كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين عددين

تنزيل المقال

تنزيل المقال

المضاعف هو ما ينتج عن ضرب أي عدد في عدد آخر صحيح، والمضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) بين مجموعة أعداد هو أصغر عدد موجود ضمن مضاعفات كل من هذه الأعداد. لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر الذي تحتاجه يجب أن يكون بمقدورك التعرف على عوامل الأعداد التي تحسب مضاعفاتها. توجد عدة طرق يمكنك استخدامها لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين، ويمكن كذلك استخدامها لفي حال أردت إيجاده لأكثر من عددين.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 4:

إدراج المضاعفات كلها

تنزيل المقال

1. 
   1
   قدر قيمة أعدادك. تجدي هذه الطريقة عندما تحسب مضاعفات عددين قيمتهما أصغر من 10؛ من الأفضل أن تستعمل طريقة أخرى إذا كنت تتعامل مع أرقام أكبر.

   • مثال: إذا أردت إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين 5 و8، هذه الطريقة تناسبك بما أن العددين صغيرين.
2. 
   2
   اكتب أول عدة مضاعفات للعدد الأول. المضاعف هو حاصل ضرب العدد في أي عدد آخر صحيح. بمعنى آخر، مضاعفات عدد هي الأرقام التي ستجدها في جدول ضربه.

   • مثال: المضاعفات الأولى للعدد 5 هي 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - 30 - 35 - 40.
3. 
   3
   اكتب أول عدة مضاعفات للعدد الثاني. ضعها بالقرب من مضاعفات العدد الأول حتى تسهل المقارنة بينهم.

   • مثال: أول عدة مضاعفات لـ 8 هي 8 - 16 - 24 - 32 - 40 - 48 - 56 - 64.
4. 
   4
   جد أصغر مضاعف موجود في مضاعفات العددين. قد تضطر إلى إطالة القائمة إلى أن تعثر على عدد مشترك لدى الرقمين. سيكون هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر الذي تحاول إيجاده.

   • مثال: أصغر عدد بين المضاعفات يوجد في القائمة بالنسبة لكل من العددين 5 و8 هو 40، إذًا: المضاعف المشترك الأصغر لـ 5 و8 هو 40.

طريقة 2

طريقة 2 من 4:

التحليل إلى عوامل أولية

تنزيل المقال

1. 
   1
   قدر أرقامك. تجدي هذه الطريقة عندما يكون كلا العددين أكبر من 10؛ سوف تجد المضاعف المشترك الأصغر أسرع باستخدام طريقة أخرى إذا كانت أرقامك أصغر.

   • مثال: إذا أردت إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 20 و84، عليك باستخدام هذه الطريقة.
2. 
   2
   حلل العدد الأول إلى عوامله الأولية. هذا يعني أنك بحاجة لإيجاد العوامل الأولية التي ينتج عن ضربها العدد الذي تحاول تحليله. إحدى طرق التحليل إلى عوامل أولية هي طريقة شجرة العوامل. بعد إيجاد العوامل، قم بكتابتها على صورة معادلة.

   • مثال: $\mathbf {2} \times 10=20$ و $\mathbf {2} \times \mathbf {5} =10$، إذًا: العوامل الأولية لـ 20 هي 2 و2 و5. بعد كتابتها على صورة معادلة تصبح $20=2\times 2\times 5$.
3. 
   3
   حلل العدد الثاني. أجر التحليل باستعمال نفس الطريقة التي اتبعتها مع العدد الأول لتجد العوامل الأولية التي عند ضربها ببعض تحصل على العدد.

   • مثال: $\mathbf {2} \times 42=84$ و $\mathbf {7} \times 6=42$ و $\mathbf {3} \times \mathbf {2} =6$، أي أن العوامل الأولية للعدد 84 هي 2 و7 و3 و2. بعد كتابتها كمعادلة تصبح $84=2\times 7\times 3\times 2$.
4. 
   4
   اكتب العوامل المشتركة بين العددين. اكتبها بصيغة مسائل ضرب. عند كتابة كل عامل، اشطبه من كل معادلة من معادلات العوامل السابقة.

   • مثال: يتشارك كلا العددين العامل 2، لذا اكتب $2\times$ واشطب الـ 2 من كل من مسائل العوامل التي أوجدتها.
   • يشترك العددين أيضًا في أن كل منهما لديه 2 أخرى بين عوامله الأولية، لذا غير مسألة الضرب إلى $2\times 2$ واشطب الـ 2 الثانية من كل معادلة تحليل إلى عوامل.
5. 
   5
   أضف أي عوامل باقية لمسألة الضرب. تلك هي العوامل التي لم تشطبها عند استخراج الأرقام المشتركة بين المسألتين من مجموعتي العوامل الأولية. بالتالي: هذه هي العوامل غير المشتركة بين العددين.

   • مثال: قمت في المسألة $20=2\times 2\times 5$ بشطب الاثنين والاثنين لأنك وجدت أنهما عاملين مشتركين مع العدد الثاني. تبقى معك العامل 5، لذا أضفه لمسألة الضرب: $2\times 2\times 5$.
   • في المسألة $84=2\times 7\times 3\times 2$ حذفت أيضًا رقمي الـ 2. العوامل المتبقية هي 3 و7، لذا أضفها لمسألة الضرب:$2\times 2\times 5\times 7\times 3$.
6. 
   6
   احسب المضاعف المشترك الأصغر. ستجده الآن ببساطة من خلال ضرب العوامل في مسألة الضرب التي أوجدتها من العوامل المشتركة وغير المشتركة.

   • مثال: $2\times 2\times 5\times 7\times 3=420$. إذًا: المضاعف المشترك الأصغر بين 20 و84 هو 420.

طريقة 3

طريقة 3 من 4:

طريقة الشبكة أو السلم

تنزيل المقال

1. 
   1
   ارسم شبكة لعبة إكس-أو. شبكة إكس-أو عبارة عن مجموعتين من خطين متوازيين، إحدى المجموعتين عمودي والآخر أفقي، وهما يتقاطعان بصورة عمودية على أحدهما الآخر. تشكل الخطوط ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة وتشبه رمز الشباك (#) الموجود في الهواتف المحمولة ولوحات المفاتيح. اكتب الرقم الأول في المربع الأعلى في منتصف الشبكة، والرقم الثاني بجانبه في مربع الزاوية اليمنى.

   • مثال: إذا كنت تحاول إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين 18 و30، اكتب 18 في أعلى منتصف الشبكة، و30 في أعلى الشبكة على اليمين.
2. 
   2
   ابحث عن عامل مشترك بين الرقمين. اكتبه في مربع الزاوية اليسرى بأعلى الشبكة، بجوار العددين. إيجاد عامل أولي مفيد لمساعدتك على الوصول للحل بسهولة، لكن يمكنك عمومًا اختيار أي عامل دون أن يشترط أن يكون أوليًا.

   • مثال: بما أن 18 و30 كلاهما أعداد زوجية، تعرف بالتالي أنهما يقبلان القسمة على 2. اكتب 2 في مربع الزاوية اليسرى بالأعلى.
3. 
   3
   اقسم كلًا من العددين على العامل. اكتب خارج قسمة كل عدد في المربع الذي يدنوه. خارج القسمة هو الإجابة على مسألة قسمة.

   • مثال: $18\div 2=9$، لذا اكتب 9 تحت الـ 18 في الشبكة.
   • $30\div 2=15$، بالتالي اكتب 15 أسفل مربع الـ 30 على الشبكة.
4. 
   4
   جد عاملًا مشترك بين خارجي القسمتين. يمكنك تجاوز هذه الخطوة والخطوة التالية لما بعدهما إذا لم تجد عاملًا مشتركًا، أما إذا وجدت عاملًا مشتركًا، اكتبه في المربع المتوسط للعمود الأيسر من الشبكة.

   • مثال: 9 و15 لهما عامل مشترك هو 3. اكتبه في المربع في منتصف يسار الشبكة.
5. 
   5
   اقسم حاصلي القسمة على هذا العامل الجديد. اكتب خارجي القسمة الجديدين أسفل السابقيْن.

   • مثال: $9\div 3=3$، اكتب 3 تحت الـ 9 على الشبكة.
   • $15\div 3=5$، اكتب إذًا 5 تحت مربع الـ 15 على الشبكة.
6. 
   6
   أطل الشبكة إذا لزم الأمر. استمر باتباع الخطوات السابقة إلى أن تصل إلى نتيجتي قسمة لا عامل مشترك بينهما.
7. 
   7
   ارسم دائرة حول أرقام العمود الأول من جهة اليسار والصف الأخير في الشبكة. اعتبر أنك ترسم حرف "L" لتحديد المضاعف المشترك الأصغر. اكتب مسألة ضرب تضم كل العوامل المحددة ضمن هذه الدوائر.

   • مثال: بما أن هناك 2 و3 في العمود الأول من الشبكة، وفي الصف الأخير 3 و5، ستكون مسألة الضرب عبارة عن $2\times 3\times 3\times 5$.
8. 
   8
   احسب مسألة الضرب. عندما تضرب كل هذه العوامل ببعض، تكون النتيجة هي المضاعف المشترك الأصغر للعددين الأصليين.

   • مثال: $2\times 3\times 3\times 5=90$. إذًا: المضاعف المشترك الأصغر بين 18 و30 هو 90.

طريقة 4

طريقة 4 من 4:

باستخدام خوارزمية إقليدس

تنزيل المقال

1. 
   1
   افهم مفردات القسمة. المقسوم هو الرقم الذي يُقسَّم، والقاسم (أو المقسوم عليه) هو الرقم الذي يُقسم عليه الأول. خارج القسمة هو حل مسألة القسمة، والباقي هو القدر المتبقي من المقسوم بعد قسمته على الآخر.

   • مثال: في المسألة $15\div 6=2\;{\text{الباقي}}\;3$:
     15 هي المقسوم
     6 هي القاسم
     2 هي خارج القسمة
     3 هي الباقي.
2. 
   2
   اكتب صيغة قانون "خارج القسمة-الباقي". القانون هو ${\text{المقسوم}}={\text{القاسم}}\times {\text{خارج القسمة}}+{\text{الباقي}}$. ستستخدم هذه الصيغة للبدء باستخدام خوارزمية اقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين.

   • مثال: $15=6\times 2+3$.
   • القاسم المشترك الأكبر هو أكبر قيمة عددية يقبل كلا العددين القسمة عليه أو عامل مشترك بينهما.
   • تعتمد هذه الطريقة على استخدام القاسم المشترك الأكبر بعد إيجاده للوصول للمضاعف المشترك الأصغر.
3. 
   3
   استخدم الرقم الأكبر بين الرقمين كمقسوم. والأصغر يشكل القاسم. اكتب معادلة "خارج القسمة-الباقي" وعوض بقيم هذه الأرقام.

   • مثال: إذا كنت تحاول إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 210 و45، سوف تحسب $210=45\times 4+30$.
4. 
   4
   استخدم القاسم الأصلي كمقسوم هذه المرة. استخدم الباقي مكان القاسم. اكتب المعادلة بصيغة "خارج القسمة/الباقي" لهذين العددين.

   • مثال: $45=30\times 2+15$.
5. 
   5
   كرر هذه الخطوات حتى يصبح الباقي 0. في كل مسألة جديدة، قم باستخدام قاسم المسألة السابقة في محل المقسوم، والباقي السابق في محل القاسم.

   • مثال: $30=15\times 2+0$. بما أن الباقي 0، لست بحاجة إلى إجراء أي عمليات قسمية أخرى.
6. 
   6
   انظر لآخر قاسم استعملته. هذا العدد هو القاسم المشترك الأكبر للعدين.

   • مثال: بما أن المسألة الأخيرة كانت $30=15\times 2+0$، فالقاسم الأخير هو 15، بالتالي 15 هي القاسم المشترك الأكبر لكل من 210 و45.
7. 
   7
   اضرب العددين. اضرب الناتج في القاسم المشترك الأكبر. ناتج هذه المسألة هو المضاعف المشترك الأكبر للعددين.

   • مثال: $210\times 45=9450$. بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر يصبح لديك ${\frac {9450}{15}}=630$. إذًا، 630 هي المضاعف المشترك الأصغر بين 210 و45.

أفكار مفيدة

• إذا احتجت إلى إيجاد م.م.أ لأكثر من عددين، يمكنك التعديل قليلًا في الطرق المشروحة أعلاه. مثلًا: لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين 16 و20 و32، يمكنك البدء بإيجاد م.م.أ بين 16 و20 (وهو 80)، ثم إيجاد م.م.أ بين 80 و32، وهو ما يتبين عند إجراء الحساب أنه 160.
• للمضاعف المشترك الأصغر العديد من الاستخدامات، أكثرها شيوعًا هو حالات ضرب وطرح الكسور، لأنه لابد من توحيد مقاماتهم إن لم يكونوا متماثلين بالفعل، وهذا من خلال تحويل كل كسر إلى آخر مساوٍ له في قيمته ويشترك مع الثاني في المقام. أفضل طرق حساب هذا النوع من المسائل، هو من خلال إيجاد المقام المشترك الأصغر، وهو ببساطة مجرد طريقة أخرى لقول المضاعف المشترك الأصغر للمقامين.