Cara Menyelesaikan Persamaan Kubik

Pada saat pertama kali Anda menemukan persamaan kubik (yang berbentuk ax³ + bx² + cx + d = 0), mungkin Anda beranggapan bahwa soal tersebut akan sulit diselesaikan. Tetapi, ketahuilah bahwa cara menyelesaikan persamaan kubik sebenarnya telah ada selama berabad-abad! Cara penyelesaian yang ditemukan oleh ahli matematika Italia Niccolò Tartaglia dan Gerolamo Cardano pada tahun 1500an ini merupakan salah satu rumus pertama yang dikenal pada zaman Yunani dan Romawi kuno. Menyelesaikan persamaan kubik mungkin akan sedikit sulit, tetapi dengan pendekatan yang benar (dan pengetahuan yang cukup), bahkan persamaan kubik yang paling sulit sekalipun bisa dipecahkan.

Metode 1

Metode 1 dari 3:

Menyelesaikan Menggunakan Persamaan Kuadrat

Unduh PDF

1
Periksa apakah persamaan kubik Anda memiliki konstanta. Sebagaimana dinyatakan di atas, bentuk persamaan kubik adalah ax³ + bx² + cx + d = 0. b, c, dan nilai d bisa jadi 0 tanpa mempengaruhi bentuk persamaan kubik ini; hal ini pada dasarnya berarti bahwa persamaan kubik tidak harus selalu menyertakan nilai bx², cx, atau d untuk bisa menjadi sebuah persamaan kubik. Untuk mulai menggunakan cara yang cukup mudah dalam memecahkan persamaan kubik ini, periksalah apakah persamaan kubik Anda memiliki sebuah konstanta (atau nilai d). Jika persamaan Anda tidak memiliki konstanta atau nilai d, maka Anda dapat menggunakan persamaan kuadrat untuk mencari jawaban dari persamaan kubik setelah melakukan beberapa langkah perhitungan.
- Di sisi lain, jika persamaan Anda memiliki nilai konstanta, maka Anda akan membutuhkan cara penyelesaian yang lainnya. Lihat langkah di bawah untuk mengetahui pendekatan lainnya.
2
Faktorkan nilai x dari persamaan kubik. Karena persamaan Anda tidak memiliki nilai konstanta, semua komponen di dalamnya memiliki variabel x. Hal ini berarti, nilai x ini dapat difaktorkan keluar dari persamaan untuk menyederhanakannya. Lakukan langkah ini dan tulis ulang persamaan kubik Anda dalam bentuk x(ax² + bx + c).
- Sebagai contohnya, katakanlah bahwa persamaan kubik asal di sini adalah 3x³ + -2x² + 14x = 0. Dengan memfaktorkan satu variabel x dari persamaan ini, kita akan mendapatkan persamaan x(3x² + -2x + 14) = 0.
3
Gunakan persamaan kuadrat untuk memecahkan persamaan yang berada di dalam tanda kurung. Anda mungkin menyadari bahwa sebagian persamaan baru Anda, yang terdapat di dalam tanda kurung, berbentuk persamaan kuadrat (ax² + bx + c). Hal ini berarti kita dapat mencari nilai yang dibutuhkan agar hasil persamaan ini sama dengan nol dengan memasukkan a, b, dan c ke dalam rumus persamaan kuadrat ({-b +/-√ (b²- 4ac)}/2a). Lakukan perhitungan ini untuk mencari dua jawaban dari persamaan kubik Anda.
- Dalam contoh yang kita gunakan, masukkanlah nilai a, b, dan c (3, -2, dan 14, secara berurutan) ke dalam persamaan kuadrat sebagai berikut:
  {-b +/-√ (b²- 4ac)}/2a
  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)
  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
  {2 +/-√ (4 - (168)}/6
  {2 +/-√ (-164)}/6
- Jawaban 1:
  {2 + √(-164)}/6
  {2 + 12.8i}/6
- Jawaban 2:
  {2 - 12.8i}/6
4
Gunakanlah nol dan jawaban persamaan kuadrat Anda sebagai jawaban persamaan kubik Anda. Persamaan kuadrat akan memiliki dua jawaban, sedangkan persamaan kubik memiliki tiga jawaban. Anda sudah mengetahui dua jawaban dari tiga; yang Anda dapatkan dari bagian persamaan "kuadrat" di dalam tanda kurung. Jika persamaan kubik Anda bisa diselesaikan dengan cara "faktorisasi" seperti ini, jawaban ketiga Anda hampir selalu 0. Selamat! Anda baru saja menyelesaikan persamaan kubik.
- Alasan yang membuat cara ini bisa digunakan adalah fakta mendasar bahwa "semua angka yang dikalikan dengan nol akan sama dengan nol". Saat Anda memfaktorkan persamaan Anda menjadi bentuk x(ax² + bx + c) = 0, pada dasarnya Anda hanyalah membaginya menjadi dua "bagian"; satu bagian berupa variabel x di sisi kiri dan bagian lainnya adalah persamaan kuadrat di dalam tanda kurung. Jika salah satu dari kedua bagian ini bernilai nol, maka seluruh persamaan juga akan bernilai nol. Dengan demikian, kedua jawaban dari persamaan kuadrat yang berada di dalam tanda kurung, yang akan membuatnya menjadi bernilai nol, merupakan jawaban dari persamaan kubik, juga nilai 0 sendiri - yang akan membuat bagian di sisi kiri juga bernilai nol.
Iklan

Metode 2

Metode 2 dari 3:

Mencari Jawaban Bilangan Bulat Menggunakan Daftar Faktor

Unduh PDF

1
Pastikan bahwa persamaan kubik Anda memiliki nilai konstanta. Walaupun cara yang dijelaskan di atas cukup mudah digunakan karena Anda tidak perlu belajar teknik perhitungan baru untuk menggunakannya, cara tersebut tidak selalu bisa membantu Anda menyelesaikan persamaan kubik. Jika persamaan kubik Anda berbentuk ax³ + bx² + cx + d = 0, dengan nilai d tidak sama dengan nol, cara "faktorisasi" di atas tidak bisa digunakan, sehingga Anda harus menggunakan salah satu cara di bagian ini untuk menyelesaikannya.
- Sebagai contohnya, katakanlah kita memiliki persamaan 2x³ + 9x² + 13x = -6. Dalam kasus ini, untuk mendapatkan nilai nol di sisi kanan persamaan, kita harus menambahkan nilai 6 ke kedua sisinya. Setelahnya, kita akan mendapatkan persamaan baru 2x³ + 9x² + 13x + 6 = 0, dengan nilai d = 6, jadi kita tidak dapat menggunakan cara "faktorisasi" seperti dalam cara sebelumnya.
2
Cari faktor dari a dan d. Untuk menyelesaikan persamaan kubik Anda, mulailah dengan menemukan faktor dari a (koefisien dari x³) dan d (nilai konstanta di akhir persamaan). Ingatlah, faktor adalah angka yang dapat dikalikan satu sama lain untuk menghasilkan angka tertentu. Sebagai contohnya, karena Anda bisa mendapatkan nilai 6 dengan mengalikan 6 × 1 dan 2 × 3, maka 1, 2, 3, dan 6 adalah faktor dari 6.
- Dalam contoh soal yang kita gunakan, a = 2 dan d = 6. Faktor dari 2 adalah 1 dan 2. Sedangkan faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6.
3
Bagi faktor a dengan faktor dari d. Selanjutnya, buatlah daftar nilai yang Anda peroleh dengan membagi setiap faktor dari a dengan setiap faktor dari d. Perhitungan ini biasanya menghasilkan banyak nilai pecahan dan beberapa bilangan utuh. Nilai bilangan bulat untuk menyelesaikan persamaan kubik Anda adalah salah satu dari bilangan bulat yang diperoleh dari perhitungan tersebut.
- Dalam persamaan kita, bagilah nilai faktor dari a (1, 2) dengan faktor dari d (1, 2, 3, 6) dan diperoleh hasil sebagai berikut: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, dan 2/3. Selanjutnya, tambahkan nilai negatif ke dalam daftar tersebut, dan diperoleh: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, dan -2/3. Jawaban persamaan kubik -- yang berupa bilangan bulat, terdapat dalam daftar tersebut.
4
Gunakan pembagian sintetis untuk memeriksa jawaban Anda secara manual. Setelah Anda memperoleh daftar nilai seperti di atas, Anda bisa mencari nilai bilangan bulat yang merupakan jawaban dari persamaan kubik Anda melalui memasukkan masing-masing bilangan bulat secara manual, dan mencari nilai mana yang memberikan hasil sama dengan nol. Hanya saja, jika Anda tidak mau menghabiskan waktu untuk melakukan hal ini, ada cara untuk melakukannya dengan lebih cepat, yaitu dengan perhitungan yang disebut dengan pembagian sintetis. Pada dasarnya, Anda akan membagi nilai bilangan bulat Anda dengan koefisien asli dari a, b, c, dan d dalam persamaan kubik Anda. Jika sisanya sama dengan nol, maka nilai tersebut merupakan salah satu dari jawaban persamaan kubik Anda.
- Pembagian sintetis adalah topik yang rumit — lihat tautan di bawah ini untuk mengetahui informasi selengkapnya. Berikut ini adalah contoh cara mencari salah satu jawaban persamaan kubik Anda dengan pembagian sintetis:
  -1 | 2 9 13 6
  __| -2-7-6
  __| 2 7 6 0
  Karena kita mendapatkan hasil akhir sama dengan 0, maka kita mengetahui bahwa salah satu jawaban bilangan bulat untuk persamaan kubik kita adalah -1.
Iklan

Metode 3

Metode 3 dari 3:

Menggunakan Pendekatan Diskriminan

Unduh PDF

1
Tuliskan persamaan a, b, c, dan d. Untuk mencari jawaban persamaan kubik dengan cara ini, kita akan banyak melakukan perhitungan dengan koefisien dalam persamaan kita. Karena hal ini, sebaiknya Anda mencatat nilai a, b, c, dan d sebelum Anda lupa salah satu nilainya.
- Sebagai contoh, untuk persamaan x³ - 3x² + 3x - 1, tuliskanlah menjadi a = 1, b = -3, c = 3, dan d = -1. Jangan lupa bahwa saat variabel x tidak memiliki koefisien, maka nilainya adalah 1.
2
HItung Δ0 = b² - 3ac. Pendekatan diskriminan untuk mencari jawaban dari persamaan kubik membutuhkan perhitungan yang rumit, tetapi jika Anda mengikuti langkahnya dengan hati-hati, pendekatan ini akan sangat bermanfaat untuk menyelesaikan persamaan kubik yang sulit dipecahkan dengan cara lain. Untuk memulainya, carilah nilai Δ0, yang merupakan nilai penting pertama dari beberapa yang kita perlukan, dengan memasukkan nilai yang sesuai ke dalam rumus b² - 3ac.
- Dalam contoh yang kita gunakan, kita akan menyelesaikannya sebagai berikut:
  b² - 3ac
  (-3)² - 3(1)(3)
  9 - 3(1)(3)
  9 - 9 = 0 = Δ0
3
Hitung Δ1= 2b³ - 9abc + 27a²d. Nilai penting selanjutnya yang kita butuhkan, Δ1, memerlukan perhitungan yang lebih panjang, tetapi dapat diketahui dengan cara yang sama seperti Δ0. Masukkan nilai yang sesuai ke dalam rumus 2b³ - 9abc + 27a²d untuk mendapatkan nilai Δ1.
- Dalam contoh ini, kita menyelesaikannya sebagai berikut:
  2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)
  2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
  -54 + 81 - 27
  81 - 81 = 0 = Δ1
4
Hitung Δ = Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27a². Selanjutnya, kita hitunng nilai "diskriminan" dari nilai Δ0 dan Δ1. Diskriminan adalah angka yang memberikan Anda informasi mengenai akar polinomial (Anda mungkin telah hafal secara tidak sadar rumus diskriminan kuadrat: b² - 4ac). Dalam kasus persamaan kubik, jika nilai diskriminan positif, maka persamaan tersebut memiliki tiga jawaban bilangan riil. Jika nilai diskriminan sama dengan nol, maka persamaan tersebut memiliki satu atau dua jawaban bilangan riil, dan beberapa jawaban di antaranya bernilai sama. Jika nilainya negatif, maka persamaan tersebut hanya memiliki satu jawaban bilangan riil, karena grafik persamaan akan selalu memotong sumbu x paling tidak satu kali.)
- Dalam contoh ini, karena baik nilai Δ0 dan Δ1 = 0, mencari nilai Δ akan sangat mudah dilakukan. KIta hanya perlu menghitungnya dengan cara berikut ini:
  Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27a²
  (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²
  0 - 0 ÷ 27
  0 = Δ, jadi persamaan kita memiliki 1 atau 2 jawaban.
5
Hitung C = ³√(√((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1)/ 2). Nilai terakhir yang penting untuk kita dapatkan adalah nilai C. Nilai ini memungkinkan kita untuk mendapatkan ketiga akar dari persamaan kubik kita. Selesaikan seperti biasanya, masukkan nilai Δ1 dan Δ0 ke dalam rumus.
- Dalam contoh ini, kita akan mendapatkan nilai C dengan cara:
  ³√(√((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1)/ 2)
  ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)
  ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
  0 = C
6
Hitung ketiga akar persamaan dengan variabel Anda. Akar (jawaban) dari persamaan kubik Anda ditentukan dengan rumus (b + uⁿC + (Δ0/uⁿC)) / 3a, di mana u = (-1 + √(-3))/2 dan n sama denagn 1, 2, atau 3. Masukkan nilai Anda ke dalam rumus untuk menyelesaikannya — mungkin perhitungan yang perlu Anda selesaikan cukup banyak, tetapi Anda seharusnya akan mendapatkan ketiga jawaban persamaan kubik Anda!
- Dalam contoh ini, kita mungkin menyelesaikannya dengan memeriksa jawaban saat n sama dengan 1, 2, dan 3. Jawaban yang kita dapatkan dari perhitungan ini adalah kemungkinan jawaban dari persamaan kubik kita — nilai apa pun yang kita masukkan ke dalam persamaan kubik dan memberikan hasil sama dengan 0, adalah jawaban yang benar. Sebagai contohnya, jika kita mendapatkan jawaban sama dengan 1 jika dalam salah satu percobaan perhitungan kita, dengan memasukkan nilai 1 ke dalam persamaan x³ - 3x² + 3x - 1 menghasilkan hasil akhir sama dengan 0. Dengan demikian 1 merupakan salah satu jawaban dari persamaan kubik kita.
Iklan