Comment calculer le volume d'une pyramide de base carrée

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Trouver le volume à partir de l’aire de la base et de la hauteur

Trouver le volume à partir de la hauteur de la pente

Trouver le volume à partir d’une arrête

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Références

Une pyramide de base carrée est un solide en trois dimensions qui a pour caractéristiques d’avoir pour base un carré et des faces triangulaires inclinées dont les sommets se rejoignent en un seul et même point (l’apex) à l’aplomb de cette base. Si $s$ représente la longueur de l’un des côtés de la base et $h$ la hauteur de la pyramide (qui correspond à la distance perpendiculaire au plan qui contient la base entre celle-ci et l’apex), le volume de la pyramide de base carrée peut être calculé grâce à la formule $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$. Peu importe que votre solide soit un simple presse-papier ou bien la Grande Pyramide de Gizeh, cette formule s’applique à toutes les pyramides de base carrée. Le volume peut également être calculé à partir de la « hauteur de la pente ».

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Trouver le volume à partir de l’aire de la base et de la hauteur

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   Mesurez l’un des côtés de la base. On sait par définition que la base d’une pyramide de base carrée est un carré parfait. On en déduit donc que tous les côtés de la base sont égaux. C’est la raison pour laquelle, dans ce cas, vous n’avez besoin de connaitre que la longueur d’un seul côté .

   • Prenons une pyramide qui ait pour base un carré dont le côté soit un segment $s=5\,{\text{cm}}$. C’est avec cette valeur que nous allons calculer l’aire de la base.
   • Si les côtés de votre base ne sont pas tous de même longueur, c’est que vous êtes face à une pyramide dont la base est rectangulaire et non carrée. La formule qui permet de calculer le volume de ce type de solide reste assez similaire. Si $L$ est la longueur du rectangle qui sert de base à la pyramide et $l$ sa largeur, alors le volume de la pyramide est $V={\frac {1}{3}}h*L*l$.
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   Calculez l’aire de la base. Pour trouver le volume, il faut commencer par déterminer quelle est la surface de la base. Pour cela, il suffit de multiplier la longueur par la largeur. Comme la base de la pyramide est carrée, tous ses côtés sont égaux, l’aire est donc égale à la mesure de l’un des côtés au carré (c’est-à-dire multipliée par elle-même) .

   • Dans cet exemple, nous savons que le côté de la base mesure 5 cm, sa surface est donc :
     • ${\text{aire}}=s^{2}=(5\,{\text{cm}})^{2}=25\,{\text{cm}}^{2}$
   • N’oubliez pas que les surfaces correspondent à des mesures en deux dimensions qui seront exprimées dans des unités au carré, en cm², en m², en km², etc.
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   Multipliez la surface de la base par la hauteur. L’étape suivante consiste à multiplier l’aire trouvée pour la base par la hauteur de la pyramide. Pour mémoire, la hauteur est la mesure du segment perpendiculaire au plan de la base qui relie celle-ci à l’apex .

   • Dans cet exemple, supposons que notre pyramide ait une hauteur de 9 cm. Il faudra donc multiplier cette donnée par l’aire de la base de la façon suivante :
     • $25\,{\text{cm}}^{2}*9\,{\text{cm}}=225\,{\text{cm}}^{3}$
   • N’oubliez pas que les volumes sont toujours exprimés dans des unités au cube. Dans cet exemple, comme toutes nos données sont en centimètres, le résultat est en cm³.
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   Divisez le résultat par 3. Enfin, vous pouvez obtenir le volume de la pyramide en divisant le résultat obtenu à l’étape précédente (en multipliant l’aire et la hauteur) par 3. Vous arrivez à un chiffre qui correspond au volume de la pyramide de base carrée que vous cherchiez .

   • Dans notre exemple, vous n’avez plus qu’à diviser 225 cm³ par 3 pour trouver un volume de 75 cm³.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Trouver le volume à partir de la hauteur de la pente

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   Mesurez la hauteur de la pente de la pyramide. On ne connait pas toujours la hauteur du solide, mais on nous donne parfois (ou bien on peut la mesurer) la hauteur de sa pente. À partir de la hauteur de la pente, vous pourrez vous servir du théorème de Pythagore pour calculer la hauteur perpendiculaire .

   • La hauteur de la pente d’une pyramide correspond à la distance entre le milieu de l’un des côtés de la base et l’apex. La mesure doit bien être effectuée à partir du point qui se trouve au milieu de l’un des côtés et non à partir d’un angle. Imaginons pour cet exemple que nous ayons mesuré une hauteur de pente de 13 cm et que l’énoncé nous dise que le côté de la base fait 10 cm.
   • Pour mémoire, le théorème de Pythagore peut être exprimé par l’équation $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, dans laquelle $a$ et $b$ sont les deux côtés perpendiculaires d’un triangle rectangle dont $c$ est l’hypoténuse.
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   Imaginez un triangle rectangle. Pour appliquer le théorème de Pythagore, il faut d’abord que vous trouviez un triangle rectangle. Imaginez-en un qui passerait par le milieu du solide et qui serait perpendiculaire à sa base. La hauteur de la pente, que l’on nomme $l$, en serait l’hypoténuse. Ce triangle aurait pour base la moitié du segment $s$, qui est le côté de la base de la pyramide .
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   Remplacez les variables. Le théorème de Pythagore s’écrit traditionnellement avec des variables appelées a, b et c, mais il sera peut-être plus facile pour vous de les remplacer par des variables qui correspondent à quelque chose dans le problème que vous cherchez à résoudre. On peut mettre la hauteur de la pente $l$ à la place du $c$ du théorème de Pythagore. Le côté qui est à la base du triangle rectangle, qui vaut ${\frac {s}{2}}$, peut être substitué à $b$. Vous cherchez à trouver la hauteur $h$ de la pyramide, qui correspond au $a$ de l’équation.

   • Voici ce que cela donne :
     • $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     • $h^{2}+({\frac {s}{2}})^{2}=l^{2}$
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   Servez-vous du théorème de Pythagore pour calculer la hauteur de la pente. Remplacez les variables par les valeurs, sachant que $s=10$ et $l=13$. Résolvez ensuite l’équation :

   • $h^{2}=l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}$.....(c’est l’équation de départ)
   • $h={\sqrt {l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}}}$.....(on passe les deux côtés de l’équation au carré)
   • $h={\sqrt {13^{2}-({\frac {10}{2}})^{2}}}$.....(on remplace par les valeurs connues)
   • $h={\sqrt {169-5^{2}}}$.....(on simplifie la fraction)
   • $h={\sqrt {169-25}}$.....(on met le nombre au carré)
   • $h={\sqrt {144}}$.....(on soustrait)
   • $h=12$.....(on calcule la racine carrée)
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   Servez-vous de la hauteur et de la base pour trouver le volume. Une fois que le théorème de Pythagore vous a permis de faire ce calcul, vous avez en votre possession toutes les données indispensables pour calculer le volume d’une pyramide de base carrée de façon classique. Utilisez la formule $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$ et faites votre calcul, en n’oubliant pas que votre réponse doit être exprimée en cm³ .

   • D’après les calculs de notre exemple, la hauteur de la pyramide est de 12 cm. Vous n’avez plus qu’à vous servir de cette information et du fait que le côté de la base mesure 10 cm pour calculer le volume :
     • $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$
     • $V={\frac {1}{3}}(10^{2})12$
     • $V={\frac {1}{3}}(100)(12)$
     • $V=400\,{\text{cm}}^{3}$
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Trouver le volume à partir d’une arrête

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   Mesurez l’une des arrêtes de la pyramide. L’arrête est le segment qui relie l’apex du solide à l’un des angles de la base. Comme précédemment, vous allez pouvoir calculer la hauteur du solide en utilisant le théorème de Pythagore .

   • Pour cet exemple, considérons un solide pour lequel on a mesuré une arrête de 11 cm et dont on nous dit que la hauteur perpendiculaire fait 5 cm.
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   Imaginez un triangle rectangle. Comme précédemment, il vous faut un triangle rectangle pour pouvoir appliquer le théorème de Pythagore. Dans cet exercice par contre, vous ne savez pas combien mesure le côté de la base, vous n’avez que l’arrête et la hauteur. Essayez de visualiser ce qui se passerait si vous découpiez la pyramide en deux de part en part en suivant sa diagonale. L’intérieur du solide que vous auriez alors devant vous serait un triangle dont la hauteur serait justement la hauteur perpendiculaire de la pyramide. Cette hauteur séparerait le triangle intérieur de la pyramide en deux triangles rectangles symétriques, qui auraient tous deux pour hypoténuse cette même hauteur. La base de chacun de ces deux triangles rectangles correspondrait quant à elle à la moitié de la diagonale de la base du solide.
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   Remplacez par vos variables. Servez-vous de ce triangle rectangle imaginaire pour placer vos variables dans le théorème de Pythagore. Vous connaissez la hauteur perpendiculaire $h$, qui peut se substituer au $a$ dans l’équation. L’arrête de la pyramide $l$ est l’hypoténuse du triangle rectangle imaginaire, elle correspond donc à $c$. La diagonale inconnue de la base du solide est le dernier côté du triangle rectangle, c’est-à-dire $b$. Une fois que vous avez intégré vos variables à la place de celles de l’équation de Pythagore, vous obtenez :

   • $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
   • $h^{2}+b^{2}=l^{2}$
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   Calculez la diagonale du carré de la base. Vous allez devoir modifier l’équation pour isoler la variable $b$ et ainsi pouvoir calculer sa valeur .

   • $h^{2}+b^{2}=l^{2}$..........(on réécrit l’équation avec les variables)
   • $b^{2}=l^{2}-h^{2}$..........(on soustrait h² de chaque côté)
   • $b={\sqrt {l^{2}-h^{2}}}$..........(on applique une racine carrée des deux côtés)
   • $b={\sqrt {11^{2}-5^{2}}}$..........(on intègre les données connues)
   • $b={\sqrt {121-25}}$..........(on simplifie les nombres au carré)
   • $b={\sqrt {96}}$..........(on fait la soustraction)
   • $b=9,80$..........(on calcule la racine carrée)
   • Multipliez le résultat par deux pour avoir la diagonale de la base de la pyramide. Celle-ci fait donc 9,8*2=19,6 cm.
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   Calculez le côté de la base à partir de sa diagonale. La base de la pyramide est un carré parfait. Or, la diagonale de n’importe quel carré est égale à la longueur du côté multipliée par la racine carrée de 2. Et inversement, on peut retrouver le côté du carré à partir de la diagonale en la divisant par la racine carrée de 2 .

   • Concernant la pyramide étudiée dans l’exemple, on a calculé que la diagonale valait 19,6 cm. Le côté mesure donc :
     • $s={\frac {19,6}{\sqrt {2}}}={\frac {19,6}{1,41}}=13,90$
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   Calculez le volume avec la hauteur et le côté. Reprenez la formule de base et servez-vous-en pour calculer le volume .

   • $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$
   • $V={\frac {1}{3}}13,9^{2}*5$
   • $V={\frac {1}{3}}193,23*5$
   • $V=322,02\,{\text{cm}}^{3}$
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Conseils

• Dans une pyramide de base carrée, la hauteur perpendiculaire, la hauteur de la pente et le côté de la base sont toujours liés entre eux par le théorème de Pythagore.

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