วิธีการ แก้สมการกำลังสาม

ดาวน์โหลดบทความ

ดาวน์โหลดบทความ

ภายในบทความนี้:

แก้โจทย์ด้วยสูตรสมการกำลังสอง

หาค่าจำนวนเต็มด้วยการแยกตัวประกอบ

ใช้วิธีการ "ดิสคริมิแนนต์"

บทความที่เกี่ยวข้อง

ครั้งแรกที่คุณได้เห็นสมการกำลังสาม (ซึ่งใช้รูปแบบพหุนาม ax³ + bx² + cx + d = 0) มันอาจดูยากจะแก้โจทย์ได้ อย่างไรก็ดี วิธีแก้โจทย์สมการกำลังสามนั้นมีมาหลายศตวรรษแล้ว! มันถูกค้นพบในช่วงศตวรรษที่ 15 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียน นิคโคโล ตาร์ตัลเกลียและเจโรลาโม คาร์ดาโน วิธีการแก้โจทย์สมการยกกำลังสามเป็นหนึ่งในสูตรแรกๆ ที่ยังไม่รู้จักกันในสมัยกรีกและโรมัน การแก้สมการยกกำลังสามอาจยากหน่อย แต่ถ้ามีวิธีที่ถูกต้อง (และมีความรู้พื้นฐานอยู่พอตัว) แม้กระทั่งโจทย์สมการกำลังสามที่ว่าหินๆ ก็ยังสามารถกินนิ่ม

ขั้นตอน

วิธีการ 1

วิธีการ 1 ของ 3:

แก้โจทย์ด้วยสูตรสมการกำลังสอง

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   ตรวจดูว่าสมการกำลังสามนั้นมีค่าคงที่อยู่ด้วยหรือไม่. ดังที่บอกไว้ข้างต้น สมการกำลังสามนั้นจะอยู่ในรูปแบบ ax³ + bx² + cx + d = 0 b, c, และ d สามารถเป็น 0 โดยไม่ส่งผลอะไรไม่ว่าสมการพหุนามนั้นจะเป็นกำลังสามหรือไม่ นั่นหมายความว่าสมการกำลังสามไม่จำเป็นต้องมีตัวเลข bx², cx, หรือ d ทั้งหมดเพื่อจะเป็นสมการกำลังสาม ในการเริ่มวิธีแก้โจทย์แบบง่ายนี้ ให้ดูว่าในสมการมีค่าคงที่หรือไม่ (เช่น ค่า d) หากไม่มี คุณสามารถใช้การแก้สมการกำลังสองมาหาคำตอบได้หลังปรับแก้ทางคณิตศาสตร์เพิ่มอีกเล็กน้อย

   • แต่หากสมการนั้น มี ค่าคงที่อยู่ด้วย คุณจำต้องใช้วิธีการแก้โจทย์แบบอื่น ให้ดูด้านล่าง
2. 
   2
   แยกตัวแปร x ออกจากสมการ. เนื่องจากสมการพหุนามไม่มีค่าคงที่ ทุกพจน์จึงมีตัวแปร x ติดอยู่ นั่นหมายถึงสามารถแยก x ตัวหนึ่งออกมาจากสมการเพื่อถอดให้มันง่ายขึ้น เขียนสมการเสียใหม่ในรูปแบบของ x(ax² + bx + c)

   • ตัวอย่าง สมมติว่าสมการกำลังสามของเราคือ 3x³ + -2x² + 14x = 0 แยกตัวแปร x หนึ่งตัวออกมาจากสมการ เราก็จะได้ x(3x² + -2x + 14) = 0
3. 
   3
   ใช้สูตรสมการกำลังสองแก้โจทย์ในวงเล็บ. คุณอาจสังเกตเห็นแล้วว่าส่วนหนึ่งของสมการพหุนามใหม่นี้อยู่ในวงเล็บและตรงกับรูปแบบของสมการกำลังสอง (ax² + bx + c) นั่นหมายความว่าเราสามารถหาค่าโดยให้พหุนามนี้เท่ากับศูนย์โดยการแทน a, b, และ c เข้าไปในสมการกำลังสอง ({-b +/-√ (b²- 4ac)}/2a) ทำเช่นนี้เพื่อหาสองคำตอบสำหรับสมการกำลังสามของคุณ

   • ในตัวอย่างของเรา เราจะแทนค่า a, b, และ c (3, -2, และ 14 ตามลำดับ) เข้าไปในสมการกำลังสองดังนี้:

     ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

     ${\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}$

   • คำตอบ 1:

     ${\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}$

     ${\frac {2+12.8i}{6}}$

   • คำตอบ 2:

     ${\frac {2-12.8i}{6}}$
4. 
   4
   ใช้ศูนย์และคำตอบสมการกำลังสองเป็นคำตอบของสมการกำลังสาม. ในขณะที่สมการกำลังสองอาศัยสองคำตอบ สมการกำลังสามต้องอาศัยถึงสาม คุณได้มาแล้วสองค่า พวกมันเป็นคำตอบที่คุณพบในส่วนของ "สมการกำลังสอง" ภายในวงเล็บของโจทย์ ในกรณีที่สมการของคุณมีคุณสมบัติสำหรับใช้วิธีการแก้สมการแบบ "แยกตัวประกอบ" นี้ คำตอบที่สามจะเป็น 0 เสมอ ขอแสดงความยินดีด้วย คุณเพิ่งแก้สมการยกกำลังสามได้สำเร็จ

   • เหตุผลที่เป็นเช่นนั้นก็เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ว่า จำนวนใดๆ เมื่อคูณกับศูนย์ก็จะมีค่าเท่ากับศูนย์ เมื่อคุณแยกตัวประกอบในสมการพหุนามมาอยู่ในรูปแบบ x(ax² + bx + c) = 0 คุณได้แยกมันออกเป็นสอง "ครึ่ง": ครึ่งแรกคือตัวแปร x ทางด้านซ้ายและอีกครึ่งคือสมการกำลังสองในวงเล็บ หากทั้งสอง "ครึ่ง" นี้เท่ากับศูนย์ สมการทั้งสมการก็จะเท่าไปด้วย ดังนั้น คำตอบของสมการกำลังสองในวงเล็บสองคำตอบซึ่งจะทำให้ "ครึ่ง" นั้นเท่ากับศูนย์ จึงเป็นคำตอบสำหรับสมการกำลังสาม เพราะตัว 0 เองจะทำให้ "ครึ่ง" ฝั่งซ้ายเท่ากับศูนย์ไปด้วย
   โฆษณา

วิธีการ 2

วิธีการ 2 ของ 3:

หาค่าจำนวนเต็มด้วยการแยกตัวประกอบ

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   ให้แน่ใจว่าสมการกำลังสามของคุณมีพจน์ที่เป็นค่าคงที่. ในขณะที่วิธีการด้านบนนั้นสะดวก เพราะคุณไม่ต้องเรียนรู้ทักษะทางคณิตศาสตร์เพิ่มเพื่อใช้มัน แต่มันไม่สามารถแก้ไขโจทย์สมการกำลังสามได้ตลอด หากสมการพหุนามนั้นอยู่ในรูป ax³ + bx² + cx + d = 0 และ d ไม่ได้มีค่าเป็นศูนย์ เคล็ดลับการแยกตัวประกอบด้านบนก็ไม่ได้ผล คุณจำต้องใช้วิธีการที่จะอธิบายในส่วนนี้หรือไม่ก็อีกวิธีด้านล่างเพื่อแก้โจทย์

   • ตัวอย่าง สมมติว่าเราได้รับสมการพหุนาม 2x³ + 9x² + 13x = -6 ในกรณีนี้ การจะทำให้ด้านขวาของสมการเป็น 0 ต้องเอา 6 ไปบวกทั้งสองด้าน ในสมการใหม่จึงเป็น 2x³ + 9x² + 13x + 6 = 0, d = 6 ดังนั้น เราจึงไม่สามารถใช้เคล็ดการแยกตัวประกอบข้างต้นได้
2. 
   2
   หาตัวประกอบของ a และ d. ในการแก้สมการกำลังสาม ให้เริ่มด้วยการหาตัวประกอบของ a (สัมประสิทธิ์ของจำนวน x³) และ d (ค่าคงที่ในตอนท้ายของสมการ) เพื่อเตือนความจำไวๆ ตัวประกอบคือตัวเลขที่สามารถคูณกันเพื่อทำให้เกิดตัวเลขอื่น เช่น คุณสามารถสร้างเลข 6 โดยการคูณเลข 6 กับ 1 และเลข 2 กับ 3 ดังนั้นเลข 1, 2, 3, และ 6 จึงเป็นตัวประกอบของ 6

   • ในโจทย์ตัวอย่าง a = 2 และ d = 6 ตัวประกอบของ 2 คือ 1 กับ 2 ตัวประกอบของ 6 คือ 1, 2, 3, และ 6
3. 
   3
   หารตัวประกอบของ a ด้วยตัวประกอบของ d. ต่อจากนั้น ไล่ค่าที่คุณได้จากการหารตัวประกอบแต่ละตัวของ a ด้วยตัวประกอบแต่ละตัวของ d ซึ่งผลที่ได้มักจะอยู่ในรูปเศษส่วนและมีจำนวนเต็มเพียงไม่กี่ตัว คำตอบจำนวนเต็มของสมการกำลังสามของคุณก็จะเป็นหนึ่งในค่าจำนวนเต็มที่ได้ในลิสต์นี้หรือไม่ก็ค่าเป็นลบของตัวเลขหนึ่งในนี้

   • ในสมการของเรา ตัวประกอบของ a (1, 2) ถูกหารด้วยตัวประกอบของ d (1, 2, 3, 6) ได้ค่าดังนี้: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, และ 2/3 จากนั้น เราเติมค่าลบเพื่อให้มันสมบูรณ์แบบ: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, และ -2/3 ผลตัวเลขจำนวนเต็มของสมการกำลังสามของเราอยู่ในค่าเหล่านี้แหละ
4. 
   4
   ใช้การหารสังเคราะห์หรือตรวจคำตอบเองทีละตัว. พอคุณได้ค่าทั้งหมดนี้แล้ว คุณสามารถหาคำตอบจำนวนเต็มสำหรับสมการยกกำลังสามได้โดยแทนค่าเองทีละตัวแล้วหาว่าตัวไหนจะเท่ากับศูนย์ อย่างไรก็ดี ถ้าไม่อยากเสียเวลา ก็มีวิธีที่ช่วยให้เร็วกว่านิดหน่อยโดยใช้เทคนิคที่เรียกว่าการหารสังเคราะห์ คุณจะต้องหารสังเคราะห์ค่าจำนวนเต็มด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของ a, b, c, และ d เดิมในสมการยกกำลังสาม หากคุณได้ผลที่เหลือเป็นศูนย์ ค่านั้นคือคำตอบหนึ่งของสมการยกกำลังสาม

   • การหารสังเคราะห์เป็นเรื่องที่ซับซ้อน โปรดหาดูบทความเพิ่มเติมในวิกิฮาว นี่คือตัวอย่างในการผลลัพธ์ของสมการยกกำลังสามโดยการหารสังเคราะห์:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

     เนื่องจากเราได้ผลสุดท้ายเป็น 0 เราจึงรู้ว่าหนึ่งในคำตอบจำนวนเต็มของสมการคือ -1

   โฆษณา

วิธีการ 3

วิธีการ 3 ของ 3:

ใช้วิธีการ "ดิสคริมิแนนต์"

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   เขียนค่าของ a, b, c, และ dออกมา. สำหรับวิธีหาคำตอบของสมการกำลังสามนี้ เราจะใช้สัมประสิทธิ์ของพจน์ในสมการเป็นหลัก ด้วยเหตุผลนี้ ทางที่ดีจึงควรบันทึกพจน์ a, b, c, และ d เอาไว้ก่อนที่จะเริ่มเพื่อคุณจะได้ไม่ลืมว่าแต่ละตัวคืออะไร

   • ตัวอย่าง สำหรับสมการพหุนาม x³ - 3x² + 3x – 1 เราจะเขียนว่า a = 1, b = -3, c = 3, และ d = -1 อย่าลืมว่าเวลาที่ตัวแปร x ไม่ได้มีสัมประสิทธิ์ ก็รู้กันว่าสัมประสิทธิ์ของมันคือ 1
2. 
   2
   คำนวณ Δ0 = b² - 3ac. การใช้ดิสคริมิแนนต์หาสมการกำลังสามนั้นต้องใช้คณิตศาสตร์เชิงลึก แต่หากคุณทำตามกระบวนการด้วยความระมัดระวัง คุณจะพบว่ามันเป็นเครื่องมือหาคำตอบสมการกำลังสามที่ทรงคุณค่า เริ่มต้นด้วยการหา Δ0 ค่าแรกของค่าสำคัญมากมายที่เราจำเป็นต้องรู้ โดยการแทนที่ค่าที่เหมาะสมลงไปในสูตร b² - 3ac

   • ในตัวอย่างของเรา จะแก้โจทย์ได้ดังต่อไปนี้:

     b² - 3ac

     (-3)² - 3(1)(3)

     9 - 3(1)(3)

     9 - 9 = 0 = Δ0
3. 
   3
   คำนวณ Δ1= 2b³ - 9abc + 27a²d. ค่าสำคัญต่อไปที่เราต้องการคือ Δ1 นั้นต้องใช้วิธีเพิ่มมากกว่าเดิมเล็กน้อย แต่ก็หาได้แบบเดียวกับ Δ0 แทนค่าที่เหมาะสมลงไปในสูตร 2b³ - 9abc + 27a²d เพื่อให้ได้ค่าของ Δ1

   • ในตัวอย่างของเรา จะแก้โจทย์ได้ดังต่อไปนี้:

     2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

     2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

     -54 + 81 - 27

     81 - 81 = 0 = Δ1
4. 
   4
   คำนวณ Δ = Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27a². ต่อไปเราจะคำนวณ ดิสคริมิแนนต์ ของสมการกำลังสามจากค่าของ Δ0 และ Δ1 ดิสคริมิแนนต์นั้นก็คือตัวเลขที่บ่งบอกให้เรารู้ถึงรากที่สองของพหุนาม (คุณอาจรู้จักดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสองแล้วโดยไม่รู้ตัวจาก: b² - 4ac) ในกรณีของสมการกำลังสาม หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก สมการจะได้คำตอบที่เป็นจริงได้สามคำตอบ หากดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ สมการจะมีคำตอบที่เป็นจริงหนึ่งหรือสองคำตอบ และบางคำตอบอาจเป็นจำนวนร่วมกัน ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นลบ สมการก็จะมีคำตอบที่เป็นจริงคำตอบเดียว (สมการกำลังสามจะมีคำตอบที่เป็นจริงอย่างน้อยหนึ่งคำตอบเสมอ เพราะกราฟจะตัดแกน x อย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ)

   • ในตัวอย่างของเรา เนื่องจากทั้ง Δ0 และ Δ1 = 0 การหา Δ จึงง่ายดาย เราแค่แก้โจทย์ตามต่อไปนี้:

     Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27a²

     (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

     0 - 0 ÷ 27

     0 = Δ ดังนั้นสมการของเราจะมี 1 หรือ 2 คำตอบ
5. 
   5
   คำนวณ C = ³√(√((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1)/ 2). ค่าสำคัญตัวสุดท้ายที่จำเป็นต้องคำนวณคือ C ค่าสำคัญนี้จะทำให้เราหารากทั้งสามได้ ให้แก้โจทย์ตามปกติ แทนค่า Δ1 กับ Δ0 ตามจำเป็น

   • ในตัวอย่างของเรานั้น จะหาค่า C ได้ดังต่อไปนี้:

     ³√(√((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1)/ 2)

     ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

     ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

     0 = C
6. 
   6
   คำนวณรากทั้งสามด้วยตัวแปรที่ได้. ราก (คำตอบ) สำหรับสมการกำลังสามนั้นจะได้ตามสูตร (b + uⁿC + (Δ0/uⁿC)) / 3a โดยที่ u = (-1 + √(-3))/2 และ n เป็นไปได้ทั้ง 1, 2, หรือ 3 แทนค่าลงไปเพื่อแก้โจทย์ มันต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์มากมาย แต่คุณควรจะได้คำตอบที่มีสิทธิเป็นไปได้สามคำตอบ!

   • ในตัวอย่างของเรา เราอาจแก้โจทย์โดยตรวจคำตอบเวลาที่ n เท่ากับ 1, 2, และ 3 คำตอบที่ได้จากการทดสอบเหล่านี้เป็นคำตอบที่มีสิทธิเป็นไปได้ของสมการกำลังสาม ตัวไหนก็ตามที่ได้คำตอบของ 0 เวลาแทนค่าลงไปในสมการจะเป็นคำตอบถูกต้อง เช่น หากเราได้คำตอบ 1 จากการทดสอบของเรา เนื่องจากพอแทนค่า 1 ลงใน x³ - 3x² + 3x - 1 จะได้เป็น 0 ดังนั้น 1 จึงเป็นหนึ่งในคำตอบของสมการกำลังสามของเรา
   โฆษณา