Comment représenter graphiquement une équation du second degré

Si vous devez représenter graphiquement une équation du second degré de type ax² + bx + c ou a(x - h)² + k, vous obtiendrez une courbe en forme de U ou de U inversé, également appelée parabole. Pour tracer une telle courbe, il faut connaitre les coordonnées du sommet, sa direction et, le plus souvent les points d'intersection avec les deux axes des abscisses (axe des « x ») et des ordonnées (axe des « y »). Pour les fonctions les plus simples, il suffit simplement de placer quelques points bien choisis. On entre à présent dans le détail de la représentation graphique d'une équation du second degré.

Étapes

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Repérez la forme de l'équation du second degré que vous avez à résoudre. Une telle équation peut se présenter sous trois formes : développée, canonique et réduite. Même si la résolution graphique emprunte des chemins légèrement différents, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formes. Dans les problèmes donnés à l'école, on présente les fonctions plutôt sous les deux premières formes - vous ne saurez jamais à l'avance, donc, il vaut mieux connaitre les deux méthodes de résolution. Les deux principales formes sont donc les suivantes :
- la forme développée - une fonction du second degré sous forme développée ressemble à ceci : f(x) = ax 2 + bx + c avec a, b et c qui sont des nombres réels et a est non nul.
  - Les deux fonctions suivantes sont sous forme développée : f(x) = x² + 2x + 1 et f(x) = 9x² + 10x - 8
- la forme canonique - une fonction du second degré sous forme canonique se présente ainsi : f(x) = a(x - h)² + k, avec, là encore, a, b et c qui sont des nombres réels et a est non nul. Les valeurs h et k vous donnent directement les coordonnées du sommet (h, k) de votre courbe (parabole)
  - Les deux fonctions suivantes sont sous forme canonique : f(x) = 9(x - 4)² + 18 et f(x) = - 3(x - 5)² + 1
- quelle que soit la forme de la fonction, il faut toujours trouver en premier le « sommet » (ou « extrémum ») de la courbe, un point central de coordonnées (h, k). Pour une fonction développée, ces dernières sont obtenues avec les formules suivantes : h = - b/2a et k = f(h). Quand la fonction est sous forme canonique, les coordonnées (h, k) sont données directement dans l'équation.
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Repérez les coefficients et la constante. Avant de résoudre une équation du second degré, vous devez repérer les coefficients (a et b) et la constante (c) (ou a, h et k). Dans un exercice sur ce thème, on vous donnera le plus souvent une équation entièrement chiffrée, souvent sous forme développée, mais parfois sous forme canonique.
- Avec la fonction développée f(x) = 2x² +16x + 39, on a a = 2, b = 16 et c = 39.
- Avec la fonction canonique f(x) = 4(x - 5)² + 12, on a a = 4, h = 5 et k = 12.
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Calculez h. Dans une fonction de forme canonique, la valeur de h est par définition donnée. Par contre, avec une fonction sous forme développée, il faut la calculer. En ce cas, nous vous rappelons que : h = - b/2a.
- Si on reprend la fonction sous forme développée (f(x) = 2x² +16x + 39), on pose h = - b/2a = - 16/2(2). Faites les calculs, vous trouvez h = - 4.
- Si on reprend la fonction sous forme canonique (f(x) = 4(x - 5)² + 12), il n'est nul besoin de calcul pour savoir que h = 5.
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Calculez k. Comme pour h, la valeur de k est directement donnée dans une fonction de forme canonique. Souvenez-vous que, pour les fonctions de forme développée, k = f(h). Dit plus simplement, pour trouver k, il suffit de remplacer tous les « x » de la fonction par la valeur de h.
- Précédemment, nous avons trouvé une valeur de - 4 pour h dans la fonction sous forme développée. Pour trouver k, on remplace « x » par - 4.
  - k = 2(- 4)² + 16(- 4) + 39.
  - k = 2(16) - 64 + 39.
  - k = 32 - 64 + 39 = 7
- Pour la fonction de forme canonique, nul besoin de calcul, puisque k vaut 12.
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Placez le sommet. Le sommet de votre parabole se situe au point (h, k) - h est l'abscisse et k, l'ordonnée. Ce sommet est le point central de votre parabole - soit il est tout en bas du « U » (« minimum »), soit tout en haut (« maximum »). Le placement de ce sommet est un élément essentiel de la résolution graphique, il détermine l'exactitude de la courbe - souvent même, la recherche de ses coordonnées constitue une question préliminaire dans un exercice de mathématiques.
- Dans notre fonction sous forme développée, le sommet est situé au point (- 4,7). Par rapport au point origine (0,0), ce sommet est situé à 4 unités à gauche et à 7 unités vers le haut. Placez le point et indiquez ses coordonnées.
- Dans notre fonction sous forme canonique, le sommet est situé au point (5,12). Par rapport au point origine (0,0), ce sommet est situé à 5 unités à droite et à 12 unités vers le haut.
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Tracez l'axe de la parabole (non obligatoire). L'axe de symétrie d'une parabole est une droite qui divise la parabole en deux parties. Les deux moitiés de courbe sont symétriques par effet de miroir vertical. Pour une fonction d'équation ax² + bx + c ou a(x - h)² + k, l'axe de symétrie est une droite parallèle à l'axe des « y » (verticale, si vous préférez !) et passant par le sommet.
- Pour notre fonction de forme développée, l'axe est parallèle à celui des « y » et passe par le point (- 4, 7). Cette droite ne fait pas partie de la courbe, mais elle aide à sa construction. Tracez-la légèrement, car il faudra l'effacer. Votre parabole devra être parfaitement symétrique par rapport à cette droite.
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Trouvez le sens d'ouverture. Une fois le sommet et l'axe de symétrie identifiés, vous devez savoir dans quel sens (vers le haut ou le bas) s'ouvre la parabole. Rien de plus facile : si « a » est positif, la parabole s'ouvre vers le haut et, s'il est négatif, elle s'ouvre vers le bas.
- Avec notre fonction sous forme développée (f(x) = 2x² +16x + 39), la parabole s'ouvrira vers le haut, car a est positif (2).
- Avec notre fonction sous forme canonique (f(x) = 4(x - 5)² + 12), la parabole s'ouvrira aussi vers le haut, car a est positif (4).
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Si besoin, trouvez et placez les points d'intersection de la courbe avec l'axe des « x ». Dans un problème scolaire, on peut vous demander de les trouver. Même si on ne vous le demande pas, il est intéressant de le faire dans la mesure où ces points aident au tracé de la courbe. Notez toutefois que toutes les paraboles ne coupent pas l'axe des abscisses. Si votre parabole s'ouvre vers le haut et que son sommet est au-dessus de l'axe des abscisses ou bien si elle s'ouvre vers le bas avec un sommet sous ce même axe, il n'y aura aucun point d'intersection avec cet axe. Voici comment on procède pour trouver les points d'intersection avec cet axe des « x ».
- Posez simplement f(x) = 0 et résolvez l'équation. Cette méthode est à appliquer avec des équations simples, de type canonique le plus souvent. Elle est plus difficile à mettre en œuvre avec des équations plus complexes. Voici un exemple :
  - f(x) = 4(x - 12)² - 4
  - 0 = 4(x - 12)² - 4
  - 4 = 4(x - 12)²
  - 1 = (x - 12)²
  - √1 = (x - 12)
  - ainsi, x -12 = 1 et x - 12 = - 1. On a donc x = 13 et x = 11, les abscisses des deux points d'intersection de la parabole avec l'axe des « x ».
- Factorisez votre équation. Certaines fonctions de type ax² + bx + c peuvent facilement être factorisées sous la forme (dx + e)(fx +g), avec dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx et e × g = c. Dans ce cas, les points d'intersection sont alors faciles à trouver, car ce sont les racines de l'équation, à savoir que chaque parenthèse doit être égale à 0. Voici un exemple simple :
  - x² + 2x + 1
  - = (x + 1)(x + 1) = (x + 1)²
  - dans ce cas, l'équation est égale à 0 si x = - 1. C'est l'abscisse du seul point d'intersection de la courbe et de l'axe des « x ».
- Utilisez la formule quadratique. Si votre équation n'a pas de racines évidentes ou si vous n'arrivez pas à la factoriser, vous devrez en passer par la formule quadratique qui fonctionne tout le temps. Si ce n'est pas déjà fait, mettez votre équation sous forme ax² + bx + c. Remplacez a, b et c par leurs valeurs réelles dans la formule : x = (- b +/- √(b² - 4ac))/2a. Le plus souvent, vous aurez deux réponses - ce qui signifiera qu'il y aura deux points d'intersection avec l'axe des « x ». Voici un exemple de calcul :
  - partant de - 5x² + 1x + 10, remplacez les valeurs littérales de la formule quadratique comme suit :
  - x = (-1 +/- √(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  - x = (-1 +/- √(1 + 200))/-10
  - x = (-1 +/- √(201))/-10
  - x = (-1 +/- 14,18)/-10
  - x = (13,18/-10) et x = (- 15,18/-10). Les points d'intersection avec l'axe des « x » sont donc x = - 1,318 et x = 1,518
  - partant de 2x² + 16x + 39, remplacez les valeurs littérales de la formule quadratique comme suit :
  - x = (-16 +/- √(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  - x = (-16 +/- √(256 - 312))/4
  - x = (-16 +/- √(-56))/-10
  - comme on ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif, cette parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
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Si besoin, trouvez et placez les points d'intersection de la courbe avec l'axe des « y ». On recourt moins souvent au point d'intersection avec l'axe des « y » (point où se croisent la courbe et l'axe des ordonnées). Cependant, à l'école, on peut vous demander de le faire. C'est facile à faire - il suffit de poser x = 0 et de faire les calculs. Vous obtenez une seule valeur pour y : c'est l'ordonnée du point d'intersection. À la différence des points d'intersection avec l'axe des abscisses, il ne peut y avoir qu'un point d'intersection avec celui des ordonnées. Nota bene : avec une fonction de forme développée, le point d'intersection avec l'axe des « y » est : y = c.
- Nous savons déjà que la fonction 2x² + 16x + 39 coupe l'axe des « y » en y = 39. On aurait pu trouver cette valeur en faisant :
  - f(x) = 2x² + 16x + 39
  - f(0) = 2(0)² + 16(0) + 39
  - f(0) = 39. Le point d'intersection de la parabole avec l'axe des « y » se situe donc en y = 39. Comme vous le voyez, le point d'intersection avec l'axe des « y » se situe bien en y = c.
- Le point d'intersection avec l'axe des « y » de la courbe d'équation canonique 4(x - 5)² + 12 se calcule comme suit :
  - f(x) = 4(x - 5)² + 12
  - f(0) = 4(0 - 5)² + 12
  - f(0) = 4(- 5)² + 12
  - f(0) = 4(25) + 12
  - f(0) = 112. Le point d'intersection de la parabole avec l'axe des « y » se situe donc en y = 112.
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Calculez et placez d'autres points. À ce stade, vous avez votre sommet, un sens d'ouverture, d'éventuels points d'intersection avec l'axe des « x « et/ou des « y ». Même si vous avez déjà tous ces points, il est bon d'en avoir d'autres pour tracer la courbe la plus précise possible. C'est simple : vous prenez quelques valeurs de x (de préférence de part et d'autre du sommet) et vous calculez l'image (y) correspondante. Vous placez ensuite ces points sur votre repère. Souvent, vos professeurs vous demanderont de trouver un certain nombre de points avant de tracer la courbe.
- Reprenons la courbe d'équation x² + 2x + 1. Son point d'intersection avec l'axe des « x » est à : x = - 1. Comme il n'y a qu'un seul point d'intersection, c'est que ce point est aussi le sommet de la parabole, soit le point de coordonnées (-1,0). Vous comprenez bien qu'il est impossible de tracer la courbe avec ce seul point, il en faut donc d'autres.
  - Nous allons calculer les images (y) correspondant aux valeurs de x suivantes : 0, 1, - 2 et - 3.
  - Si x = 0, f(0) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Le point a pour coordonnées (0,1).
  - Si x = 1, f(1) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Le point a pour coordonnées (1,4).
  - Si x = - 2, f(- 2) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Le point a pour coordonnées (- 2,1).
  - Si x = - 3, f(- 3) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Le point a pour coordonnées (- 3,4).
  - Placez ces points sur la courbe et tracez la parabole. Cette dernière doit être parfaitement symétrique - si un de vos points, d'un côté de la courbe, tombe sur une valeur entière, sachez que vous pouvez, sans faire de calcul, placer son point symétrique par rapport à l'axe de symétrie.
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Conseils

Arrondissez vos résultats ou présentez-les sous forme de fractions si c'est la volonté de votre professeur de mathématiques. Vous aurez ainsi des courbes bien tracées.
Si, dans une fonction f(x) = ax² + bx + c, b ou c sont nuls, ces quantités disparaissent de l'équation. Ainsi, 12x² + 0x + 6 devient 12x² + 6 car 0x vaut 0.