de vergelijking te ontbinden in factoren, maak dan gebruik van de "abc-formule" die speciaal hiervoor bedoeld is. Ga uit van een vergelijking in de vorm ax² + bx + c. Vul vervolgens de waarden van a, b, en c in, in de formule x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a. Merk op dat je hiermee vaak twee antwoorden krijgt voor x, wat prima is – dat betekent gewoon dat je parabool twee snijpunten heeft met de x-as. Hier volgt een voorbeeld:
  - -5x² + 1x + 10 vul je op de volgende manier in de vergelijking in:
  - x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  - x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  - x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
  - x = (-1 +/- 14,18)/-10
  - x = (13,18/-10) en (-15,18/-10). De snijpunten van de parabool met de x-as zijn ongeveer x = -1,318 en 1,518
  - Zoals bij voorbeeld 1 met de vergelijking 2x² + 16x + 39 gaat dit er ingevuld zo uitzien:
  - x = (-16 +/- SqRt(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  - x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  - x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  - Omdat het niet mogelijk is om de wortel van een negatief getal te vinden, weten we dat er geen snijpunten met de x-as bestaan voor deze specifieke parabool.
9
Bepaal eventueel het snijpunt van de parabool met de y-as. Het is vaak niet noodzakelijk, maar soms vereist om dit snijpunt te vinden, voor bijvoorbeeld een wiskunde opgave. Dit is redelijk gemakkelijk – stel de waarde van x op 0 en los de vergelijking op voor f(x) of y, welke je de y-waarde geeft van het punt waar de parabool snijdt met de y-as. Het verschil met de snijpunten door de x-as is dat bij de y-as er altijd maar één snijpunt is. Let op – bij standaardvergelijkingen ligt het snijpunt met de y-as op y = c.
- We weten bijvoorbeeld dan onze tweedegraadsvergelijking 2x² + 16x + 39 een snijpunt y = 39 heeft, maar dit kunnen we ook als volgt vinden:
  - f(x) = 2x² + 16x + 39
  - f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39
  - f(x) = 39. Het snijpunt van de parabool met de y-as: y = 39. Zoals hierboven al aangegeven kunnen we het snijpunt gemakkelijk aflezen omdat y = c.
- De vergelijking 4(x - 5)² + 12 heeft een snijpunt met de y-as dat als volgt gevonden kan worden:
  - f(x) = 4(x - 5)² + 12
  - f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  - f(x) = 4(-5)² + 12
  - f(x) = 4(25) + 12
  - f(x) = 112. Het snijpunt met de y-as: y = 112.
10
Mocht je dit nodig vinden, teken dan eerst extra punten en daarna pas de hele grafiek. Je hebt nu als het goed is een top of dal, een richting, snijpunten met de x-as en eventueel met de y-as van je vergelijking. Vanaf dit punt kun je proberen om de parabool te tekenen met behulp van deze punten of je kunt proberen om meer punten te vinden zodat de grafiek accurater wordt. De gemakkelijkste manier om dit te doen is eenvoudig door het invullen van een aantal x-waarden, welke een aantal y-waarden als resultaat geven. Vaak zal worden gevraagd (door de leraar) om eerst een aantal punten uit te rekenen voor je de parabool mag gaan tekenen.
- Laten we nog eens kijken naar de vergelijking x² + 2x + 1. We weten al dat het enige snijpunt met de x-as gelijk is aan (-1,0). Omdat het alleen maar raakt aan de x-as in dit punt kunnen we hieruit afleiden dat de top van de grafiek gelijk is aan dit punt. Tot nu toe hebben we maar één punt van deze parabool – lang niet genoeg om een grafiek te kunnen tekenen. Laten we nog een paar punten vinden om ervoor te zorgen dat we meer waarden hebben.
  - Laten we de y-waarden proberen te vinden die horen bij de volgende x-waarden: 0, 1, -2, en -3.
  - x=0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Dan is het punt (0,1).
  - x=1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Dan is het punt (1,4).
  - x=-2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Dan is het punt (-2,1).
  - x=-3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Dan is het punt (-3,4).
  - Plaats deze punten in de grafiek en teken je parabool. Merk op dat de parabool helemaal symmetrisch is – als je de punten aan de ene kant van de grafiek kent, dan kun je jezelf meestal veel werk besparen, door deze punten te gebruik om de punten aan de andere kant van de symmetrie-as te vinden.
Advertentie

Tips

Rond getallen eventueel af of maak gebruik van breuken. Dit kan helpen om een grafiek correct weer te geven.
Merk op dat als, bij de functie f(x) = ax² + bx + c, b of c gelijk zijn aan nul, die termen zullen verdwijnen. Bijvoorbeeld 12x² + 0x + 6 wordt gelijk aan 12x² + 6 omdat 0x gelijk is aan 0.

Advertentie