Come Calcolare l'Area di un Quadrato a Partire dalla Diagonale

Il metodo più utilizzato e conosciuto per calcolare l'area di un quadrato è molto semplice: consiste nell'elevare al quadrato la lunghezza di uno dei suoi lati. La formula matematica è $A=l^{2}$ . Talvolta, tuttavia, l'unica informazione che si ha a disposizione è la lunghezza della diagonale di un quadrato, cioè la retta che ne congiunge i due vertici opposti. Se hai già studiato i triangoli rettangoli, puoi imparare una nuova formula che consente di calcolare l'area di un quadrato conoscendo solamente la misura della sua diagonale.

Parte 1

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Calcolare l'Area Usando la Diagonale

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La caratteristica di questa figura geometrica è di avere quattro lati perfettamente uguali. Ipotizziamo che ogni lato abbia la stessa lunghezza pari a l.
Essendo un parallelogramma, l'area di questa figura geometrica si calcola moltiplicando fra loro la base e l'altezza. In questo caso particolare, ogni lato ha la medesima lunghezza, l, quindi la formula può essere scritta come A = l x l = l². Questo passaggio sarà molto utile più avanti.
Ipotizziamo che la lunghezza della diagonale sia pari a d. La diagonale di un quadrato lo divide in due triangoli rettangoli perfettamente identici.
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Applica il Teorema di Pitagora a uno di questi triangoli. La formula descritta dal Teorema di Pitagora serve per calcolare la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo: (cateto_1)² + (cateto_2)² = (ipotenusa)², o, se si preferisce la formula classica, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $How.com.vn Italiano: a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Adesso che il quadrato in esame è stato suddiviso in due triangoli rettangoli dalla relativa diagonale, è possibile applicare la formula del Teorema di Pitagora a una di queste due figure geometriche:
- I due cateti del triangolo in esame rappresentano i lati del quadrato in cui è inscritto, e ognuno ha la medesima lunghezza pari a l.
- L'ipotenusa del triangolo rappresenta invece la diagonale del quadrato e ha una lunghezza pari a d.
- Da questo ragionamento deduciamo quindi che $l^{2}+l^{2}=d^{2}$ .
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Riscrivi l'equazione in esame in modo che la variabile l² sia isolata in uno dei due membri. Ricorda che sappiamo che l'area di un quadrato è pari a l². Isolando la variabile l² in un membro dell'equazione del Teorema di Pitagora otterrai una nuova equazione per calcolare l'area di un quadrato:
- $l^{2}+l^{2}=d^{2}$ .
- Semplificando si ottiene: $2l^{2}=d^{2}$ .
- Dividendo entrambi i membri dell'equazione per 2 otterremo: $l^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$ .
- Quindi $A=l^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$ .
- La nuova formula finale è $A={\frac {d^{2}}{2}}$ .
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Utilizziamo la formula appena ottenuta in un problema di esempio. I passaggi appena esaminati sono la dimostrazione matematica della correttezza della formula che utilizza la diagonale di un quadrato per calcolarne l'area, che è valida per qualunque quadrato: $A={\frac {d^{2}}{2}}$ $How.com.vn Italiano: A={\frac {d^{2}}{2}}$ . Adesso occorre semplicemente sostituire alla variabile d la lunghezza della diagonale di un quadrato di esempio e risolvere l'equazione.
- Ad esempio, ipotizziamo di avere un quadrato la cui diagonale misura 10 cm.
- L'area di tale figura sarà pari a $A={\frac {10^{2}}{2}}$
  = ${\frac {100}{2}}$
  = 50 cm².
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Parte 2

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Informazioni Aggiuntive

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Calcolare la diagonale di un quadrato partendo dalla lunghezza di un lato. Il Teorema di Pitagora applicato a un quadrato che ha un lato di lunghezza l e una diagonale di lunghezza d fornisce la seguente formula: $2s^{2}=d^{2}$ $How.com.vn Italiano: 2s^{2}=d^{2}$ . Risolvendo l'equazione in esame in base a d e conoscendo la lunghezza del lato l si ottiene la misura della diagonale:
- $2s^{2}=d^{2}$
  ${\sqrt {2s^{2}}}={\sqrt {d^{2}}}$
  $s{\sqrt {2}}=d$ .
- Ad esempio, ipotizzando di studiare un quadrato i cui lati misurano 7 cm, la relativa diagonale sarà pari a $d=7{\sqrt {2}}{\text{ cm}}$ , cioè a circa 9,9 cm.
- Se non hai a disposizione una calcolatrice, puoi utilizzare il valore approssimato 1,4 come sostituto della ${\sqrt {2}}$ .
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Calcola la lunghezza del lato di un quadrato partendo dalla lunghezza della diagonale. Se conosci la misura della diagonale di un quadrato, sapendo che quest'ultima è pari a $l{\sqrt {2}}$ $How.com.vn Italiano: l{\sqrt {2}}$ , dove l è la lunghezza di uno dei lati, puoi dividere entrambi i membri dell'equazione per la ${\sqrt {2}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {2}}$ ottenendo $l={\frac {d}{\sqrt {2}}}$ $How.com.vn Italiano: l={\frac {d}{{\sqrt {2}}}}$ .
- Ad esempio, ipotizzando di avere un quadrato la cui diagonale misura 10 cm, i suoi lati saranno pari a ${\frac {10}{\sqrt {2}}}=7,07{\text{ cm}}$ .
- Se hai la necessità di calcolare sia l'area sia la lunghezza del lato di un quadrato partendo dalla misura della diagonale, puoi utilizzare questa formula per trovare la lunghezza di un lato per poi elevarla al quadrato per trovare l'area: $A=l^{2}=7,07^{2}=50{\text{ cm}}^{2}$ . Questo processo dà un risultato leggermente meno accurato, dato che la ${\sqrt {2}}$ è un numero irrazionale che comporta un errore di arrotondamento quando si trasforma in decimale.
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Analizza la formula per calcolare l'area di un quadrato. La dimostrazione matematica della formula per calcolare l'area di un quadrato $A={\frac {d^{2}}{2}}$ $How.com.vn Italiano: A={\frac {d^{2}}{2}}$ indica che è corretta, ma esiste un metodo per verificarne direttamente l'esattezza? Dunque, $d^{2}$ $How.com.vn Italiano: d^{2}$ rappresenta l'area di un secondo quadrato che ha la diagonale del primo come lato; dato che la formula completa è $A={\frac {d^{2}}{2}}$ $How.com.vn Italiano: A={\frac {d^{2}}{2}}$ , si deduce che il secondo quadrato ha un'area esattamente pari al doppio di quello originale. Puoi verificare questo concetto da solo:
- Disegna un quadrato su un semplice foglio di carta. Assicurati che tutti i lati abbiano la stessa lunghezza.
- Misura la lunghezza della diagonale. Ora disegna un secondo quadrato che abbia i lati di lunghezza pari a tale numero.
- Disegna una copia identica del primo quadrato che hai disegnato. Adesso ritaglia tutti e tre i quadrati presenti sul foglio.
- Ritaglia i due quadrati più piccoli in qualunque forma desideri, in modo che possano essere sistemati facilmente all'interno del quadrato più grande. Dovrebbero riempire perfettamente lo spazio a disposizione dimostrando realmente che l'area del quadrato più grande è esattamente pari al doppio di quella del quadrato più piccolo.
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Consigli

Se non hai a disposizione una calcolatrice e hai la necessità di ottenere un risultato molto preciso del radicale ${\sqrt {2}}$ , questo articolo di How.com.vn ti sarà di grande aiuto. Uno dei modi per calcolare manualmente il valore di un radicale consiste nell'avvalersi del metodo "Newton-Raphson", noto anche come "metodo delle tangenti".^{[1]XFonte di ricerca}
Questa semplice equazione è utilizzata in diversi ambiti della vita reale, ad esempio nella cristallografia, nella chimica e nell'arte. È possibile utilizzarla per esempio per calcolare l'area di un terreno durante un rilievo topografico o quella di un paesaggio che si vuole fotografare o dipingere in prospettiva. Per farlo, basta semplicemente misurare la distanza percorsa camminando e immaginare che sia la diagonale di un ipotetico reticolo.
Se preferisci utilizzare un approccio più visivo alla matematica o desideri semplicemente imparare a utilizzare griglie e grafici nell'abito artistico, esegui una ricerca approfondita all'interno degli articoli messi a disposizione da How.com.vn.