Üçüncü Dereceden Denklem Nasıl Çözülür?

Makaleyi İndir

Makaleyi İndir

Bu Makalede:

Bir Sabiti Olmayan Üçüncü Dereceden Denklemleri Çözmek

Çarpan Listesiyle Tam Sayılı Çözümler Bulmak

Diskriminant Yaklaşımını Kullanmak

İlgili Makaleler

Referanslar

Üçüncü dereceden (kübik) bir denklemde en yüksek kuvvet 3’tür, denklemin 3 çözümü/kökü vardır ve denklem $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ şeklindedir. Üçüncü dereceden denklemler göz korkutucu görünse ve aslında bu denklemleri çözmesi oldukça zor olsa da, doğru yaklaşımla (ve sağlam temel bilgiyle) en zorlu üçüncü dereceden denklemler bile rahatça çözülebilir. Diğer seçeneklerin yanında ikinci derece formülünu kullanmak, tam sayılı çözümleri bulmak ya da diskriminantları belirlemeyi deneyebilirsin.

Adımlar

Yöntem 1

Yöntem 1 / 3:

Bir Sabiti Olmayan Üçüncü Dereceden Denklemleri Çözmek

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Üçüncü dereceden denkleminde sabit bir değerin (bir $$ d {\displaystyle d} değeri) olup olmadığını kontrol et. Üçüncü dereceden denklemler $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ şeklindedir. Bununla birlikte tek gerekli terim $x^{3}$'tür yani bir denklemin üçüncü dereceden denklem olması için diğer elemanların bulunması şart değildir.

   • Eğer denklemin bir sabit (bir $d$ değeri) içeriyorsa başka bir çözüm yöntemi kullanman gerekir.
   • Eğer $a=0$ ise denklemin üçüncü dereceden değildir.
2. 
   2
   Denklemi $$ x {\displaystyle x} parantezine al. Denklemde bir sabit olmadığından dolayı denklemdeki her terimin içinde bir $x$ değişkeni bulunur. Yani, denklem $x$ parantezine alınarak basitleştirilebilir. Bunu yap ve denklemi $x(ax^{2}+bx+c)$ formunda tekrar yaz.

   • Örneğin; başlangıç kübik denklemimiz $3x^{3}+-2x^{2}+14x=0$ olsun.
   • Bir $x$ çarpanını denklemin dışına alırsak, $x(3x^{2}+-2x+14)=0$ denklemini elde ederiz.
3. 
   3
   Mümkünse elde ettiğin ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayır. Çoğu durumda denklemi $x$ parantezine aldığında elde ettiğin ikinci dereceden denklemi ($ax^{2}+bx+c$) çarpanlarına ayırabilirsin. Örneğin, eğer sana $x^{3}+5x^{2}-14x=0$ verilirse şunları yapabilirsin:

   • Denklemi $x$ parantezine al: $x(x^{2}+5x-14)=0$
   • Parantez içindeki ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayır: $x(x+7)(x-2)=0$
   • Bu çarpanlardan her birini $0$'a eşitle. Çözümlerin $x=0,x=-7,x=2$ olacaktır.
4. 
   4
   Eğer çarpanlara ayıramıyorsan parantez içindeki kısmı ikinci dereceden denklem formülü ile çöz. $a$, $b$ ve $c$ değerlerini ikinci dereceden denklemde (${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$) yerine koyarak denklemi $0$’a eşitleyen değerleri bulabilirsin. Üçüncü dereceden denkleminin iki cevabını bulmak için bunu yap.

   • Örnekte, $a$, $b$ ve $c$ değerlerini (sırasıyla $3$, $-2$ ve $14$) ikinci derece denklem formülüne aşağıdaki gibi yerleştir:

     ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

     ${\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}$

   • Cevap 1:

     ${\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}$

     ${\frac {2+12.8i}{6}}$

   • Cevap 2:

     ${\frac {2-12.8i}{6}}$
5. 
   5
   Üçüncü dereceden denklemin cevabı olarak sıfır ve ikinci derecede denklemden elde ettiğin cevapları kullan. İkinci dereceden denklemlerde iki çözüm bulunurken üçüncü dereceden denklemlerde üç çözüm vardır. Problemin parantez içindeki "ikinci dereceden" kısmı için bunlardan ikisini zaten buldun. Denkleminin bu "çarpan" metodu için uygun olduğu durumlarda, üçüncü cevabın daima $0$ olacaktır.

   • Denklemini $x(ax^{2}+bx+c)=0$ şeklinde çarpanlarına ayırdığında, esasında onu ikiye bölmüş olursun: yarımlardan biri soldaki $x$ değişkeni, diğeri de parantez içindeki ikinci dereceli kısımdır. Eğer bu "yarım"lardan biri sıfıra eşit olursa, denklemin tamamı da sıfır olur.
   • Böylelikle parantez içindeki ikinci dereceli kısmı $0$'a eşitleyen iki cevap, kübik denklemin de cevabıdır ve aynı şekilde sol çarpanı $0$'a eşitleyen $0$ değeri de.
   Reklam

Yöntem 2

Yöntem 2 / 3:

Çarpan Listesiyle Tam Sayılı Çözümler Bulmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Üçüncü dereceden denkleminde bir sabitinin bulunduğundan emin ol. Eğer $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ formundaki denklem $d$ değeri için sıfırdan farklı bir değere sahipse, yukarıdaki ikici dereceden çarpan yöntemi işe yaramaz. Ama üzülme, burada anlatılan gibi başka seçeneklerin var!

   • Örneğin; elimizde $2x^{3}+9x^{2}+13x=-6$ denkleminin olduğunu varsayalım. Bu durumda, eşittir işaretinin sağ tarafında $0$ elde etmek için her iki tarafa $6$ eklememiz gerekir.
   • Yeni denklemimiz olan $2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0$’da $d=6$ olduğu için, yukarıdaki çarpan yöntemini kullanamayız.
2. 
   2
   $$ a {\displaystyle a} ve $$ d {\displaystyle d} çarpanlarını bul. Kübik denklemi çözmeye $x^{3}$ teriminin katsayısının ($a$) çarpanlarını ve denklemin sonundaki sabiti ($d$) bularak başla. Unutma; çarpanlar, başka bir sayı oluşturmak için birbirleriyle çarpılabilen sayılardır.

   • Örneğin; $6\times 1$ ve $2\times 3$, $6$’ya eşittir; dolayısıyla $1$, $2$, $3$ ve $6$, $6$’nın çarpanlarıdır.
   • Örnek problemimizde, $a=2$ ve $d=6$'dır. $2$’nin çarpanları $1$ ve $2$’dir. $6$’nın çarpanları $1$, $2$, $3$ ve $6$’dır.
3. 
   3
   $$ a {\displaystyle a} ’nın çarpanlarını $$ d {\displaystyle d} ’nin çarpanlarına böl. Sonra, $a$’nın her çarpanını $d$’nın her çarpanına bölerek elde ettiğin değerlerin bir listesini yap. Bunun sonucunda genellikle çok fazla kesirli ve birkaç tam sayı elde edilir. Kübik denkleminin tamsayı çözümleri ya bu listedeki tam sayılardan biri veya bu sayılardan birinin negatifi olacaktır.

   • Denklemimizde $a$’nın çarpanlarını (1 ve 2) $d$’nin çarpanlarına (1, 2, 3 ve 6) bölersen şu liste elde edilir: $6$, $-6$, $3$, $-3$, $2$, $-2$, $1$ and $-1$. Kübik denklemimizin tamsayı çözümleri bu listede bir yerdedir.
4. 
   4
   Daha basit ama muhtemelen daha fazla zaman alan bir yaklaşımla tam sayıları yerine yaz. Değer listen elinde olduğu zaman, kübik denkleminin tam sayı cevaplarını hızlı bir şekilde her tam sayıyı yerine koyarak ve hangilerinin denklemi $0$’a eşitlediğine bakarak bulabilirsin. Örneğin eğer $1$’i yerine yazarsan şunu elde edersin:

   • $2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6$ ya da $2+9+13+6$, bu da açık bir şekilde $0$’a eşit değildir. Bu nedenle listendeki sonraki değere geçersin.
   • Eğer $-1$’i yerine yazarsan $(-2)+9+(-13)+6$ elde edersin, bu da $0$’a eşittir. Yani $-1$ tam sayı çözümlerinden biridir.
5. 
   5
   Daha karmaşık ama muhtemelen daha hızlı bir yaklaşım için sentetik bölmeyi kullan. Eğer değerleri tek tek yerine yazıp deneyerek zaman harcamak istemiyorsan sentetik bölme denen biraz daha hızlı bir yöntemi kullanabilirsin. Esas olarak, tam sayı değerlerini kübik denklemdeki asıl $a$, $b$, $c$ ve $d$ katsayılarına böleceksin. Eğer kalan $0$ olursa elindeki değer kübik denklemin cevaplarından biridir.

   • Sentetik bölme karışık bir konudur — daha fazla bilgi için yukarıdaki bağlantıya bak. İşte, sentetik bölme ile kübik denklemimizin çözümlerinden birini nasıl bulacağımıza bir örnek:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Kalan $0$ olduğundan, kübik denklemimizin tam sayı çözümlerinden birinin $-1$ olduğunu biliyoruz.
   Reklam

Yöntem 3

Yöntem 3 / 3:

Diskriminant Yaklaşımını Kullanmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   $$ a {\displaystyle a} , $$ b {\displaystyle b} , $$ c {\displaystyle c} ve $$ d {\displaystyle d} değerlerini yaz. Bu kübik denklem çözümü bulma yöntemi için denklemimizde yer alan terimlerin katsayılarıyla ciddi ölçüde ilgileneceğiz. Bu nedenle, daha sonra unutmamak için başlamadan önce $a$, $b$, $c$ ve $d$ terimlerini kayıt altına almak akıllıca olur.

   • Örneğin; $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ denklemi için, $a=1$, $b=-3$, $c=3$ ve $d=-1$ yazalım. Unutma ki, bir $x$ değişkeninin katsayısı olmadığında, katsayısının $1$ olduğu kabul edilir.
2. 
   2
   Uygun formülü kullanarak sıfırın diskriminantını hesapla. Kübik bir denklemin çözümünü bulmak için kullanılan diskriminant yaklaşımı biraz karmaşık matematik gerektirir, ancak işlemi dikkatli bir şekilde takip edersen, başka türlü çözümü zor olan kübik denklemleri çözmek için paha biçilmez bir yöntem olduğunu göreceksin. Başlangıçta, $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ formülüne uygun değerleri koyarak ihtiyacımız olan birkaç önemli değerin ilki olan $\Delta _{0}$ (sıfırın diskriminantı) değerini bul.

   • Diskriminant bize br polinomun kökleri hakkında bilgi veren bir sayıdır (ikinci dereceden diskriminantı zaten biliyor olabilirsin: $b^{2}-4ac$).
   • Örneğimizi aşağıdaki gibi çözeceğiz:

     $b^{2}-3ac$

     $(-3)^{2}-3(1)(3)$

     $9-3(1)(3)$

     $9-9=0=\Delta _{0}$
3. 
   3
   $$ Δ 1 = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d {\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d} ifadesini hesaplayarak devam et. İhtiyacımız olan bir sonraki önemli değer olan $\Delta _{1}$ ($1$'in diskriminantı), biraz daha fazla çalışma gerektirir ancak esasında $\Delta _{0}$ ile aynı şekilde bulunur. $\Delta _{1}$ değerini elde etmek için uygun değerleri $2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ formülünde yerine koy.

   • Örneğimizi aşağıdaki gibi çözeceğiz:

     $2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)$

     $2(-27)-9(-9)+27(-1)$

     $-54+81-27$

     $81-81=0=\Delta _{1}$
4. 
   4
   $$ Δ = ( Δ 1 2 − 4 Δ 3 ) ÷ − 27 a 2 {\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}} ifadesini hesapla. Sonra, $\Delta _{0}$ ve $\Delta _{1}$ değerlerinden üçüncü derece diskriminant değerini hesaplayacağız. Kübik denklemde, eğer diskriminant pozitif ise o zaman denklemin üç gerçek çözümü vardır. Eğer diskriminant sıfır ise, o zaman denklemin bir ya da iki gerçek çözümü vardır ve bu çözümlerin bazıları ortaktır. Eğer negatif ise, denklemin sadece bir çözümü vardır.

   • Kübik bir denklem her zaman en az bir gerçek çözüme sahiptir, çünkü grafik daima x-ekseninden en az bir kez geçecektir.
   • Örneğimizde, $\Delta _{0}$ ve $\Delta _{1}$ $=0$ olduğundan, $\Delta$’yı bulmak çocuk oyuncağı olacak. Aşağıdaki gibi çözeceğiz:

     $(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})$

     $((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})$

     $0-0\div 27$

     $0=\Delta$, yani denklemimizin 1 veya 2 cevabı var.
5. 
   5
   $$ C = 3 ( Δ 1 2 − 4 Δ 3 + Δ 1 ) ÷ 2 {\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}} ifadesini hesapla. Hesaplamamız gereken son önemli değer $C$' dir. Bu önemli değer nihayet üç kökü bulmamızı sağlayacak. Çözümü normal şekilde yap, gerektiğinde $\Delta _{1}$ ve $\Delta _{0}$ değerlerini değiştir.

   • Örneğimizde, $C$’yi aşağıdaki gibi bulacağız:

     $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}$

     $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}$

     $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}$

     $0=C$
6. 
   6
   Değişkenlerinle üç kökü hesapla. Kübik denkleminin kökleri (cevapları) $-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a$ formülü ile bulunur ve burada $u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2$ ve n değeri 1, 2, ya da 3 'tür. Çözmek için değerlerini gerektiği gibi yerine koy; bu çok sayıda matematiksel işlem yapmayı gerektirir, ancak sonunda üç uygulanabilir cevap elde etmelisin!

   • Örneğimizde, n değeri 1, 2 ve 3 'e eşit olduğunda cevabı kontrol ederek çözümü elde edebiliriz. Bu testlerden elde ettiğimiz cevaplar kübik denklemimizin olası cevaplarıdır; denklemde yerine konulduğunda 0 cevabı veren herhangi bir değer doğrudur.
   • Örneğin; $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ denkleminde 1 değerini yerine koyarsak 0 cevabını verir, böylelikle 1, kübik denklemimizin cevaplarından biridir.
   Reklam

References