Как вычислить объем квадратной пирамиды

Квадратная пирамида – объемная фигура с основанием в виде квадрата и треугольными боковыми гранями. Вершина квадратной пирамиды проецируется в центр основания. Если «а» - сторона квадратного основания, «h» - высота пирамиды (перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к центру ее основания), тогда объем квадратной пирамиды можно вычислить по формуле: a² × (1/3)h. Эта формула верна для квадратной пирамиды любых размеров (от сувенирных пирамид до египетских пирамид).

Метод 1

Метод 1 из 2:

Вычисление объема по площади и высоте

Загрузить PDF

1
Найдите сторону основания. Так как в основании квадратной пирамиды лежит квадрат, то все стороны основания равны. Поэтому необходимо найти длину любой стороны основания.
- Например, дана пирамида, сторона основания которой равна 5 см.
- Если стороны основания не равны друг другу, то вам дана прямоугольная, а не квадратная пирамида. Тем не менее, формула для вычисления объема прямоугольной пирамиды похожа на формулу для вычисления объема квадратной пирамиды. Если «l» и «w» - две смежные (неравные) стороны прямоугольника в основании пирамиды, то объем пирамиды вычисляется по формуле: (l× w) × (1/3)h
2
Вычислите площадь квадратного основания, умножив его сторону саму на себя (или, другими словами, возведя сторону в квадрат).
- В нашем примере: 5 х 5 = 5² = 25 см².
- Не забудьте, что площадь измеряется в квадратных единицах - квадратных сантиметрах, квадратных метрах, квадратных километрах и так далее.
3
Умножьте площадь основания на высоту пирамиды. Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание. Перемножив эти величины, вы получите объем куба с тем же основанием и высотой, как у пирамиды.
- В нашем примере высота равна 9 см: 25 см² × 9 см = 225 см³
- Не забывайте, что объем измеряется в кубических единицах, в данном случае в кубических сантиметрах.
4
Разделите полученный результат на 3 и вы найдете объем квадратной пирамиды.
- В нашем примере: 225 см³ / 3 = 75 см³.
- Объем измеряется в кубических единицах.
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Вычисление объема по апофеме

Загрузить PDF

1
Если вам дана либо площадь, либо высота пирамиды и ее апофема, вы можете найти объем пирамиды, используя теорему Пифагора. Апофема – это высота наклонной треугольной грани пирамиды, проведенная из вершины треугольника к его основанию. Для вычисления апофемы используйте сторону основания пирамиды и ее высоту.
- Апофема делит сторону основания пополам и пересекает ее под прямым углом.
2
Рассмотрите прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой и отрезком, соединяющим центр основания и середину его стороны. В таком треугольнике апофема является гипотенузой, которую можно найти по теореме Пифагора. Отрезок, соединяющий центр основания и середину его стороны, равен половине стороны основания (этот отрезок является одним из катетов; вторым катетом является высота пирамиды).
- Напомним, что теорема Пифагора записывается так: a² + b² = c², где «a» и «b» - катеты, «c» - гипотенуза прямоугольного треугольника.
- Например, дана пирамида, у которой сторона основания равна 4 см, а апофема - 6 см. Чтобы найти высоту пирамиды, подставьте эти значения в теорему Пифагора.
  - a² + b² = c²
  - a² + (4/2)² = 6²
  - a² = 32
  - a = √32 = 5,66 см Вы нашли второй катет прямоугольного треугольника, который является высотой пирамиды (аналогично, если была бы дана апофема и высота пирамиды, вы бы могли найти половину стороны основания пирамиды).
3
Используйте найденное значение, чтобы найти объем пирамиды по формуле: a² × (1/3)h.
- В нашем примере вы вычислили, что высота пирамиды равна 5,66 см. Подставьте необходимые значения в формулу для вычисления объема пирамиды:
  - a² × (1/3)h
  - 4² × (1/3)(5,66)
  - 16 × 1,89 = 30,24 см³.
4
Если вам не дана апофема, используйте ребро пирамиды. Ребро – это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с вершиной квадрата в основании пирамиды. В этом случае вы получите прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды и половина диагонали квадрата в основании пирамиды, а гипотенузой – ребро пирамиды. Так как диагональ квадрата равна √2 × сторону квадрата, то вы можете найти сторону квадрата (основания), разделив диагональ на √2. Затем вы сможете найти объем пирамиды по вышеописанной формуле.
- Например, дана квадратная пирамида с высотой 5 см и ребром 11 см. Вычислите половину диагонали следующим образом:
  - 5² + b² = 11²
  - b² = 96
  - b = 9,80 см.
  - Вы нашли половину диагонали, поэтому диагональ равна: 9,80 см × 2 = 19,60 см.
  - Сторона квадрата (основания) равна √2 × диагональ, поэтому 19,60 / √2 = 13,90 см. Теперь найдите объем пирамиды по формуле:a² × (1/3)h
  - 13,90² × (1/3)(5)
  - 193,23 × 5/3 = 322,05 см³
Реклама

Советы

В квадратной пирамиде ее высота, апофема и сторона основания связаны теоремой Пифагора: (сторона ÷ 2)² + (высота)² = (апофема)²
В любой правильной пирамиде апофема, сторона основания и ребро связаны теоремой Пифагора: (сторона ÷ 2)² + (апофема)² = (ребро)²