이차방정식의 그래프 그리는 방법

이차방정식은 보통 ax² + bx + c 나 a(x - h)² + k같은 형태로 표현할 수 있으며, 이를 그래프로 나타내게 되면 포물선이라고 불리는 U, 혹은 거꾸로 된 U 형태의 부드러운 곡선을 그리게 된다. 이차방정식의 그래프를 그리기 위해서는 꼭짓점과 x, y 절편, 그리고 어느 방향으로 볼록한지만 알면 된다. 물론 주어진 이차함수(이차방정식)가 간단한 경우에는 x와 y값을 직접 입력해 나오는 결과를 xy좌표계에 표시해 이으면 쉽게 그래프를 그릴 수 있을 것이다. 이 글을 통해 이차함수의 그래프를 그리는 방법을 단계별로 배워보도록 하자.

단계

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이차방정식의 형태 정하기. 이차방정식은 일반형, 표준형, 기본 방정식의 세 가지 형태로 표현할 수 있다. 모든 형태에서 그래프를 유도해 낼 수는 있지만 학교 숙제를 풀고 있다면 일반형과 표준형으로 문제를 풀게 될 것이다. 어떤 형태로 문제를 풀어 그래프를 그릴지는 선생님이 선택할 것이니 당신이 할 수 있는 최선의 선택은 두 형태를 완전히 숙지하는 것이다:
- 일반형. 이 경우에 이차방정식은 f(x) = ax² + bx + c로 표현된다. a, b, c는 0이 아닌 실수이다.
  - 일반형으로 바꾼 이차방정식의 예를 들면 다음과 같다. f(x) = x² + 2x + 1, f(x) = 9x² + 10x -8.
- 표준형. 이 형태에서 이차방정식은 f(x) = a(x - h)² + k로 표현된다. 여기서 a, h, k는 0이 아닌 실수이다. 표준형은 꼭짓점을 쉽게 찾을 수 있어 편리하다. 식의 h와 k는 포물선의 꼭짓점 좌표이며 다음처럼 (h,k)로 쓸 수 있다.
  - 표준형으로 바꾼 이차방정식의 예를 들면 다음과 같다. f(x) = 9(x - 4)² + 18, -3(x - 5)² + 1
- 위에서 설명한 두 가지 형태의 방정식을 그래프로 그리기 위해서는 먼저 포물선의 꼭짓점을 찾을 필요가 있다. 포물선의 가장 "끝"부분이 되는 점 (h,k)이 바로 이차함수의 꼭짓점이다. 따라서 일반형을 h와 k로 정리하면 다음처럼 쓸 수 있다: h = -b/2a, k = f(h). 표준형에서는 h와 k가 주어진 것이나 다름없으므로 그대로 가져다 쓰면 된다.
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변수 정의하기. 먼저 이차방정식을 풀기 위해 변수 a, b, c (혹은 a, h, k)를 정의하도록 하자. 일반적인 수학 교과서에서는 이차방정식을 풀기 위해 먼저 식을 일반형으로 바꾸라고 하는 것이 보통이다. 하지만 가끔은 표준형이 더 편할 때도 있다.
- 다음 일반형을 보자. f(x) = 2x² +16x + 39, 여기서 a = 2, b = 16, c = 39임을 바로 알 수 있다.
- 이제 표준형을 보자. f(x) = 4(x - 5)² + 12, 여기서도 a = 4, h = 5, k = 12임을 바로 확인할 수 있다.
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h 구하기. 표준형에서는 h가 이미 주어져 있다. 하지만 일반형이라면 따로 구할 필요가 있다. 앞에서 한 번 언급했듯이 공식으로 표현하면 다음처럼 쓸 수 있다. h = -b/2a.
- 전 단계의 일반형 식의 h를 구하는 과정은 다음과 같다. (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). 이 식을 풀면 h = -4가 나온다.
- 전 단계의 표준형 식을 보면 다음과 같다. (f(x) = 4(x - 5)² + 12), 따라서 곧바로 h = 5임을 알 수 있다.
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k 구하기. 앞에서 설명했듯이 h와 k는 이차함수의 표준형에서는 바로 구할 수 있다. 하지만 일반형에서는 k = f(h)를 풀어야 한다. 따라서 함수식의 x를 전부 h로 치환한 다음 구한 h값을 대입해 k를 구하는 것이다.
- 이전 단계의 일반형 예시에서 h = -4임을 알았다. 이제 k를 찾기 위해 함수식의 x를 전부 h로 치환한다.
  - k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  - k = 2(16) - 64 + 39.
  - k = 32 - 64 + 39 = 7
- 다시 강조하지만 만약 표준형의 식이 주어진다면 계산할 필요조차 없이 바로 k값(위의 식에서는 12)을 구할 수 있다.
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꼭짓점 찍기. 포물선의 꼭짓점 (h, k)를 좌표계에 찍도록 하자. h는 x좌표, k는 y좌표를 각각 의미한다. 또한 포물선의 꼭짓점이라 하면 U나 거꾸로 된 U형태의 포물선 그래프에서 가장 아래, 혹은 위 지점을 뜻하며, 이는 동시에 포물선의 중심이 되기도 한다. 따라서 일반적인 교과 과정에서는 그래프를 그리기 전에 반드시 꼭짓점을 구하라고 할 것이다.
- 일반형 예시를 계속 풀어보면, 구한 꼭짓점의 좌표가 (-4,7)이므로 xy 좌표계의 원점(0,0)에서 왼쪽으로 4칸, 위로 7칸 이동해 점을 찍으면 될 것이다. 또한 점을 찍을 때는 확실히 보이게 찍도록 한다.
- 표준형 예시를 계속하면, 구한 꼭짓점의 좌표가 (5,12)이므로, xy 좌표계의 원점(0,0)에서 오른쪽으로 5칸, 위로 12칸 이동해 점을 찍는다.
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포물선의 축 그리기(선택 사항). 포물선의 축은 포물선을 정확히 반으로 자르는 선을 의미한다. 또한 포물선의 축을 중심으로 포물선의 왼쪽과 오른쪽이 거울상을 이루게 된다. 만약 주어진 이차방정식이 ax² + bx + c거나 a(x - h)² + k인 경우, 포물선의 축은 좌표계의 y축과 평행하며 꼭짓점을 통과하는 선이 될 것이다. (즉, 완벽한 세로선이 될 것이다.)
- 일반형의 예시를 계속 진행하면 일단 점 (-4, 7)를 통과하며 y축에 평행인 세로선을 그어야 할 것이다. 이 과정은 포물선을 그리는 과정에 포함되지 않지만 축을 그려놓으면 나중에 포물선을 그릴 때 좌우가 대칭인지 쉽게 확인할 수 있을 것이다.
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포물선이 어느 방향으로 열리는지 확인하기. 포물선의 축을 확인했으면 이제 포물선이 어느 방향으로 볼록한지, 다시 말하자면 어느 방향으로 열리는지를 확인해야 한다. 이 방법은 정말 쉬운데, 그냥 변수 "a"가 양수인지 음수인지만 알면 된다. "a"가 양수라면 포물선은 위로 열린 상태(아래로 볼록)이며, "a"가 음수일 경우에는 포물선이 아래로 열린 상태(위로 볼록)가 될 것이다.
- 일반형의 예시를 계속해 보겠다. 식 (f(x) = 2x² +16x + 39)을 보면 a = 2(양수)이므로 포물선이 아래로 볼록임을 알 수 있다.
- 표준형 예시를 계속해 보겠다. 식 (f(x) = 4(x - 5)² + 12)을 보면 a = 4(양수)이므로 포물선이 아래로 볼록임을 알 수 있다.
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필요하면 x절편 찾아 점 찍기. 보통 학교 숙제를 하는 과정에서는 포물선의 x절편을 찾으라는 문제가 많이 나온다. x절편이란 포물선과 x좌표가 만나는 점을 의미하면 일반적으로 1~2개가 존재한다. 물론 숙제에 없으면 굳이 찾을 필요는 없겠지만, x절편이 그래프를 그릴 때 도움이 된다는 점을 고려하면 구해서 나쁠 건 없을 것이다. 하지만 x절편이 존재하기 위해서는 포물선의 형태가 두 가지 경우 중 하나에 속해야 한다. 첫 번째는 포물선이 아래로 볼록할 때 꼭짓점이 x축 아래에 있는 경우고, 두 번째는 포물선이 위로 볼록할 때 꼭짓점이 x축 위에 있는 경우이다. 만약 문제에서 주어진 포물선이 이 두 가지 경우 중 하나에 속한다면 아래 과정을 따라가며 x절편을 구해보자:
- 먼저 f(x) = 0 으로 놓고 문제 풀기. 이 방법은 간단한 이차함수, 특히 표준형에는 쉽게 적용할 수 있지만 함수가 복잡해지게 되면 적용하는 것이 훨씬 힘들어진다. 아래 예시를 보도록 하자.
  - f(x) = 4(x - 12)² - 4
  - 0 = 4(x - 12)² - 4
  - 4 = 4(x - 12)²
  - 1 = (x - 12)²
  - 루트(1) = (x - 12)
  - +/- 1 = x -12. x = 11, 13이 포물선의 x절편이다.
- 식 인수분해 하기. 만약 주어진 식이 ax² + bx + c 같은 형태를 가지고 있다면 인수분해를 통해 (dx + e)(fx +g)처럼 바꿀 수 있을 것이다. 인수분해 할 때 dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx이며 e × g = c임을 참고하자. 이 경우 포물선의 x절편은 각 괄호 안을 0으로 만드는 값이 된다. 다음 예시를 보도록 하자:
  - x² + 2x + 1
  - = (x + 1)(x + 1)
  - 여기서 x절편은 -1 하나로 귀결되는데 x에 -1을 대입하면 두 괄호 안이 다 0이 되기 때문이다.
- 이차방정식의 근의 공식 사용하기. x절편을 바로 찾을 수 없거나 식을 인수분해 하기 힘들 것 같으면 근의 공식을 사용하도록 하자. 먼저 주어진 식을 ax² + bx + c와 같은 형태로 바꾸고, 식의 a, b, c를 다음 공식에 대입한다. x = (-b +/- 루트(b² - 4ac))/2a. 이 식에서는 x의 값이 두 개 나올 수 있다는 점을 이해하자. 하지만 위에서 설명했듯이 포물선은 최대 2개의 x절편을 가질 수 있다. 이제 다음 예시를 통해 이해도를 높혀보자:
  - -5x² + 1x + 10와 같은 식이 주어지면 근의 공식은 다음과 같다:
  - x = (-1 +/- 루트(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  - x = (-1 +/- 루트(1 + 200))/-10
  - x = (-1 +/- 루트(201))/-10
  - x = (-1 +/- 14.18)/-10
  - x = (13.18/-10), (-15.18/-10)이므로 포물선의 x절편은 다음과 같다. x = -1.318, 1.518
  - 전 단계에서 사용한 일반형의 예시를 근의 공식을 적용해 풀어보면 2x² + 16x + 39의 각 항의 계수를 다음과 같이 대입시킬 수 있을 것이다:
  - x = (-16 +/- 루트(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  - x = (-16 +/- 루트(256 - 312))/4
  - x = (-16 +/- 루트(-56)/-10
  - 음수의 제곱근(루트)를 찾는 것은 불가능하기 때문에 이 경우 포물선의 x축은 존재하지 않는 것을 알 수 있다.
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필요하면 y절편도 찾아 점 찍기. 보통 y절편을 찾으라고는 잘 안하지만 그래도 찾아야 할 때가 있긴 있을 것이다. 참고로 y절편은 포물선과 좌표계의 y축이 만나는 지점을 의미한다. y절편을 찾기 위해서는 먼저 주어진 식의 x에 0을 대입해 y에 대해 정리하면 된다. 그리고 최종적으로 나오는 y값이 식이 그리는 포물선과 y축이 만나는 지점이 될 것이다. x절편과는 다르게 y절편은 포물선 당 하나만 존재할 수 있다. 그리고 만약 식을 일반형으로 변형할 수 있는 경우 y = c이므로 쉽게 y절편을 구할 수 있다.
- 예를 들어 주어진 2x² + 16x + 39라면 y절편은 39가 될 것이다. 하지만 다음과 같은 과정을 통해서도 구할 수 있다:
  - f(x) = 2x² + 16x + 39
  - f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39
  - f(x) = 39. 따라서 포물선의 y절편은 y = 39이다. 위에서 설명했듯이 y절편은 식의 상수항인 c가 된다.
- 식의 표준형 예시를 놓고 보면 4(x - 5)² + 12이므로 y절편을 다음처럼 구할 수 있다.
  - f(x) = 4(x - 5)² + 12
  - f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  - f(x) = 4(-5)² + 12
  - f(x) = 4(25) + 12
  - f(x) = 112. 따라서 y절편은 y = 112이다.
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필요하면 점을 몇 개 더 찾아 그래프 그리기. 여기까지 잘 따라왔다면 지금쯤 포물선이 열린 방향, 꼭짓점, x, y좌표 등을 다 구한 상태일 것이다. 이 정보들을 동원해 포물선을 그릴 수도 있겠지만 포물선의 곡선을 더 정확하게 그리고 싶다면 점 몇 개를 더 구할 필요가 있을 것이다. 따라서 정확한 포물선을 그리고 싶다면 아무 x값을 식에 대입해 나오는 y값을 적도록 하자. 보통 학교 선생님들은 포물선 그래프를 그리려면 어느 정도 점들을 구하고 나서 그리라고 할 것이다.
- 식 x² + 2x + 1를 보도록 하자. 우리는 이미 이 식의 x절편이 x = -1임을 알고 있다. 이 식은 단 하나의 x절편을 가지고 있으므로 꼭짓점이 x절편과 동일하다고 생각할 수 있을 것이다. 이 그래프의 꼭짓점은 (-1,0)이므로 포물선을 그리기 위한 점이 하나 밖에 주어지지 않은 셈이다. 따라서 몇 가지 좌표를 더 찾아 정확한 그래프를 그려야 할 것이다.
  - 먼저 x에 0, 1, -2, -3를 대입해 나오는 y값을 찾아보도록 한다.
  - 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. 따라서 점의 좌표는 (0,1)이 된다
  - 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. 따라서 점의 좌표는 (1,4)가 된다
  - -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. 따라서 점의 좌표는 (-2,1)이 된다
  - -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. 따라서 점의 좌표는 (-3,4)가 된다
  - 위에서 구한 점들을 좌표계에 찍고 점들을 이어 U자 모양의 곡선을 그리도록 하자. 포물선이 꼭짓점을 중심으로 대칭임에 주의해 그리도록 하자. 만약 포물선 한 쪽의 점들이 정수로 되어 있다면 포물선의 축을 중심으로 대칭되는 점들을 찾아 시간을 절약할 수 있을 것이다.
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팁

식 f(x) = ax² + bx + c에서 변수 b나 c가 0인 경우에는 해당 항이 사라진다는 점에 주의한다. 예를 들어 12x² + 0x + 6이라면 식을 정리했을 때 12x² + 6처럼 될 것이다. 0x는 0과 같기 때문이다.
수학 선생님이 분수나 근사치를 사용하라고 하면 그렇게 하도록 하자. 그래프를 더 쉽게 그릴 수 있을 것이다.