Comment appliquer le théorème de Pythagore

Il y a un peu plus de 2 500 ans, le mathématicien grec, Pythagore, a découvert un théorème (qui porte son nom) qui est encore enseigné à notre époque. Ce savant a établi la relation mathématique simple, élégante, qui existe entre les trois longueurs des côtés d'un triangle rectangle. L'énoncé de ce théorème est le suivant : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dit autrement, dans un triangle rectangle, avec les deux côtés qui se coupent à angle droit, a et b et l'hypoténuse, c, on a : a² + b² = c². Le théorème de Pythagore est un grand classique de la géométrie et ses applications sont incalculables. Grâce à ce théorème, il est possible de trouver la distance entre deux points dans un plan de coordonnées.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Trouver les longueurs des côtés d'un triangle rectangle

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Commencez par vérifier que vous avez bien affaire à un triangle rectangle. En effet, le théorème de Pythagore ne s'appliquant qu'à ce genre de triangles, il est prudent de vérifier que vous avez bien affaire à un triangle rectangle. Facile à contrôler : un des trois angles doit être de 90°.
- Par convention, sur un dessin, l'angle droit est mentionné par un petit carré à l'intérieur de l'angle en question. Voyez s'il y en a un !
Sont appelés a et b les deux côtés qui se coupent à angle droit. Est appelé c le côté le plus long, à l'opposé de l'angle droit. Pour a et b, peu importe le côté, c'est équivalent !
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Voyez quel est le côté qu'on vous demande de déterminer. Le théorème de Pythagore s'appuie sur une équation qui permet de calculer n'importe quel côté, à condition d'en connaitre au moins deux. En bref, voyez si l'on vous demande de trouver « a », « b » ou « c ».
- Supposons que votre hypoténuse ait une longueur de 5 et l'un des côtés fait 3, on cherche à connaitre la longueur du troisième côté. Dans ce cas, que nous utiliserons à nouveau par la suite, on a clairement deux côtés, donc on a tout ce qu'il nous faut pour déterminer la longueur de ce troisième côté.
- Si vous n'aviez la mesure que d'un seul côté, il faudrait vous débrouiller pour obtenir la mesure d'un autre côté sans quoi il ne serait pas possible d'utiliser le théorème de Pythagore. Si vous avez les angles, avec quelques fonctions trigonométriques, il est possible de calculer la longueur d'un côté.
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Faites l'application numérique dans l'équation de Pythagore. Remplacez deux des trois valeurs théoriques de la formule : a² + b² = c² par les valeurs qu'on vous a données. N'oubliez pas que « c » est l'hypoténuse et « a » et « b » sont les deux autres côtés !
- Si l'on reprend l'exemple vu plus haut, l'hypoténuse a une longueur de 5 et un des côtés fait 3. On fait l'application numérique dans la formule de Pythagore : 3² + b² = 5²
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Faites le calcul des carrés. Là, il y a deux possibilités : certains laissent sous la forme des carrés, d'autres préfèrent faire les calculs.
- Donc 3² et 5² donnent respectivement 9 et 25. L'équation devient alors : 9 + b² = 25.
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Isolez l'inconnue. À ce stade, il faut isoler l'inconnue, c'est-à-dire la mettre d'un côté du signe = et mettre toutes les constantes (ici les côtés au carré) de l'autre côté. Attention ! il y a des règles à respecter ! Si c'est l'hypoténuse, c, que vous cherchez, il n'y a rien à changer !
- Si l'on reprend l'exemple vu plus haut, 9 + b² = 25. On isole b² : on soustrait 9 à chaque membre de l'équation. On obtient au final : b² = 16.
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On prend ensuite la racine de chacun des membres de l'équation. On a d'un côté une inconnue, de l'autre, un nombre. On prend alors la racine carrée des deux pour maintenir l'équation équilibrée.
- Dans notre exemple, √b² = √16, ce qui nous donne : b = 4. Conclusion : le côté qui nous manquait a une longueur de 4.
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Le théorème de Pythagore sert dans la vie de tous les jours. On le rencontre potentiellement partout et tout le temps, même si on ne s'en sert pas aussi souvent. Ainsi, nombreuses sont les situations où deux lignes se croisent à angle droit et une troisième sert de diagonale aux deux premières.
- Prenons un exemple concret. Une échelle est posée au sol contre un mur bien vertical. Les pieds de cette échelle sont posés à 5 mètres du mur et le sommet de ladite échelle s'appuie sur le mur à 20 m de haut. Question : quelle est la longueur de l'échelle ?
  - « 5 m du mur » et « 20 m de haut » sont les deux côtés d'un triangle rectangle. Le mur a été construit verticalement à partir du sol : il y a donc un angle droit. L'échelle fait la diagonale. Donc, a = 5, b = 20 et c (la longueur de l'échelle ou hypoténuse) est inconnu. On utilise donc le théorème de Pythagore :
  - *a² + b² = c&sup2 ;
  - *(5)² + (20)² = c&sup2 ;
  - *25 + 400 = c&sup2 ;
  - *425 = c&sup2 ;
  - *√425 = c
  - *c = 20,6. La longueur de l'échelle est d'environ 20,6 mètres.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Calculer des distances dans un plan orthonormé

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Dessinez deux points dans un plan orthonormé. Le théorème de Pythagore permet de calculer facilement la distance entre ces deux points. Tout ce dont vous avez besoin, ce sont les coordonnées x et y de chacun des deux points. Ces dernières sont données sous la forme (x, y).
- Pour trouver la distance entre ces deux points, il faut imaginer qu'ils sont les sommets des deux angles, autres que droits, d'un triangle rectangle. À partir de là, il est facile de calculer les côtés « a » et « b », puis de calculer « c », qui n'est rien d'autre que la distance entre les deux points.
Chaque point est représenté par une paire de coordonnées (x, y), Dans cette représentation, x est l'axe horizontal et y l'axe vertical (on peut calculer la distance sans représenter graphiquement les points, mais c'est quand même plus « parlant »).
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Cherchez la longueur de deux côtés (qui se coupent à angle droit) de votre triangle. On part de (x₁, y₁) qui représente les coordonnées du premier point et (x₂, y₂), celle du second.
- Admettons qu'on ait les deux points (6,1) et (3,5). La longueur du côté horizontal est de :
  - |x₁ - x₂|
  - |3 - 6|
  - |-3|= 3
- La longueur du côté vertical est de :
  - |y₁ - y₂|
  - |1 - 5|
  - |-4|= 4
- Pour se résumer, on a un côté « a » qui vaut 3 et un côté « b » qui vaut 4.
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L'hypoténuse est obtenue grâce au théorème de Pythagore. La distance en ligne droite entre les deux points est l'hypoténuse du triangle qu'on a défini. Il ne reste désormais plus qu'à appliquer le théorème.
- Dans l'exemple des deux points (3,5) et (6,1), on a calculé que a = 3 et b = 4, ce qui nous donne :
  - : (3)² +(4)² = c&sup2 ;
  - : c= √(9+16)
  - : c= √(25)
  - : c= 5. La distance en ligne droite entre les deux points (3,5) et (6,1) est de 5.
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Conseils

Si le triangle n'est pas rectangle, vous devez disposer d'autres données pour résoudre votre problème, car la connaissance des longueurs de deux côtés est insuffisante pour trouver la solution.
L'hypoténuse est toujours …
- opposée à l'angle droit, c'est-à-dire qu'elle ne touche pas cet angle
- le côté le plus long d'un triangle rectangle
- notée c dans le théorème de Pythagore
√x signifie « racine carrée de x ».
Vérifiez toujours vos calculs. Si une réponse vous semble incorrecte, reprenez vos calculs et essayez encore.
Un dessin est la meilleure façon de visualiser correctement les côtés a, b et c (et leurs valeurs !). Si vous travaillez sur un énoncé de problème et si c'est possible, faites un dessin.
Si vous ne connaissez que la longueur d'un côté du triangle, vous ne pourrez pas appliquer le théorème de Pythagore. Essayez d'appliquer les règles de la trigonométrie (sin, cos, tan) ou bien les rapports 30-60-90 / 45-45-90.
Dans un triangle rectangle, le côté le plus long est opposé à l'angle le plus grand et le côté le plus court est opposé à l'angle le plus petit.