كيفية حساب التباين

تنزيل المقال

تنزيل المقال

التباين هو مقياس لكيفية توزيع مجموعة بيانات وهو مفيد عند وضع نماذج إحصائية لأن التباين المنخفض يمكن أن يدل على أنك تفرط في مطابقة بياناتك. قد يكون حساب التباين صعبًا لكن حين تتقن المعادلة سيصبح كل ما عليك فعله هو التعويض بالأرقام الصحيحة لمعرفة إجابتك.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 2:

حساب التباين لعينة

تنزيل المقال

1. 
   1
   دون عينة مجموعة البيانات. يملك الإحصائيون في معظم الحالات القدرة على الوصول إلى عينة فقط أو مجموعة جزئية مما يدرسونه، فمثلًا يستطيع الإحصائي إيجاد كلفة عينة عشوائية لآلاف قليلة من السيارات بدلًا من تحليل المتمع الكلي "تكلفة كل سيارة في مصر". يمكنه استخدام هذه العينة للحصول على تقدير جيد لتكلفة السيارات المصرية لكنه لن يطابق الأرقام الفعلية تمامًا.

   • ستأخذ ستة أيام عشوائية مثلًا لتحليل عدد كعك المافن الذي يباع يوميًا في مطعم صغير وتحصل على هذه النتائج: 38 و37 و36 و28 و18 و14 و12 و11 و10,7 و9,9. هذه عينة وليست الكل لأنك لا تملك بيانات عن كل يوم كان المطعم مفتوحًا به.
   • انتقل للطريقة الموضحة أدناه إذا كنت تعرف كل نقاط البيانات في المجتمع الإحصائي.
2. 
   2
   اكتب معادلة تباين العينة. يخبرك تباين مجموعة بيانات بكيفية توزيع هذه المجموعة. كلما اقترب التباين من الصفر زاد تقارب وتجمع نقاط البيانات. استخدم المعادلة التالية لحساب التباين عند العمل مع عينات مجموعة البيانات:

   • $s^{2}$ = ^{∑[($x_{i}$ - x̅)$^{2}$]}/_{(n - 1)}
   • التباين هو $s^{2}$ ويقاس دومًا بالوحدات المربعة.
   • يمثل $x_{i}$ حدًا من مجموعة البيانات.
   • تعني ∑ الجمع وتخبرك أن تحسب الحدود التالية لقيم $x_{i}$ ثم تجمعها.
   • متوسط العينة هو x̅.
   • عدد نقاط البيانات هو n.
3. 
   3
   احسب متوسط العينة. يشير الرمز x̅ أو إكس شرطة إلى متوسط العينة. احسبه كما تحسب أي متوسط: اجمع كل نقاط البيانات ثم اقسمها على عددها.

   • مثال: اجمع أولًا نقاط البيانات: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     ثم اقسم الإجابة على عدد النقاط وهي ستة في هذه الحالة: 84 ÷ 6 = 14.
     أي أن متوسط العينة = x̅ =14.
   • يمكنك التفكير في المتوسط على أنه "نقطة منتصف" البيانات. يكون التباين منخفضًا إذا تجمعت البيانات قرب المتوسط بينما يرتفع إذا تباعدت عنه.
4. 
   4
   اطرح المتوسط من كل نقطة. حان الآن وقت حساب $x_{i}$ - x̅ حيث $x_{i}$ هو كل رقم في مجموعة البيانات. تخبرك كل إجابة بمدى انحراف ذلك الرقم عن المتوسط، أو للتبسيط أكثر: مدى ابتعاده عنه. .

   • مثال:
     $x_{1}$ - x̅ = 17 - 14 = 3
     $x_{2}$ - x̅ = 15 - 14 = 1
     $x_{3}$ - x̅ = 23 - 14 = 9
     $x_{4}$ - x̅ = 7 - 14 = -7
     $x_{5}$ - x̅ = 9 - 14 = -5
     $x_{6}$ - x̅ = 13 - 14 = -1
   • مراجعة عملك أمر سهل، لأن مجموع الإجابات يجب أن يكون صفرًا. يرجع سبب تعريف المتوسط أن الإجابات السالبة (المسافة من المتوسط إلى الأرقام الأصغر) تلغي تمامًا الإجابات الموجبة (المسافة من المتوسط إلى الأرقام الأكبر).
5. 
   5
   قم بتربيع كل النتائج. مجموع الانحرافات الحالية ($x_{i}$ - x̅) صفر كما لاحظنا أعلاه. يعني هذا أن "متوسط الانحراف" سيساوي الصفر دومًا لذا لا يعلمك هذا أي شيء عن مدى توزيع البيانات. جد مربع كل انحراف لحل هذه المشكلة. سيحول هذا كل الأرقام لأرقام موجبة فلا تعود القيم الموجبة والسالبة تلغي بعضها البعض.

   • مثال:
     ($x_{1}$ - x̅)$^{2}=3^{2}=9$
     $(x_{2}$ - x̅)$^{2}=1^{2}=1$
     9² = 81
     (-7)² = 49
     (-5)² = 25
     (-1)² = 1
   • لديك الآن قيمة ($x_{i}$ - x̅)$^{2}$ لكل نقطة بيانات من العينة.
6. 
   6
   جد مجموع القيم التربيعية. حان الآن وقت حساب قيمة بسط المعادلة بأكمله: ∑[($x_{i}$ - x̅)$^{2}$]. يخبرك رمز السيجما ∑ بأن عليك جمع قيمة الحد التالي لجميع قيم $x_{i}$. لقد حسبت ($x_{i}$ - x̅)$^{2}$ مسبقًا لكل قيمة $x_{i}$ في العينة لذا كل ما عليك فعله هو جمع النتائج.

   • مثال: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166.
7. 
   7
   اقسم على n – 1 حيث n هي عدد نقاط البيانات. كان الإحصائيون يقسمون على n عند حساب تباين عينة فيما مضى. يعطيك هذا القيمة المتوسطة لمربع الانحراف وهو مطابق مثالي لتباين تلك العينة، لكن تذكر أن العينة مجرد تقدير لمجتمع أكبر وستحصل على نتائج مختلفة إذا أخذت عينة عشوائية أخرى وأجريت نفس الحسابات، بينما تمنحك القسمة على n-1 بدلًا من ذلك تقديرًا أفضل لتباين مجتمع أكبر وهو ما يثير اهتمامنا فعلًا. هذا التصحيح شائع لدرجة أنه يمثل الآن تعريفًا مقبولًا لتباين العينة.

   • مثال: هناك ست نقاط بيانات في العينة لذا فإن n=6 وتباين العينة = $s^{2}={\frac {166}{6-1}}=$ 33.2
8. 
   8
   افهم التباين والانحراف المعياري. لاحظ أن التباين يقاس بالوحدة المربعة للبيانات الأصلية، نظرًا لوجود أس في المعادلة. قد يصعب هذا الفهم البديهي للأمر لكن من المفيد استخدام الانحراف المعياري. لم يضع جهدك سدى، لأن الانحراف المعياري يُعرّف على أنه الجذر التربيعي للتباين. هذا سبب كتابة تباين العينة بصورة $s^{2}$ والانحراف المعياري لها $s$.

   • الانحراف المعياري للعينة الموضحة أعلاه مثلًا= s = √33.2 = 5.76.

طريقة 2

طريقة 2 من 2:

حساب تباين المجتمع

تنزيل المقال

1. 
   1
   ابدأ بمجموعة بيانات المجتمع الإحصائي. يشير مصطلح "المجتمع" إلى المجموعة الكلية من الملاحظات المتصلة. سيتضمن المجتمع مثلًا إذا كنت تدرس عمر سكان القاهرة عمر كل ساكن. ستنشئ صفحة بيانات جدولية لمجموعات البيانات الكبيرة المشابهة لكننا سنقدم لك هنا مثالًا على مجموعة أصغر:

   • مثال: هناك ستة أحواض سمك في غرفة بمزرعة مائية. تحتوي الأحواض الستة على الأعداد التالية من الأسماك:
     $x_{1}=5$
     $x_{2}=5$
     $x_{3}=8$
     $x_{4}=12$
     $x_{5}=15$
     $x_{6}=18$
2. 
   2
   دون معادلة تباين المجتمع. تعطيك هذه المعادلة التباين الدقيق للمجتمع نظرًا لتضمنه كل البيانات التي تحتاجها. يستخدم الإحصائيون متغيرات مختلفة لتمييزه عن تباين العينة (الذي يعد مجرد تقدير):

   • σ$^{2}$ = ^{(∑($x_{i}$ - μ)$^{2}$)}/_n
   • تباين المجتمع = σ$^{2}$. وهو الصورة الصغير من الرمز سيجما ويقاس التباين بالوحدات المربعة.
   • يمثل $x_{i}$ حدًا في مجموعة البيانات.
   • يحسب الحد الموجود داخل رمز ∑ لكل قيم $x_{i}$ ثم تجمع.
   • متوسط المجتمع هو μ.
   • عدد نقاط البيانات في المجتمع هو n.
3. 
   3
   جد متوسط المجتمع. يمثل الرمز μ ("ميو") المتوسط الحسابي عند تحليل المجتمع. اجمع كل نقاط البيانات ثم اقسمها على عددها لإيجاد المتوسط.

   • يمكنك التفكير في المتوسط الحسابي على أنه "وسط"، لكن احترس إذ قد تكون هناك عدة تعريفات للكلمة.
   • مثال: المتوسط = μ = ${\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}$ = = 10.5' '.
4. 
   4
   اطرح المتوسط من كل نقاط البيانات. ستعطي نقاط البيانات المقاربة للمتوسط فوارق مقاربة للصفر. كرر عملية الطرح لجميع النقاط وقد تبدأ باستشعار كيفية توزيع البيانات.

   • مثال:
     $x_{1}$ - μ = 5 - 10.5 = -5.5
     $x_{2}$ - μ = 5 - 10.5 = -5.5
     $x_{3}$ - μ = 8 - 10.5 = -2.5
     $x_{4}$ - μ = 12 - 10.5 = 1.5
     $x_{5}$ - μ = 15 - 10.5 = 4.5
     $x_{6}$ - μ = 18 - 10.5 = 7.5
5. 
   5
   قم بتربيع جميع الإجابات. ستجد الآن أن بعض الأرقام الناتجة عن الخطوة الأخيرة سالبة وبعضها الآخر موجب. تمثل هاتان المجموعتين الأرقام الموجودة على يسار المتوسط ويمينه، إذا مثلت بياناتك على خط الأعداد. لن يفيدك ذلك شيئًا في حساب التباين، لأن المجموعتين ستلغيان بعضهما البعض. قم بتربيع كل الأرقام حتى تصبح جميعها موجبة.

   • مثال:
     ($x_{i}$ - μ)$^{2}$ لكل قيمة i من 1 إلى 6:
     (-5.5)$^{2}$ = 30.25
     (-5.5)$^{2}$ = 30.25
     (-2.5)$^{2}$ = 6.25
     (1.5)$^{2}$ = 2.25
     (4.5)$^{2}$ = 20.25
     (7.5)$^{2}$ = 56.25
6. 
   6
   جد متوسط نتائجك. لديك الآن قيمة لكل نقاط البيانات تتصل (بشكل غير مباشر) بمدى بعدها عن المتوسط. خذ متوسط هذه القيم بجمعها كلها ثم قسمتها على عددها.

   • مثال:
     تباين المجتمع= ${\frac {30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.25}{6}}={\frac {145.5}{6}}=$ 24.25
7. 
   7
   أعد ربط هذا بالمعادلة. جرب كتابة المسألة كلها نسخًا إذا لم تكن واثقًا من مطابقة الناتج للمعادلة الموضحة في بداية هذه الطريقة:

   • تصبح لديك قيم ($x_{1}$ - μ)$^{2}$ و($x_{2}$ - μ)$^{2}$ وهكذا وصولًا إلى ($x_{n}$ - μ)$^{2}$ حيث $x_{n}$ هي آخر نقطة بيانات في المجموعة بعد إيجاد الفارق بين المتوسط والتربيع.
   • اجمع القيم ثم اقسمها على n لإيجاد المتوسط: n: ( ($x_{1}$ - μ)$^{2}$ + ($x_{2}$ - μ)$^{2}$ + ... + ($x_{n}$ - μ)$^{2}$ ) / n
   • يصبح لديك ما يلي بعد إعادة كتابة البسط داخل رمز سيجما ^{(∑($x_{i}$ - μ)$^{2}$)}/_n وهي معادلة التباين.

أفكار مفيدة

• تحسب هذه القيمة كنقطة بداية لحساب الانحراف المعياري إذ يصعب تفسير التباين.
• استخدام "n-1" بدل "n" في البسط عند تحليل العينات هو أسلوب يدعى "تصحيح بيسل". العينة مجرد تقدير للمجتمع الكلي ومتوسط العينة منحاز ليناسب ذاك التقدير. يلغي التصحيح هذا الانحياز. يرتبط هذا بحقيقة أن النقطة الأخيرة n تكون مستثناة بالفعل حين تذكر عدد n-1 من نقاط البيانات لأن نقاطًا معينة فقط هي التي ستعطي متوسط العينة (x̅) المستخدم في معادلة التباين.