Como Resolver uma Equação Cúbica

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Neste Artigo:

Solucionando equações cúbicas sem uma constante

Determinando soluções inteiras com listas de fatores

Usando a abordagem do discriminante

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Referências

Em uma equação cúbica, a maior potência é $3$, a operação tem $3$ soluções ou raízes e a própria fórmula é expressa como $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$. Embora pareça intimidadora e traga desafios consideráveis em sua resolução, basta fazer uso da abordagem adequada (e uma boa porção de conhecimentos de base) para domar mesmo a mais complexa dentre elas. Você pode tentar, dentre outras opções, usar a fórmula quadrática, encontrar soluções inteiras ou identificar os discriminantes.

Passos

Método 1

Método 1 de 3:

Solucionando equações cúbicas sem uma constante

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   Observe se a equação cúbica contém uma constante (valor $$ d {\displaystyle d} ). Equações desse grau se apresentam na forma $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$. Entretanto, o único requerimento essencial é $x^{3}$, indicando que outros elementos não precisam estar presentes a fim de que a equação seja considerada cúbica.

   • Se ela contém uma constante (valor $d$), será necessário utilizar outro método de resolução.
   • Se $a=0$, você não tem uma equação cúbica em mãos.
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   Fatore o $$ x {\displaystyle x} fora da equação. Como ela não possui uma constante, cada termo presente na equação terá também uma variável $x$. Isso indica que um $x$ pode ser fatorado e colocado para fora a fim, simplificando a equação. Faça isso e reescreva-a no formato $x(ax^{2}+bx+c)$.

   • Suponha, por exemplo, que a sua equação cúbica inicial seja $3x^{3}-2x^{2}+14x=0$
   • Ao fatorar o $x$ na equação, você obterá $x(3x^{2}-2x+14)=0$
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   Se possível, fatore a equação quadrática resultante. Em muitos casos, você poderá inclusive fatorar a equação quadrática ($ax^{2}+bx+c$) que resultou do passo anterior. Se estiver trabalhando com $x^{3}+5x^{2}-14x=0$, por exemplo, você poderá:

   • Fatorar o $x$ e colocá-lo para fora: $x(x^{2}+5x-14)=0$
   • Fatorar a equação quadrática entre parênteses: $x(x+7)(x-2)=0$
   • Igualar cada um dos fatores a $0$, obtendo as soluções $x=0$, $x=-7$ e $x=2$.
   • Você também pode fatorar por agrupamento.
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   Caso não consiga avançar em uma fatoração convencional, resolva a porção entre parênteses com a fórmula quadrática. É possível encontrar os valores nos quais a equação quadrática é igual a $0$ inserindo as variáveis $a$, $b$ e $c$ na fórmula $\left({\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)$. Avance nesse passo para encontra duas das respostas para a equação cúbica.

   • No exemplo, insira os valores para $a$, $b$ e $c$ (ou $3$, $-2$ e $14$, respectivamente) na equação quadrática:
     ${\begin{aligned}&{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\&{\frac {-(-2)\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}\\&{\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}\\&{\frac {2\pm {\sqrt {4-168}}}{6}}\\&{\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}\\\end{aligned}}$
   • Resposta 1:
     ${\begin{aligned}{\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}\\{\frac {2+12,8i}{6}}\end{aligned}}$
   • Resposta 2:
     ${\frac {2-12,8i}{6}}$
5. 
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   Use como resposta na equação cúbica as soluções quadráticas e o número zero. Embora equações quadráticas tenham apenas duas soluções, as cúbicas têm três — você já conheceu duas delas, que estavam na porção "quadrática" do problema entre parênteses. Em casos nos quais a equação pode ser trabalhada com esse método de resolução "fatorada", a terceira resposta será sempre igual a $0$.

   • Fatorar a sua equação no formato $x(ax^{2}+bx+c)=0$ a divide em dois fatores: um deles sendo a variável $x$ à esquerda e o outro sendo a porção quadrática entre parênteses. Se qualquer deles for igual a $0$, toda a equação se igualará também a $0$.
   • Desse modo, ambas as respostas na porção quadrática entre parênteses (cujos fatores são iguais a $0$) são respostas também para a equação cúbica — uma vez que o próprio $0$ faz com que o fator da esquerda seja igual a esse valor.
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Método 2

Método 2 de 3:

Determinando soluções inteiras com listas de fatores

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   Observe se a equação cúbica tem uma constante. Se ela estiver escrita no formato $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ com o valor de $d$ sendo diferente de $0$ ($d\neq 0$), fatorar a equação quadrática não funcionará. Mas não se preocupe! Há outras opções, como a descrita aqui.

   • Tome por exemplo a equação $2x^{3}+9x^{2}+13x=-6$. Nesse caso, para se ter um $0$ no lado direito da igualdade é preciso somar $6$ a ambos.
   • A nova equação será $2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0$. Como $d=6$, não é possível usar o método da equação quadrática.
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   Determine os fatores de $$ a {\displaystyle a} e $$ d {\displaystyle d} . Comece a resolver a equação cúbica determinando quais são os fatores do coeficiente de $x^{3}$ (ou $a$) e da constante final (ou $d$). Lembre-se: fatores são os números que podem ser multiplicados a fim de se obter um novo número.

   • Por exemplo, se você pode obter $6$ das multiplicações $6\times 1$ e $2\times 3$, isso significa que $1$, $2$, $3$ e $6$ são todos fatores de $6$.
   • No problema de exemplo, $a=2$ e $d=6$. Aqui, os fatores de $2$ são $1$ e $2$ e os fatores de $6$ são $1$, $2$, $3$ e $6$.
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   Divida os fatores de $$ a {\displaystyle a} pelos fatores de $$ d {\displaystyle d} . Faça uma lista contendo os valores obtidos pela divisão de cada fator de $a$ por cada fator de $d$. Como resultado, você geralmente obterá muitas frações e alguns números inteiros. As soluções inteiras da equação cúbica serão ou os números inteiros nessa lista ou suas contrapartes negativas.

   • Na equação de exemplo, ao se colocar os fatores de $a$ ($1$ e $2$) sobre os fatores de $d$ ($1$, $2$, $3$ e $6$) obtém-se o seguinte: $1$, ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {1}{3}}$, ${\frac {1}{6}}$ e ${\frac {2}{3}}$. A seguir, adiciona-se cada valor negativo à lista para completá-la: $1$, $-1$, ${\frac {1}{2}}$, $-{\frac {1}{2}}$, ${\frac {1}{3}}$, $-{\frac {1}{3}}$, ${\frac {1}{6}}$, $-{\frac {1}{6}}$, ${\frac {2}{3}}$ e $-{\frac {2}{3}}$. As soluções inteiras da equação cúbica estarão entre essas possibilidades.
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   Para uma abordagem mais simples (e mais demorada), insira os valores integrais manualmente. Depois de obter a sua lista de números, você poderá encontrar as soluções inteiras da equação cúbica testando cada um deles manualmente e descobrindo quais deles resultará em $0$. Ao se inserir $1$, por exemplo, obtém-se:

   • $2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6$ ou $2+9+13+6$, que obviamente não resulta em $0$. Ao chegar em uma conclusão como essa, passe para o próximo valor de sua lista.
   • Usando $-1$, você obterá $(-2)+9+(-13)+6$, que resulta em $0$. Isso significa que $-1$ é uma das soluções integrais que você busca.
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   Trabalhe com a divisão sintética se quiser uma abordagem mais complexa, mas mais rápida. Caso não pretenda gastar tempo inserindo os valores um a um, experimente um método mais veloz envolvendo uma técnica denominada divisão sintética. Basicamente, você sinteticamente dividirá os valores integrais pelos coeficientes originais $a$, $b$, $c$ e $d$ de sua equação cúbica. Caso o resto seja igual a $0$, entenda que o valor utilizado é uma das respostas à sua equação cúbica.

   • Esse é um tema complexo que vai além do escopo do presente artigo. Entretanto, aqui está uma amostra de como chegar a uma das soluções da equação cúbica através da divisão sintética:
     ${\begin{array}{ccccc}-1&|&\ \ \ 2&\ \ \ 9&\ \ \ 13&\ \ 6\\\_\_\_&|&-2&-7&-6\\\_\_\_&|&\ \ \ 2&\ \ \ 7&\ \ \ 6&\ \ 0\end{array}}$
   • Como o resto final é igual a $0$, você sabe que uma das soluções inteiras da equação cúbica será $-1$.
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Método 3

Método 3 de 3:

Usando a abordagem do discriminante

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   Escreva os valores de $$ a {\displaystyle a} , $$ b {\displaystyle b} , $$ c {\displaystyle c} e $$ d {\displaystyle d} . Nesse método, você precisará lidar com os coeficientes dos termos em sua equação. Anote os valores de $a$, $b$, $c$ e $d$ antes de começar para não se esquecer de cada um.

   • Tomando por base a equação de exemplo $x^{3}-3x^{2}+3x-1$, escreva $a=1$, $b=-3$, $c=3$ e assuma implicitamente que seu coeficiente seja igual a $1$.
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   Calcule o discriminante de zero usando a fórmula adequada. Essa abordagem na equação quadrática faz uso de alguns cálculos complicados, mas ao seguir o processo com cuidado você notará que se trata de um método valioso para os casos de outro modo insolúveis. Para começar, encontre $\Delta _{0}$ (discriminante de $0$), o primeiro de diversos valores importantes a serem necessários no futuro, inserindo os valores respectivos na equação $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$.

   • A discriminante é apenas um número que traz informações sobre as raízes de um polinômio (você possivelmente já conhece a discriminante quadrática $b^{2}-4ac$).
   • No problema de exemplo, faça o seguinte:
     ${\begin{aligned}b^{2}-3ac\\(-3)^{2}-3(1)(3)\\9-3(1)(3)\\9-9&=0=\Delta _{0}\end{aligned}}$
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   Prossiga calculando $$ Δ 1 = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d {\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d} . A próxima quantidade necessária, $\Delta _{1}$ (discriminante de $1$), requer um pouco mais de esforço, mas será calculada de forma similar a $\Delta _{0}$. Insira os valores respectivos na equação $2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ para obter o valor de $\Delta _{1}$.

   • No exemplo, avance da seguinte maneira:
     ${\begin{aligned}2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)\\2(-27)-9(-9)+27(-1)\\-54+81-27\\81-81&=0=\Delta _{1}\end{aligned}}$
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   Calcule: $\Delta ={\frac {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})}{-27a^{2}}}$. A seguir, calcula-se a discriminante a partir dos valores de $\Delta _{0}$ e $\Delta _{1}$. No caso da raiz cúbica, se a discriminante for positiva a equação terá três soluções reais. Se for igual a $0$, no entanto, isso indica que há uma ou duas soluções reais, estando algumas delas compartilhadas. Em caso de um valor negativo, a equação tem apenas uma solução.

   • Uma equação cúbica tem sempre ao menos uma solução real, pois o gráfico sempre cruzará o eixo $x$ uma vez ou mais.
   • No exemplo, como $\Delta _{0}$ e $\Delta _{1}=0$, determinar o valor de $\Delta$ passa a ser relativamente simples. Prossiga da seguinte maneira:
     ${\begin{aligned}{\frac {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})}{-27a^{2}}}\\{\frac {(0^{2}-4(0)^{3})}{-27(1)^{2}}}\\{\frac {0-0}{27}}\\0&=\Delta \end{aligned}}$
     Desse modo, a equação possui uma ou duas respostas.
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   Calcule: $C={\sqrt[{3}]{\left({\frac {{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}}{2}}\right)}}$. O último valor necessário será $C$, e essa importante quantidade permitirá a você encontrar as três raízes existentes. Prossiga normalmente, substituindo $\Delta _{1}$ e $\Delta _{0}$ conforme a necessidade.

   • No exemplo, o cálculo de $C$ se dará da seguinte maneira:
     ${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{\left({\frac {{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}}{2}}\right)}}\\{\sqrt[{3}]{\left({\frac {{\sqrt {(0)^{2}-4(0)^{3}}}+(0)}{2}}\right)}}\\{\sqrt[{3}]{\left({\frac {{\sqrt {0-0}}+0}{2}}\right)}}\\0&=C\end{aligned}}$
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   Calcule as três raízes com as variáveis encontradas. As respostas à sua equação cúbica serão dadas pela fórmula ${\frac {-\left({\frac {b+(u^{n}C)+\Delta _{0}}{u^{n}C}}\right)}{3a}}$, onde $u={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ e $n$ é igual a $1$, $2$ ou $3$. A seguir, insira os valores conforme a necessidade e resolva a equação — muito esforço matemático ocorre nessa etapa, mas você chegará a três respostas viáveis!

   • É possível solucionar o exemplo observando quando $n$ é igual a $1$, $2$ e $3$. As respostas obtidas desses testes serão as soluções possíveis da equação cúbica — e qualquer uma que quando inserida resulte em $0$ estará correta.
   • Por exemplo, como colocar um $1$ em $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ resulta na resposta $0$, essa será uma das soluções de sua equação cúbica.
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