Eine quadratische Gleichung grafisch darstellen

Wenn sie grafisch dargestellt werden, ergeben quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c oder a(x - h)² + k eine stufenlose Kurve in Form eines U oder eines umgekehrten U, die man als Parabel bezeichnet. Bei der grafischen Darstellung einer Gleichung geht es darum, ihren Scheitelpunkt, ihre Orientierung und häufig auch ihre Schnittpunkte mit der x- und y-Achse zu finden. Bei relativ einfachen quadratischen Gleichungen könnte es auch ausreichen, eine Reihe von x-Werten einzusetzen und eine Kurve anhand der sich ergebenden Punkte zu zeichnen.

Vorgehensweise

PDF herunterladen

1
Stelle fest, welche Form einer quadratischen Gleichung du hast. Eine quadratische Gleichung kann auf drei Arten geschrieben werden: die allgemeine Form, die Scheitelpunktform und die Normalform. Du kannst jede von ihnen verwenden, um eine quadratische Gleichung zu zeichnen, die Vorgehensweise sieht dann aber ein wenig unterschiedlich aus. Wenn du eine Aufgabe als Hausaufgabe gestellt bekommen hast, wird sie normalerweise in einer der beiden folgenden Formen stehen – das heißt, du wirst nicht auswählen können, daher ist es am besten, beide zu verstehen. Diese zwei Formen von quadratischen Gleichungen sind:
- Allgemeine Form.^{[1]XForschungsquelle} In dieser Form wird die quadratische Gleichung so geschrieben: f(x) = ax² + bx + c wobei a, b und c reale Zahlen sind und a nicht gleich Null ist.
  - Zwei quadratische Gleichungen in allgemeiner Form sind zum Beispiel f(x) = x² + 2x + 1 und f(x) = 9x² + 10x -8.
- Scheitelpunktform.^{[2]XForschungsquelle} In dieser Form wird die quadratische Gleichung so geschrieben: f(x) = a(x - h)² + k wobei a, h und k reale Zahlen sind und a nicht gleich Null ist. Die Scheitelpunktform heißt deswegen so, weil h und k dir direkt den Scheitelpunkt (Mittelpunkt) der Parabel am Punkt (h,k) liefern.
  - Zwei Gleichungen in Scheitelpunktform sind f(x) = 9(x - 4)² + 18 und -3(x - 5)² + 1
- Um eine dieser Arten von Gleichungen zu zeichnen, müssen wir zunächst den Scheitelpunkt der Parabel herausfinden, welcher der Mittelpunkt (h,k) an der "Spitze" der Kurve ist. Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind in der allgemeinen Form gegeben durch: h = -b/2a und k = f(h), während in der Scheitelpunktform h und k in der Gleichung angegeben sind.
2
Definiere die Variablen. Um eine quadratische Gleichung lösen zu können, müssen normalerweise die Variablen a, b und c (oder a, h und k) definiert werden. Bei einer gewöhnlichen Algebraaufgabe wird eine quadratische Gleichung gegeben, bei der die Variablen bereits eingesetzt sind, normalerweise in der allgemeinen Form, manchmal aber auch in der Scheitelpunktform.
- In der Gleichung in allgemeiner Form f(x) = 2x² +16x + 39 haben wir zum Beispiel a = 2, b = 16 und c = 39.
- In der Gleichung in Scheitelpunktform f(x) = 4(x - 5)² + 12 haben wir a = 4, h = 5 und k = 12.
3
Berechne h. In Gleichungen in Scheitelpunktform ist der Wert für h bereits gegeben, bei Gleichungen in der allgemeinen Form muss er aber berechnet werden. Erinnere dich, dass bei Gleichungen in allgemeiner Form h = -b/2a.^{[3]XForschungsquelle}
- In unserem Beispiel in allgemeiner Form (f(x) = 2x² +16x + 39) ist h = -b/2a = -16/2(2). Wenn wir das lösen, stellen wir fest, dass h = -4.
- In unserem Beispiel in Scheitelpunktform (f(x) = 4(x - 5)² + 12) wissen wir, dass h = 5 ist, ohne dafür zu rechnen.
4
Berechne k. Wie bei h ist k in Gleichungen in der Scheitelpunktform bereits bekannt. Merke dir für Gleichungen in der allgemeinen Form, dass k = f(h). In anderen Worten kannst du k finden, indem du x bei jedem Vorkommen in der Gleichung durch den Wert ersetzt, den du für h gefunden hast.^{[4]XForschungsquelle}
- Wir haben in unserem Beispiel in der allgemeinen Form festgestellt, dass h = -4. Um k zu finden, lösen wir die Gleichung und ersetzen x durch den Wert von h:
  - k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  - k = 2(16) - 64 + 39.
  - k = 32 - 64 + 39 = 7
- In unserem Beispiel in Scheitelpunktform kennen wir wieder den Wert von k (der 12 ist), ohne Rechnungen durchführen zu müssen.
5
Zeichne den Scheitelpunkt ein. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt an dem Punkt (h,k) – h gibt die x-Koordinate an und k die y-Koordinate. Der Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt der Parabel – entweder ganz unten bei einem "U" oder ganz oben bei einem umgekehrten "U". Den Scheitelpunkt zu kennen ist ein wesentlicher Teil zur grafischen Darstellung einer präzisen Parabel. Oft gehört den Scheitelpunkt anzugeben in der Schule zu der Aufgabenstellung.
- In unserem Beispiel in Standardform liegt der Scheitelpunkt bei (-4,7). Die Parabel erreicht ihren Mittelpunkt also vier Stellen von 0 aus nach links und 7 Stellen über (0,0). Wir sollten diesen Punkt in unserem Graphen einzeichnen und die Koordinaten beschriften.
- In dem Beispiel in Scheitelpunktform liegt der Scheitelpunkt bei (5,12). Wir zeichnen den Punkt fünf Stellen nach rechts und 12 Stellen über (0,0).
6
Zeichne die Achse der Parabel (optional). Die Symmetrieachse einer Parabel ist eine Linie, die durch ihre Mitte geht und sie absolut in zwei Hälften teilt. An dieser Achse entlang werden die linke Seite der Parabel und die rechte Seite gespiegelt. Bei quadratischen Gleichungen der Form ax² + bx + c oder a(x - h)² + k ist die Achse eine Linie, die parallel zur y-Achse verläuft (in anderen Worten ist sie vollkommen senkrecht) und verläuft durch den Scheitelpunkt.
- In dem Beispiel in allgemeiner Form ist die Achse eine Linie parallel zur y-Achse und verläuft durch den Punkt (-4,7). Obwohl sie nicht Teil der Parabel selber ist, kann diese Linie auf deinem Graphen leicht einzuzeichnen dir helfen zu sehen, wie die Parabel sich symmetrisch biegt.
7
Finde die Richtung der Öffnung. Nachdem du den Scheitelpunkt und die Achse der Parabel gefunden hast, musst du wissen, ob sich die Parabel nach oben oder nach unten öffnet. Das ist zum Glück einfach. Wenn "a" positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben hin, und wenn "a" negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten (d.h. sie ist verkehrt herum).
- Bei unserem Beispiel in der allgemeinen Form (f(x) = 2x² +16x + 39) wissen wir, dass die Parabel sich nach oben öffnet, weil in dieser Gleichung a = 2 (positiv).
- Bei dem Beispiel in Scheitelpunktform (f(x) = 4(x - 5)² + 12) wissen wir, dass es sich ebenfalls um eine nach oben offene Parabel handelt, weil a = 4 (positiv).
8
Finde, wenn notwendig, die Schnittpunkte mit der x-Achse und zeichne sie ein. In Schularbeiten wirst du oft aufgefordert werden, die Schnittstellen einer Parabel mit der x-Achse zu finden (das sind entweder einer oder zwei Punkte, an denen die Parabel auf die x-Achse trifft). Auch wenn du sie nicht finden musst, sind diese zwei Punkte sehr wertvoll, um eine präzise Parabel zu zeichnen. Es haben jedoch nicht alle Parabeln solche Schnittstellen. Wenn deine Parabel sich nach oben öffnet und einen Scheitelpunkt über der x-Achse hat oder wenn sie sich nach unten öffnet und einen Scheitelpunkt unter der x-Achse hat, hat sie keine Schnittstellen mit der x-Achse. Löse anderenfalls auf eine dieser zwei Methoden, um die Schnittpunkte zu finden:
- Setze einfach f(x) = 0 und löse die Gleichung. Diese Methode funktioniert bei einfachen quadratischen Gleichungen, besonders in Scheitelpunktform, erweist sich aber bei komplizierteren als äußerst schwierig. Sieh dir dieses Beispiel an:
  - f(x) = 4(x - 12)² - 4
  - 0 = 4(x - 12)² - 4
  - 4 = 4(x - 12)²
  - 1 = (x - 12)²
  - √(1) = (x - 12)
  - +/- 1 = x -12. x = 11 und 13 sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
- Faktorisiere die Gleichung. Manche Gleichungen in der Form ax² + bx + c können leicht zu der Form (dx + e)(fx +g) faktorisiert werden, wobei dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx und e × g = c. In diesem Fall liegen die Schnittpunkte mit der Achse an den Werten für x, die einen der Terme in Klammern = 0 werden lassen. Zum Beispiel:
  - x² + 2x + 1
  - = (x + 1)(x + 1)
  - In diesem Fall ist der einzige Schnittpunkt -1, weil x = -1 zu setzen beide der faktorisierten Terme in Klammern 0 werden lässt.
- Verwende die Quadratformel.^{[5]XForschungsquelle} Wenn du nicht leicht nach den Schnittstellen mit der x-Achse lösen oder die Gleichung in Faktoren zerlegen kannst, wende eine spezielle Gleichung an, die Quadratformel heißt und genau für diesen Zweck gedacht ist. Wenn sie es nicht bereits ist, bringe die Gleichung in die Form ax² + bx + c und setze dann a, b und c in die Formel x = (-b +/- √(b² - 4ac))/2a ein. Beachte, dass dir das häufig zwei Lösungen für x liefert, was in Ordnung ist. Das bedeutet schlicht, dass deine Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse hat. Sieh dir dieses Beispiel an:
  - -5x² + 1x + 10 wird wie folgt in die Quadratformel eingesetzt:
  - x = (-1 +/- √(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  - x = (-1 +/- √(1 + 200))/-10
  - x = (-1 +/- √(201))/-10
  - x = (-1 +/- 14,18)/-10
  - x = (13,18/-10) und (-15,18/-10). Die Schnittstellen mit der x-Achse liegen ungefähr bei x = -1,318 und 1,518
  - Das Beispiel in der allgemeinen Form, 2x² + 16x + 39, wird so in die Quadratformel eingesetzt:
  - x = (-16 +/- √(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  - x = (-16 +/- √(256 - 312))/4
  - x = (-16 +/- √(-56)/-10
  - Da die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu ziehen unmöglich ist, wissen wir, dass keine Schnittstellen mit der x-Achse für diese bestimmte Parabel existieren.
9
Finde, wenn notwendig, die Schnittstelle mit der y-Achse und zeichne sie ein.^{[6]XForschungsquelle} Obwohl es häufig nicht notwendig ist, den Schnittpunkt einer Gleichung mit der y-Achse zu finden (die Stelle, an der die Parabel durch die y-Achse verläuft), könntest du dazu aufgefordert werden, besonders in der Schule. Dieses Vorgehen ist ziemlich einfach: setze einfach x=0 und löse die Gleichung dann nach f(x) oder y, wodurch du den y-Wert erhältst, bei dem die Parabel durch die y-Achse geht. Im Gegensatz zu den Schnittpunkten mit der x-Achse können gewöhnliche Parabeln nur eine Schnittstelle mit der y-Achse haben. Notiz: bei Gleichungen in allgemeiner Form liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse bei y = c.
- Wir wissen zum Beispiel, dass die quadratische Gleichung 2x² + 16x + 39 eine Schnittstelle mit der y-Achse bei y = 39 hat, man kann sie aber auch so finden:
  - f(x) = 2x² + 16x + 39
  - f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39
  - f(x) = 39. Der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse ist bei y = 39. Wie oben beschrieben, liegt der Punkt bei y = c.
- Die Gleichung in der Scheitelpunktform 4(x - 5)² + 12 hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse, den man folgendermaßen finden kann:
  - f(x) = 4(x - 5)² + 12
  - f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  - f(x) = 4(-5)² + 12
  - f(x) = 4(25) + 12
  - f(x) = 112. Der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse ist bei y = 112.
10
Zeichne, wenn notwendig, weitere Punkte ein und stelle die Parabel grafisch dar. Du solltest nun einen Scheitelpunkt, eine Orientierung, Schnittpunkt(e) mit der x-Achse und möglicherweise einen Schnittpunkt mit der y-Achse für deine Gleichung ermittelt haben. An dieser Stelle kannst du entweder versuchen, die Parabel mit diesen Punkten als Führungshilfe zu zeichnen oder du kannst weitere Punkte finden, um die Parabel "auszufüllen", damit die Kurve, die du zeichnest, präziser ist. Die einfachste Möglichkeit, das zu machen, ist einfach ein paar x-Werte an beiden Seiten des Scheitelpunktes in die Gleichung einzusetzen und diese dann mit den gefundenen y-Werten einzuzeichnen. Oft geben Lehrer eine bestimmte Anzahl an Punkten vor, die du finden musst, bevor du die Parabel zeichnest.^{[7]XForschungsquelle}
- Sehen wir uns noch einmal die Gleichung x² + 2x + 1 an. Wir wissen bereits, dass der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse bei x = -1 liegt. Weil sie die x-Achse nur an einem Punkt schneidet, können wir daraus ableiten, dass der Scheitelpunkt dieser Schnittpunkt mit der x-Achse ist, was bedeutet, dass er bei (-1,0) liegt. Wir haben schließlich nur einen Punkt für diese Parabel, was nicht ausreicht, um eine gute Parabel zu zeichnen. Finden wir ein paar weitere, um sicherzustellen, dass wir einen präzisen Graphen zeichnen.
  - Finden wir die y-Werte für die folgenden x-Werte: 0, 1, -2 und -3.
  - Für 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Der Punkt ist (0,1).
  - Für 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Der Punkt ist (1,4).
  - Für -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Der Punkt ist (-2,1).
  - Für -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Der Punkt ist (-3,4).
  - Zeichne diese Punkte in dem Graphen ein und dann eine u-förmige Kurve. Denke daran, dass die Parabel vollkommen symmetrisch ist – wenn die Punkte auf einer Seite der Parabel auf ganzen Zahlen liegen, kannst du dir meistens etwas Arbeit ersparen, indem du einen bestimmten Punkt einfach an der Symmetrieachse der Parabel spiegelst, um den entsprechenden Punkt auf der anderen Seite der Parabel zu finden.
Werbeanzeige

Tipps

Beachte, dass in f(x) = ax² + bx + c die jeweiligen Zahlen, wenn b oder c Null entsprechen, verschwinden. Zum Beispiel wird 12x² + 0x + 6 zu 12x² + 6, weil 0x gleich 0 ist.
Runde Zahlen oder verwende Brüche, wie es von deinem Mathematiklehrer vorgegeben wird. So kannst du die quadratischen Gleichungen ordnungsgemäß grafisch darstellen.

Werbeanzeige