Cómo calcular el volumen de una pirámide cuadrangular

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En este artículo:

Hallar el volumen utilizando el área de base y la altura

Hallar el volumen utilizando la altura de la pendiente

Hallar el volumen utilizando la altura del borde

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Referencias

Una pirámide cuadrangular es un objeto sólido tridimensional que se caracteriza por tener una base cuadrada y lados triangulares inclinados que se unen en un solo punto encima de la base. Si $s$ representa la longitud de uno de los lados de la base cuadrada y $h$, la altura de la pirámide (la distancia perpendicular que va desde la base hasta el punto), el volumen de una pirámide cuadrangular puede calcularse por medio de la siguiente fórmula: $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$. Es irrelevante si la pirámide tiene el tamaño de un pisapapeles o es más grande que la Gran Pirámide de Giza; esta fórmula funciona para cualquier pirámide cuadrangular. También es posible calcular el volumen utilizando lo que se conoce como la “altura inclinada” de la pirámide.

Pasos

Método 1

Método 1 de 3:

Hallar el volumen utilizando el área de base y la altura

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   Mide la longitud lateral de la base. Debido a que, por definición, las pirámides cuadrangulares tienen bases perfectamente cuadradas, todos los lados de la base deben medir lo mismo. Por consiguiente, en el caso de una pirámide cuadrangular, solo necesitarás hallar la longitud de un lado.

   • Considera una pirámide que tenga una base cuadrada cuyas longitudes laterales sean $s=5{\text{cm}}$. Este es el valor que utilizarás para hallar el área de la base.
   • Si los lados de la base no tienen la misma longitud, significa que tienes una pirámide rectangular en lugar de una pirámide cuadrangular. Si ese es el caso, ten en cuenta que la fórmula del volumen para este tipo de pirámides se asemeja mucho a la utilizada para las pirámides cuadrangulares. Si $l$ representa la longitud de la base de una pirámide rectangular y $w$, su ancho, entonces la fórmula para el volumen será la siguiente: $V={\frac {1}{3}}h*l*w$.
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   Calcula el área de la base. Si quieres hallar el volumen, primero deberás hallar el área bidimensional de la base. Para ello, multiplica la longitud de la base por su ancho. Como la base de una pirámide cuadrangular es un cuadrado, todos sus lados tendrán la misma longitud, de modo que el área de la base es igual a la longitud de un lado al cuadrado (multiplicado por sí mismo).

   • En el ejemplo, como todas las longitudes laterales de la base de la pirámide miden 5 cm, podrás hallar el área de la base de la siguiente manera:
     • ${\text{área}}=s^{2}=(5{\text{cm}})^{2}=25{\text{cm}}^{2}$
   • Recuerda que las bases bidimensionales se expresan en unidades cuadradas (es decir, centímetros cuadrados, metros cuadrados, millas cuadradas, etc.).
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   Multiplica el área de la base por la altura de la pirámide. Ahora, multiplica el área de la base por la altura de la pirámide. Recuerda que la altura es la distancia del segmento de línea que se extiende desde el vértice de la pirámide hacia el plano de la base en ángulos perpendiculares a ambos.

   • En el ejemplo, supongamos que la altura de la pirámide es de 9 cm. En este caso, deberemos multiplicar el área de la base por dicho valor de la siguiente manera:
     • $25{\text{cm}}^{2}*9{\text{cm}}=225{\text{cm}}^{3}$
   • Recuerda que el volumen se expresa en unidades cúbicas. Como en este ejemplo todas las mediciones lineales están en centímetros, el volumen se expresará en centímetros cúbicos.
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   Divide esta respuesta entre 3. Por último, halla el volumen de la pirámide al dividir entre 3 el valor que acabas de hallar multiplicando el área de la base por la altura. De esta manera, obtendrás la respuesta final que representa el volumen de la pirámide cuadrangular.

   • En el ejemplo, divide 225 cm³ entre 3 para obtener como respuesta un volumen de 75 cm³.
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Método 2

Método 2 de 3:

Hallar el volumen utilizando la altura de la pendiente

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   Mide la altura de la pendiente de la pirámide. En algunos problemas, no te indicarán la altura perpendicular de la pirámide, sino más bien la altura de la pendiente (aunque quizás tengas que medirla). Con ella, podrás utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura perpendicular.

   • La altura de la pendiente de una pirámide es la distancia desde su vértice hasta el punto medio de uno de los lados en la base. En este ejemplo, supongamos que la altura de la pendiente mide 13 cm y nos indican que la longitud lateral es de 10 cm.
   • Recuerda que el teorema de Pitágoras puede expresarse por medio de la ecuación $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, donde $a$ y $b$ son los lados perpendiculares del triángulo rectángulo, mientras que $c$ es la hipotenusa.
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   Imagina un triángulo rectángulo. Para utilizar el teorema de Pitágoras, necesitarás un triángulo rectángulo. Imagina un triángulo rectángulo al cortar el centro de la pirámide y perpendicular a su base. La altura de la pendiente, conocida como $l$, es la hipotenusa de este triángulo rectángulo. Por su parte, la base de dicho triángulo es la mitad de la longitud de $s$, el lado de la base cuadrada de la pirámide.
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   Asigna variables a los valores. El teorema de Pitágoras utiliza las variables variables a, b y c, pero puedes reemplazarlas con unas que tengan significado para el problema que planeas resolver. En este teorema, la altura de la pendiente $l$ reemplaza a $c$. El lado del triángulo rectángulo, el cual es ${\frac {s}{2}}$, reemplaza a $b.$ Por último, deberás hallar la altura de la pirámide, $h$, la cual toma el lugar de $a$.

   • Esta sustitución se verá de la siguiente manera:
     • $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     • $h^{2}+({\frac {s}{2}})^{2}=l^{2}$
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   Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la altura de la perpendicular. Coloca los valores medidos de $s=10$ y $l=13$. Ahora comienza a resolver la ecuación:

   • $h^{2}=l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}$.....(ecuación original)
   • $h={\sqrt {l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}}}$.....(raíz cuadrada en ambos lados)
   • $h={\sqrt {13^{2}-({\frac {10}{2}})^{2}}}$.....(sustituir valores)
   • $h={\sqrt {169-5^{2}}}$.....(simplificar la fracción)
   • $h={\sqrt {169-25}}$.....(simplificar el cuadrado)
   • $h={\sqrt {144}}$.....(restar)
   • $h=12$.....(simplificar la raíz cuadrada)
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   Utiliza la altura y la base para calcular el volumen. Después de hacer los cálculos utilizando el teorema de Pitágoras, sabrás la información que necesitas para calcular el volumen de la pirámide tal como lo harías normalmente. Utiliza la fórmula $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$ y resuelve, asegurándote de dar tu respuesta en unidades cúbicas.

   • A partir de estos cálculos, la altura de la pirámide es 12 cm. Utiliza dicha altura y el lado de la base, que mide 10 cm, para hallar el volumen de la pirámide:
     • $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$
     • $V={\frac {1}{3}}(10^{2})12$
     • $V={\frac {1}{3}}(100)(12)$
     • $V=400{\text{cm}}^{3}$
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Método 3

Método 3 de 3:

Hallar el volumen utilizando la altura del borde

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   Mide la altura del borde de la pirámide. La altura del borde es la longitud del borde de la pirámide, medida desde el vértice hacia una de las esquinas de la base. Al igual que antes, utilizarás el teorema de Pitágoras para calcular la altura perpendicular de la pirámide.

   • En este ejemplo, supongamos que la altura del borde mide 11 cm y te indican que la altura perpendicular mide 5 cm.
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   Imagina un triángulo rectángulo. Al igual que antes, necesitarás un triángulo rectángulo para utilizar el teorema de Pitágoras. No obstante, en este caso, el valor desconocido será la base de la pirámide. Lo que sí conoces es la altura perpendicular y la altura del borde. Si imaginas que cortas la pirámide en diagonal desde una esquina hasta la esquina opuesta y la abres, la cara interna expuesta será un triángulo. Su altura será la altura perpendicular de la pirámide y lo divide en dos triángulos rectángulos simétricos. La hipotenusa de cualquiera de dichos triángulos es la altura del borde de la pirámide, mientras que la base es la mitad de la diagonal que tiene la base de la pirámide.
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   Asigna variables. Utiliza este triángulo rectángulo imaginario y asigna valores para crear el teorema de Pitágoras. Conoces la altura perpendicular ($h$), la cual es un lado de teorema de Pitágoras ($a$). La altura del borde de la pirámide, ($l$) es la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo imaginario, de modo que reemplaza a $c$. La diagonal desconocida de la base de la pirámide es el lado restante del triángulo rectángulo ($b$). Después de realizar estas sustituciones, la ecuación se verá de la siguiente forma:

   • $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
   • $h^{2}+b^{2}=l^{2}$
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   Calcula la diagonal de la base del cuadrado. Deberás reorganizar la ecuación para aislar la variable $b$ y luego calcular su valor.

   • $h^{2}+b^{2}=l^{2}$..........(ecuación revisada)
   • $b^{2}=l^{2}-h^{2}$..........(reemplaza h² en ambos lados)
   • $b={\sqrt {l^{2}-h^{2}}}$..........(saca la raíz cuadrada en ambos lados)
   • $b={\sqrt {11^{2}-5^{2}}}$..........(introduce valores numéricos)
   • $b={\sqrt {121-25}}$..........(simplifica los cuadrados)
   • $b={\sqrt {96}}$..........(resta los valores)
   • $b=9,80$..........(simplifica la raíz cuadrada)
   • Duplica este valor para hallar la diagonal de la base cuadrada de la pirámide. Por consiguiente, la diagonal de la base de la pirámide mide 9,8*2=19,6 cm.
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   Halla el lado de la base desde la diagonal. La base de la pirámide es un cuadrado. La diagonal de cualquier cuadrado equivale a la longitud de un lado multiplicado por la raíz cuadrada de 2. Por otra parte, puedes hallar el lado del cuadrado a partir de su diagonal al dividir entre la raíz cuadrada de 2.

   • En este ejemplo, la diagonal mide 19,6 cm. Por lo tanto, el lado será igual a:
     • $s={\frac {19,6}{\sqrt {2}}}={\frac {19,6}{1,41}}=13,90$
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   Utiliza el lado y la altura para calcular el volumen. Retoma la fórmula original para calcular el volumen utilizando el lado y la altura perpendicular.

   • $V={\frac {1}{3}}s^{2}h$
   • $V={\frac {1}{3}}13,9^{2}*5$
   • $V={\frac {1}{3}}193,23*5$
   • $V=322,02{\text{cm}}^{3}$
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Consejos

• En una pirámide cuadrangular, la altura perpendicular, la altura de la pendiente y la longitud del borde de la base se relacionan mediante el teorema de Pitágoras.

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