วิธีการ วาดกราฟสมการกำลังสอง

ดาวน์โหลดบทความ

ดาวน์โหลดบทความ

ภายในบทความนี้:

ขั้นตอน

บทความที่เกี่ยวข้อง

ข้ออ้างอิง

เวลาพล็อตกราฟ สมการกำลังสองในรูป ax² + bx + c หรือ a(x - h)² + k จะให้กราฟเส้นโค้งเป็นรูปตัว U หรือเป็นรูปตัว U คว่ำซึ่งเรียกว่า พาราโบลา (parabola) การพล็อตกราฟสมการกำลังสองเป็นเรื่องของการหาจุดยอด ทิศทางและส่วนใหญ่ก็ให้หาจุดตัดระหว่างแกน x และแกน y ของมัน ในกรณีของสมการกำลังสองแบบง่ายนั้น แค่แทนค่า x ลงไปสักช่วงระยะหนึ่งก็พอที่จะพล็อตเส้นโค้งโดยยึดเอาตามจุดของผลที่แล้วมาได้ ดูขั้นตอนที่ 1 ด้านล่างนี้เพื่อเริ่มเรียนรู้กันเลย

ขั้นตอน

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   ดูว่าสมการกำลังสองที่คุณมีนั้นเป็นรูปทรงอะไร. สมการกำลังสองสามารถเขียนออกมาได้เป็นรูปแบบที่แตกต่างกันสามแบบ: แบบมาตรฐาน, แบบจุดยอด และแบบกำลังสอง คุณสามารถใช้รูปแบบทั้งคู่ในการพล็อตกราฟสมการกำลังสองได้ กระบวนการที่ทำอาจแตกต่างกันเล็กน้อย หากคุณได้โจทย์การบ้านมาทำ คุณมักจะได้โจทย์ที่อยู่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งของสองแบบต่อไปนี้ พูดง่ายๆ คือ คุณไม่สามารถเลือกได้ ทางที่ดีจึงควรทำความเข้าใจมันทั้งสองแบบ รูปแบบทั้งสองของสมการกำลังสองคือ:

   • รูปแบบมาตรฐาน ในรูปแบบนี้ สมการกำลังสองจะถูกเขียนเป็น: f(x) = ax² + bx + c โดยที่ a, b, และ c เป็นเลขจำนวนจริงและ a จะต้องไม่เท่ากับศูนย์
     • ตัวอย่าง สมการกำลังสองรูปแบบมาตรฐานสองแบบคือ f(x) = x² + 2x + 1 กับ f(x) = 9x² + 10x -8
   • รูปแบบจุดยอด ในรูปแบบนี้นั้น สมการกำลังสองจะถูกเขียนเป็น: f(x) = a(x - h)² + k โดยที่ a, h, และ k เป็นจำนวนจริงและ a ไม่เท่ากับศูนย์ รูปแบบจุดยอดได้ชื่อนี้เพราะ h และ k จะบอกว่าจุดยอด (จุดกึ่งกลาง) ของกราฟพาราโบลานั้นอยู่ที่จุด (h,k)
     • สมการกำลังสองรูปแบบจุดยอดสองแบบคือ f(x) = 9(x - 4)² + 18 กับ -3(x - 5)² + 1
   • ในการจะพล็อตกราฟสมการทั้งสองรูปแบบนี้ เราจำต้องหาจุดยอดของพาราโบลาก่อนเป็นอย่างแรก ซึ่งก็คือจุดกึ่งกลาง (h,k) ตรง "ปลายยอด" ของเส้นโค้ง พิกัดของจุดยอดในรูปแบบมาตรฐานจะให้มาโดย: h = -b/2a และ k = f(h), ในขณะที่ในรูปแบบจุดยอดนั้นโจทย์จะระบุ h กับ k มาให้แล้วในสมการ
2. 
   2
   นิยามตัวแปร. การที่จะแก้โจทย์สมการกำลังสองได้นั้น จะต้องนิยามตัวแปร a, b, และ c (หรือ a, h, และ k) ให้ได้เสียก่อน โจทย์พีชคณิตทั่วไปจะบอกสมการกำลังสองมาโดยให้หาตัวแปรมาเติมลงไปโดยมักจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน แต่บางครั้งก็อยู่ในรูปแบบจุดยอด

   • ตัวอย่าง สำหรับสมการในรูปแบบมาตรฐาน f(x) = 2x² +16x + 39, เราจะได้ a = 2, b = 16, และ c = 39
   • สำหรับสมการในรูปแบบจุดยอด f(x) = 4(x - 5)² + 12, เราจะได้ a = 4, h = 5, และ k = 12
3. 
   3
   คำนวณหา h. ในสมการรูปแบบจุดยอดนั้น โจทย์มักจะบอกค่าของตัวแปร h มาให้แล้ว แต่ในสมการรูปแบบมาตรฐานนั้น มันจะต้องคำนวณหาเอา จำไว้ว่าสำหรับสมการในรูปแบบมาตรฐานนั้น h = -b/2a

   • ในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเรา (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2) พอแก้สมการเราจะพบว่า h = -4
   • ในตัวอย่างสมการรูปแบบจุดยอดของเรา (f(x) = 4(x - 5)² + 12), เรารู้ว่า h = 5 โดยไม่ต้องคำนวณอะไร
4. 
   4
   คำนวณหา k. ก็เหมือนกับ h, ในสมการรูปแบบจุดยอดนั้น โจทย์มักจะบอกค่าของตัวแปร k มาให้แล้ว ในสมการรูปแบบมาตรฐานนั้น จำไว้ว่า k = f(h) พูดอีกอย่างก็คือคุณสามารถหา k ได้โดยการแทนตัวอย่างทุกตัวของ x ในสมการด้วยค่าที่คุณเพิ่งได้ของ h

   • เราได้จากในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเราแล้วว่า h = -4 ถ้าจะหา k, เราก็แก้สมการด้วยค่า h ที่ได้ไปแทนที่ x:
     • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39
     • k = 2(16) - 64 + 39
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • ส่วนในตัวอย่างรูปแบบจุดยอดก็เช่นเคย เราทราบค่าของ k (ซึ่งเท่ากับ 12) โดยไม่ต้องคำนวณอะไร
5. 
   5
   พล็อตจุดยอด. จุดยอดของพาราโบลาจะเป็นจุด (h, k) โดยที่ h เป็นตำแหน่งบนแกน x โดยที่ k เป็นตำแหน่งบนแกน y จุดยอดคือจุดกึ่งกลางของพาราโบลา ซึ่งเป็นไปได้ทั้งเป็นจุดล่างสุดของรูปตัว "U" หรือจุดบนสุดของรูปตัว "U" คว่ำ การทราบจุดยอดเป็นส่วนสำคัญของการพล็อตพาราโบลาที่มีความแม่นยำ ส่วนใหญ่โจทย์การบ้านมักให้หาจุดยอดด้วยซ้ำ

   • ในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเรา จุดยอดจะอยู่ที่ (-4,7) ดังนั้น พาราโบลาจะขึ้นสูงสุดที่จุดห่างจาก 0 ไปทางซ้าย 4 ตำแหน่งและเหนือ (0,0) ไป 7 ตำแหน่ง เราควรพล็อตจุดนี้ลงบนกราฟ ให้แน่ใจว่าได้กำกับพิกัดไว้
   • ในตัวอย่างสมการรูปแบบจุดยอดของเรา จุดยอดจะอยู่ที่ (5,12) เราควรพล็อตจุดไปทางขวา 5 ตำแหน่งและเหนือ (0,0) 12 ตำแหน่ง
6. 
   6
   วาดแกนของพาราโบลา (ไม่จำเป็น). แกนสมมาตรของพาราโบลาคือเส้นที่ลากผ่านใจกลางของมันและจะแบ่งมันออกเป็นสองส่วนเท่ากัน โดยด้านซ้ายของพาราโบลาจะสะท้อนด้านขวาไปตามแกนนี้ สำหรับสมการกำลังสองในรูปแบบ ax² + bx + c หรือ a(x - h)² + k, แกนจะเป็นเส้นที่ขนานไปกับแกน y (หรือพูดอีกอย่างคือเป็นเส้นตรงแนวดิ่ง) และตัดผ่านจุดยอด

   • ในกรณีของตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเรา แกนจะเป็นเส้นที่ขนานไปกับแกน y และตัดผ่านจุด (-4, 7) ถึงแม้มันจะไม่ใช่ส่วนหนึ่งของพาราโบลา แต่การลากเส้นนี้จางๆ บนกราฟจะช่วยให้คุณเห็นว่าพาราโบลาโค้งอย่างสมมาตรได้อย่างไร
7. 
   7
   หาทิศทางของปลายเปิด. หลังจากหาจุดยอดกับแกนของพาราโบลาได้แล้ว ต่อไปเราจำต้องรู้ว่าพาราโบลานี้ปลายเปิดหงายขึ้นหรือคว่ำลง โชคดีที่มันง่ายมาก ถ้า "a" เป็นบวก พาราโบลาก็จะปลายเปิดหงายขึ้น ในขณะที่ถ้า "a" เป็นลบ พาราโบลาก็จะมีปลายเปิดคว่ำลง (นั่นคือ มันจะเป็นรูปตัว U คว่ำ)

   • ในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเรา (f(x) = 2x² +16x + 39), เรารู้ว่าเรามีพาราโบลาแบบปลายเปิดหงายขึ้นเพราะในสมการของเรานั้น a = 2 (บวก)
   • ในตัวอย่างสมการรูปแบบจุดยอดของเรา (f(x) = 4(x - 5)² + 12), เรารู้ว่าเรามีพาราโบลาแบบปลายเปิดหงายขึ้นเพราะในสมการของเรานั้น a = 4 (บวก)
8. 
   8
   หากจำเป็น ให้หาและพล็อตจุดตัดบนแกน x. บ่อยครั้งที่การบ้านมักให้คุณหาจุดตัดบนแกน x ของพาราโบลา (ซึ่งเป็นได้ทั้ง จุดเดียว หรือ สองจุด ที่พาราโบลาจะตัดแกน x) ถึงแม้คุณไม่คิดจะหา แต่จุดทั้งสองนี้ก็มีค่าควรแก่การวาดพาราโบลาให้มีความถูกต้องมากขึ้น อย่างไรก็ตาม ใช่ว่าพาราโบลาทุกชุดจะต้องมีจุดตัดบนแกน x ถ้าเกิดพาราโบลาของคุณเป็นแบบหงายขึ้นและมีจุดยอดอยู่เหนือแกน x หรือ ถ้าเกิดมันคว่ำลงและมีจุดยอดใต้แกน x มันจะไม่มีจุดตัดบนแกน x เลย นอกเหนือจากนี้แล้ว ให้แก้โจทย์หาจุดตัดบนแกน x โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

   • แค่ตั้งให้ f(x) = 0 แล้วแก้สมการ. วิธีนี้อาจได้ผลสำหรับสมการกำลังสองโดยเฉพาะพวกที่อยู่ในรูปแบบจุดยอด แต่จะพิสูจน์ได้ยากขึ้นในโจทย์ที่มีความซับซ้อน ดูตัวอย่างตามด้านล่าง
     • f(x) = 4(x - 12)² - 4
     • 0 = 4(x - 12)² - 4
     • 4 = 4(x - 12)²
     • 1 = (x - 12)²
     • SqRt(1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12 x = 11 และ 13 นั่นคือจุดตัดแกน x ของพาราโบลา
   • แยกตัวประกอบสมการ. บางสมการในรูป ax² + bx + c สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายให้อยู่ในรูป (dx + e)(fx +g), โดยที่ dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, และ e × g = c ในกรณีนี้ จุดตัดแกน x ก็คือค่าของ x ที่ทำให้พจน์ใดพจน์หนึ่งในวงเล็บ = 0 ดังตัวอย่าง:
     • x² + 2x + 1
     • = (x + 1)(x + 1)
     • ในกรณีนี้ จุดตัดเดียวบนแกน x คือ -1 เพราะเมื่อแทนค่าให้ x เท่ากับ -1 จะทำให้พจน์ที่แยกตัวประกอบมาในวงเล็บเท่ากับ 0
   • ใช้สูตรกำลังสอง. หากคุณไม่สามารถแก้โจทย์หาจุดตัด x หรือแยกตัวประกอบสมการได้ง่ายๆ ให้ใช้สมการพิเศษที่เรียกว่า สูตรกำลังสอง ที่คิดขึ้นมาเพื่อการนี้โดยเฉพาะ ถ้าสมการของคุณยังไม่อยู่ในรูปนี้อยู่แล้ว ก็ให้เขียนสมการใหม่ให้อยู่ในรูป ax² + bx + c, จากนั้นแทนค่า a, b, และ c ลงไปในสูตร x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a โปรดสังเกตว่านี่มักจะให้คำตอบสำหรับ x ออกมาสองค่า ซึ่งก็ไม่เป็นไร มันแค่หมายความว่าพาราโบลานั้นมีจุดตัดบนแกน x สองจุด ดูตัวอย่างตามด้านล่าง:
     • -5x² + 1x + 10 จะถูกแทนค่าสู่สูตรกำลังสองได้ดังนี้:
     • x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
     • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
     • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
     • x = (-1 +/- 14.18)/-10
     • x = (13.18/-10) and (-15.18/-10) จุดตัดบนแกน x ของพาราโบลาอยู่ที่ประมาณ x = -1.318 กับ 1.518
     • ในตัวอย่างรูปแบบมาตรฐานก่อนหน้านี้ของเรา, 2x² + 16x + 39 จะถูกแทนค่าสู่สูตรกำลังสองได้ดังนี้:
     • x = (-16 +/- SqRt(16² - 4(2)(39)))/2(2)
     • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
     • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
     • เพราะการหารากที่สองของจำนวนลบนั้นเป็นไปไม่ได้ เราจึงรู้ว่าพาราโบลาพิเศษนี้ ไม่มีจุดตัดบนแกน x
9. 
   9
   ถ้าจำเป็น ให้หาและพล็อตจุดตัดบนแกน y. ถึงแม้มันจะไม่ค่อยจำเป็นนักที่จะต้องหาจุดตัดบนแกน y ของสมการ (จุดที่พาราโบลาลากผ่านแกน y) แต่ทางโรงเรียนอาจออกโจทย์มา กระบวนการหาก็ง่ายมาก แค่ตั้งให้ x = 0, แล้วแก้สมการหา f(x) หรือ y, ซึ่งจะให้ค่า y ที่ซึ่งพาราโบลาลากผ่านบนแกน y แต่ไม่เหมือนกับจุดตัดบนแกน x ตรงที่พาราโบลามาตรฐานจะมีจุดตัดบนแกน y เพียงจุดเดียว ข้อสังเกต – สำหรับสมการในรูปแบบมาตรฐานนั้น จุดตัดบนแกน y จะอยู่ที่ y = c

   • ตัวอย่าง เรารู้สมการกำลังสองของเรา 2x² + 16x + 39 มีจุดตัดบนแกน y ที่ y = 39, แต่มันยังหาได้ตามต่อไปนี้:
     • f(x) = 2x² + 16x + 39
     • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39
     • f(x) = 39 จุดตัดบนแกน y ของพาราโบลาอยู่ที่ y = 39 ตามข้อสังเกตข้างต้นที่จุดตัดบนแกน y จะอยู่ที่ y = c
   • สมแบบรูปแบบจุดยอดของเรา 4(x - 5)² + 12 มีจุดตัดบนแกน y ที่หาได้ตามต่อไปนี้:
     • f(x) = 4(x - 5)² + 12
     • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
     • f(x) = 4(-5)² + 12
     • f(x) = 4(25) + 12
     • f(x) = 112 พาราโบลามีจุดตัดบนแกน y ที่ y = 112
10. 
    10
    หากจำเป็น ให้พล็อตจุดเพิ่มเติม แล้วค่อยลากกราฟ. ตอนนี้คุณควรทราบจุดยอด, ทิศทาง, จุดตัดบนแกน x และอาจจะเพิ่มจุดตัดบนแกน y สำหรับสมการของคุณ ถึงจุดนี้ คุณสามารถลองวาดพาราโบลาโดยใช้จุดที่มีเป็นตัวนำอ้างอิง หรือจะหาจุดเพิ่มเพื่อ "เติมเต็ม" พาราโบลาเพื่อเส้นโค้งจะได้ถูกต้องแม่นยำยิ่งขึ้น วิธีทำที่ง่ายที่สุดก็แค่แทนค่า x ลงไปอีกสองสามค่าทางด้านข้างของจุดยอดทั้งสองข้าง แล้วพล็อตจุดเหล่านี้โดยใช้ค่า y ที่ได้มา ส่วนใหญ่ครูมักจะให้คุณหาจุดเพิ่มอีกเล็กน้อยก่อนจะให้วาดพาราโบลา

    • ลองกลับไปหาสมการ x² + 2x + 1 เรารู้แล้วว่าจุดตัดบนแกน x จุดเดียวคือที่ x = -1 เนื่องจากมันตัดแกน x แค่จุดเดียว เราจึงอนุมานได้ว่าจุดยอดของมัน ก็คือ จุดตัดบนแกน x นั่นหมายถึงจุดยอดของมันคือ (-1,0) เรามีจุดเดียวสำหรับพาราโบลานี้ ซึ่งไม่พอที่จะวาดพาราโบลาได้แม่นยำ ลองมาหาเพิ่มเพื่อจะวาดกราฟได้อย่างมั่นใจ
      • มาหาค่า y สำหรับค่า x ดังต่อไปนี้: 0, 1, -2, และ -3
      • สำหรับ 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1 จุดของเราคือ (0,1)
      • สำหรับ 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4 จุดของเราคือ (1,4)
      • สำหรับ -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1จุดของเราคือ (-2,1)
      • สำหรับ -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4จุดของเราคือ (-3,4)
      • พล็อตจุดเหล่านี้ลงบนกราฟแล้ววาดเส้นโค้งรูปตัว U โปรดสังเกตว่าพาราโบลาจะสมมาตร เวลาที่จุดบนด้านหนึ่งของพาราโบลามาจากจำนวนเต็ม คุณสามารถประหยัดเวลาโดยการสะท้อนจุดที่ให้มาข้ามแกนของพาราโบลาไปยังอีกด้าน
    โฆษณา

เคล็ดลับ

• โปรดสังเกตว่าใน f(x) = ax² + bx + c นั้น หาก b หรือ c เท่ากับศูนย์ จำนวนเหล่านั้นจะหายไป ดังตัวอย่าง 12x² + 0x + 6 จะกลายเป็น 12x² + 6 เพราะ 0x ก็คือ 0
• ปัดเลขหรือใช้การแยกตัวประกอบตามที่ครูบอก นี่จะช่วยคุณวาดกราฟสมการกำลังสองได้อย่างถูกต้อง

โฆษณา