Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen berechnen

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In diesem Artikel:

Alle Vielfachen auflisten

Die Primfaktorzerlegung einsetzen

Die Raster- oder Leitermethode anwenden

Den euklidischen Algorithmus verwenden

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Literaturhinweise

Zusammenfassung

Ein Vielfaches ist das Ergebnis der Multiplikation einer Zahl mit einer ganzen Zahl. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) einer Gruppe von Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller Zahlen in dieser Gruppe ist. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, musst du die Faktoren der Zahlen herausfinden, mit denen du arbeitest. Es gibt ein paar unterschiedliche Methoden, um das kgV zu finden. Diese Methoden können auch eingesetzt werden, um das kgV von mehr als zwei Zahlen herauszufinden.

Vorgehensweise

Methode 1

Methode 1 von 4:

Alle Vielfachen auflisten

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   Werte die Zahlen aus. Diese Methode funktioniert am besten, wenn du mit zwei Zahlen arbeitest, die kleiner als 10 sind. Wenn du mit größeren Zahlen arbeitest, verwendest du besser eine andere Methode.

   • Vielleicht musst du zum Beispiel das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 8 herausfinden. Da es sich hierbei um kleine Zahlen handelt, sind sie für diese Methode geeignet.
2. 
   2
   Schreibe die ersten paar Vielfachen der ersten Zahl auf. Ein Vielfaches ist das Produkt einer beliebigen Zahl und einer ganzen Zahl. In anderen Worten sind das die Zahlen, die du in einer Multiplikationstabelle sehen würdest.

   • Die ersten paar Vielfachen von 5 sind zum Beispiel 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 und 40.
3. 
   3
   Schreibe die ersten paar Vielfachen der zweiten Zahl auf. Setze sie in die Nähe der ersten Reihe aus Vielfachen, damit du sie leicht vergleichen kannst.

   • Die ersten paar Vielfachen von 8 sind zum Beispiel 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 und 64.
4. 
   4
   Finde das kleinste Vielfache, das diese Zahlen gemeinsam haben. Du musst die Listen der Vielfachen vielleicht fortsetzen, bis du eine Zahl findest, die beide gemeinsam haben. Diese Zahl ist dann das kleinste gemeinsame Vielfache.

   • Das kleinste Vielfache, das 5 und 8 gemeinsam haben, ist zum Beispiel 40, das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 8 ist also 40.
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Methode 2

Methode 2 von 4:

Die Primfaktorzerlegung einsetzen

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   1
   Werte die Zahlen aus. Diese Methode funktioniert am besten, wenn beide Zahlen, mit denen du arbeitest, größer als 10 sind. Wenn du kleinere Zahlen hast, kannst du eine andere Methode anwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache schneller zu finden.

   • Wenn du zum Beispiel das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 84 finden musst, solltest du diese Methode wählen.
2. 
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   Zerlege die erste Zahl in Primfaktoren. Du musst die Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen, das heißt du findest die Faktoren, die du miteinander multiplizieren kannst, sodass sie diese Zahl ergeben. Eine Möglichkeit, das zu machen, ist ein Baumdiagramm zu erschaffen. Wenn du die Faktoren fertig aufgelistet hast, schreibst du die Primfaktoren zu einer Gleichung um.

   • Zum Beispiel $\mathbf {2} \times 10=20$ und $\mathbf {2} \times \mathbf {5} =10$, die Primfaktoren von 20 sind also 2, 2 und 5. Als Gleichung aufgeschrieben erhältst du: $20=2\times 2\times 5$.
3. 
   3
   Zerlege die zweite Zahl in Primfaktoren. Mache das auf dieselbe Weise wie bei der ersten Zahl, indem du die Primfaktoren herausfindest, die du miteinander multiplizieren kannst, um die Zahl zu erhalten.

   • Zum Beispiel $\mathbf {2} \times 42=84$, $\mathbf {7} \times 6=42$ und $\mathbf {3} \times \mathbf {2} =6$, die Primfaktoren von 84 sind also 2, 7, 3 und 2. Als Gleichung aufgeschrieben erhältst du: $84=2\times 7\times 3\times 2$.
4. 
   4
   Schreibe die Faktoren auf, die beide Zahlen gemeinsam haben. Schreibe die Zahlen als Multiplikation auf. Streiche jeden Faktor, wenn du ihn aufschreibst, in jeder Gleichung der Primfaktorzerlegungen durch.

   • Zum Beispiel haben beide Zahlen den Faktor 2 gemeinsam, schreibe also $2\times$ und streiche in jeder Gleichung der Primfaktorzerlegungen eine 2 durch.
   • Die Zahlen haben auch eine weitere 2 gemeinsam, verändere die Multiplikation also zu $2\times 2$ und streiche eine weitere 2 in den Primfaktorzerlegungen durch.
5. 
   5
   Füge alle übrig gebliebenen Faktoren zu der Multiplikation hinzu. Damit sind die Faktoren gemeint, die du beim Vergleichen der beiden Gruppen von Faktoren nicht durchgestrichen hast. Folglich sind es Faktoren, die die beiden Zahlen nicht gemeinsam haben.

   • In der Gleichung $20=2\times 2\times 5$ hast du zum Beispiel die beiden 2en durchgestrichen, weil diese zwei Faktoren mit der anderen Zahl gemeinsam waren. Du hast den Faktor 5 übrig, füge ihn also zu der Multiplikation hinzu: $2\times 2\times 5$.
   • In der Gleichung $84=2\times 7\times 3\times 2$ hast du ebenfalls beide 2en durchgestrichen. Es bleiben die Faktoren 7 und 3 übrig, füge also auch sie zu der Multiplikation hinzu: $2\times 2\times 5\times 7\times 3$.
6. 
   6
   Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache. Multipliziere dafür alle Faktoren in der Multiplikation miteinander.

   • Zum Beispiel ist $2\times 2\times 5\times 7\times 3=420$. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 84 ist 420.
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Methode 3

Methode 3 von 4:

Die Raster- oder Leitermethode anwenden

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1. 
   1
   Zeichne ein Raster wie bei Drei gewinnt. Dafür zeichnest du zwei senkrechte parallele Linien, die zwei waagerechte parallele Linien schneiden. So entstehen drei Reihen und drei Spalten, die wie eine Rautetaste auf einem Telefon oder einer Tastatur aussehen (#).

   • Wenn du zum Beispiel versuchst, das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30 herauszufinden, schreibe 18 oben in die Mitte des Rasters und 30 oben rechts in das Raster.
2. 
   2
   Suche nach einem Faktor, den beide Zahlen gemeinsam haben. Schreibe diese Zahl in das Quadrat oben links in deinem Raster. Es ist hilfreich, Primfaktoren zu verwenden, du musst aber nicht unbedingt.

   • Da 18 und 30 beide gerade Zahlen sind, weißt du, dass beide den Faktor 2 haben. Schreibe also eine 2 oben links in das Raster.
3. 
   3
   Teile jede der Zahlen durch den Faktor. Schreibe den Quotienten in das Quadrat unter der jeweiligen Zahl. Der Quotient ist das Ergebnis einer Division.

   • Zum Beispiel ist $18\div 2=9$, schreibe also 9 unter die 18 in dem Raster.
   • $30\div 2=15$, schreibe also 15 unter die 30 in dem Raster.
4. 
   4
   Finde einen Faktor, den die beiden Quotienten gemeinsam haben. Wenn die beiden Quotienten keinen gemeinsamen Faktor haben, kannst du diesen und den nächsten Schritt überspringen. Wenn sie einen haben, schreibe ihn in das mittlere linke Quadrat des Rasters.

   • Zum Beispiel haben 9 und 15 beide den Faktor 3, dann schreibst du die 3 in das mittlere linke Feld des Rasters.
5. 
   5
   Teile jeden Quotienten durch diesen Faktor. Schreibe die neuen Quotienten unter die ersten beiden.

   • Zum Beispiel ist $9\div 3=3$, schreibe also eine 3 unter die 9 in dem Raster.
   • $15\div 3=5$, schreibe also eine 5 unter die 15 in dem Raster.
6. 
   6
   Erweitere das Raster, falls notwendig. Verfahre auf dieselbe Weise, bis du an einen Punkt gelangst, an dem die letzte Gruppe von Quotienten keinen gemeinsamen Faktor mehr hat.
7. 
   7
   Zeichne einen Kreis rund um die Zahlen in der ersten Spalte und der letzten Zeile des Rasters. Das Muster, das du anzeichnest, sieht wie ein „L“ aus. Schreibe eine Multiplikation aus all diesen Faktoren auf.

   • In unserem Beispiel stehen die 2 und die 3 in der ersten Spalte des Rasters und die 3 und die 5 sind in der letzten Reihe des Rasters, du schreibst also die Multiplikation $2\times 3\times 3\times 5$ auf.
8. 
   8
   Führe die Multiplikation durch. Wenn du all diese Faktoren miteinander multiplizierst, ist das Ergebnis das kleinste gemeinsame Vielfache der zwei anfänglichen Zahlen.

   • In unserem Beispiel ist $2\times 3\times 3\times 5=90$. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30 ist also 90.
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Methode 4

Methode 4 von 4:

Den euklidischen Algorithmus verwenden

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   Verstehe die Bezeichnungen bei einer Division. Der Dividend ist die Zahl, die geteilt wird. Der Divisor ist die Zahl, durch die der Dividend geteilt wird. Der Quotient ist die Lösung einer Divisionsaufgabe. Der Rest ist der Betrag, der übrig bleibt, wenn eine Zahl durch eine andere geteilt wird.

   • Als Beispiel die Gleichung $15\div 6=2\;{\text{Rest}}\;3$:
     15 ist der Dividend
     6 ist der Divisor
     2 ist der Quotient
     3 ist der Rest.
2. 
   2
   Stelle die Formel in der Form mit Quotient und Rest auf. Die Formel lautet ${\text{Dividend}}={\text{Divisor}}\times {\text{Quotient}}+{\text{Rest}}$. Diese Form wirst du verwenden, um den euklidischen Algorithmus aufzustellen, mit dem du den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen findest.

   • Zum Beispiel $15=6\times 2+3$.
   • Der größte gemeinsame Teiler ist der größte Divisor oder Faktor, den zwei Zahlen gemeinsam haben.
   • Bei dieser Methode findest du zuerst den größten gemeinsamen Teiler und verwendest ihn dann, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.
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   3
   Verwende die größere der beiden Zahlen als Dividenden. Setze die kleinere der beiden Zahlen als Divisor ein. Stelle eine Gleichung in der Form mit Quotient und Rest mit diesen zwei Zahlen auf.

   • Wenn du zum Beispiel versuchst, das kleinste gemeinsame Vielfache von 210 und 45 zu finden, würdest du rechnen $210=45\times 4+30$.
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   4
   Verwende den ursprünglichen Divisor als neuen Dividenden. Verwende den Rest als neuen Divisor. Stelle eine Gleichung in der Form mit Quotient und Rest für diese beiden Zahlen auf.

   • Zum Beispiel $45=30\times 1+15$.
5. 
   5
   Wiederhole diese Vorgehensweise, bis du einen Rest von 0 hast. Verwende bei jeder neuen Gleichung den Divisor der vorherigen Gleichung als neuen Dividenden und den vorherigen Rest als neuen Divisor.

   • Zum Beispiel $30=15\times 2+0$. Da der Rest 0 ist musst du nicht weiter dividieren.
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   6
   Sieh dir den letzten Divisor an, den du verwendet hast. Das ist der größte gemeinsame Teiler der zwei Zahlen.

   • Da die letzte Gleichung in unserem Beispiel $30=15\times 2+0$ war, war der letzte Divisor 15 und somit ist 15 der größte gemeinsame Teiler von 210 und 45.
7. 
   7
   Multipliziere die beiden Zahlen miteinander. Teile das Produkt durch den größten gemeinsamen Teiler. So erhältst du das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen.

   • Zum Beispiel ist $210\times 45=9450$. Wenn man das durch den größten gemeinsamen Teiler dividiert, erhält man ${\frac {9450}{15}}=630$. 630 ist also das kleinste gemeinsame Vielfache von 210 und 45.
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Tipps

• Wenn du das kgV von mehr als zwei Zahlen brauchst, können die oben genannten Methoden abgewandelt werden. Um zum Beispiel das kgV von 16, 20 und 32 zu finden, könntest du damit anfangen, das kgV von 16 und 20 zu finden (was 80 ist) und dann das kgV von 80 und 32, was 160 ist.
• Das kgV hat viele Einsatzbereiche. Eine der am häufigsten vorkommenden Nutzungen ist, dass Brüche, wenn man sie addieren oder subtrahieren will, einen gemeinsamen Nenner haben müssen. Wenn sie das nicht haben, musst du jeden Bruch in einen gleichwertigen Bruch umwandeln, sodass sie denselben Nenner teilen. Die beste Art, das zu erreichen, ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner zu finden.

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