Come Trovare il Minimo Comune Multiplo di Due Numeri

Il multiplo di un numero "a" è rappresentato dal prodotto di quest'ultimo per un altro numero intero "b". Il minimo comune multiplo di un gruppo di numeri rappresenta l'intero più piccolo che è multiplo di tutti gli elementi dell'insieme esaminato. Per riuscire a trovare il minimo comune multiplo occorre individuare i fattori primi che compongono i numeri che si stanno studiando. Esistono diversi metodi per calcolare il minimo comune multiplo. Tutti quelli descritti nell'articolo possono essere usati anche quando si lavora con un insieme caratterizzato da più di due numeri.

Metodo 1

Metodo 1 di 4:

Individuare Tutti i Multipli

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Analizza l'insieme di numeri con cui devi lavorare. Questo metodo funziona meglio quando si devono gestire solo due numeri inferiori a 10. Se devi calcolare il minimo comune multiplo di numeri più grandi, è meglio utilizzare uno degli altri metodi.
- Per esempio, ipotizza di dover individuare il minimo comune multiplo fra i numeri 5 e 8. Dato che in questo caso si tratta di interi molto piccoli, l'uso di questo metodo è appropriato.
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Inizia prendendo nota di alcuni multipli del primo numero in esame. Ricorda che il multiplo di un numero rappresenta il prodotto di tale valore per un altro intero.^{[1]XFonte di ricerca} In altre parole sono i numeri che puoi trovare all'interno delle tabelline.
- Per esempio, i primi multipli del numero 5 sono 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 e 40.
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Prendi nota di alcuni dei multipli del secondo numero. Riportali vicino alla porzione di foglio in cui hai scritto quelli del primo numero, in modo da poterli comparare con facilità.
- Nel nostro esempio, i primi multipli del numero 8 sono 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.
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Adesso individua il multiplo più piccolo comune a entrambi i numeri in esame. In alcuni casi potresti dover estendere l'elenco dei multipli di entrambi i numeri studiati per individuare degli elementi in comune. Il numero che risulterà dalla tua analisi rappresenterà il minimo comune multiplo fra i due interi in esame.^{[2]XFonte di ricerca}
- Nel nostro esempio, il minimo comune multiplo fra 5 e 8 risulta essere 40.
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Metodo 2

Metodo 2 di 4:

Usare la Scomposizione in Fattori Primi

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Analizza i numeri con cui devi lavorare. Questo metodo è più adatto quando si studiano numeri più grandi di 10. Se stai lavorando con interi più piccoli esistono metodi che permettono di individuare il minimo comune multiplo in modo più rapido.
- Per esempio, ipotizzando di dover individuare il minimo comune multiplo dei numeri 20 e 84, questo metodo risulta essere appropriato.
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Scomponi il primo numero nei rispettivi fattori primi. Si tratta di individuare tutti i numeri interi che moltiplicati fra loro danno come prodotto il numero originale. Un modo consiste nel creare un diagramma ad albero in cui rappresentare tutti i fattori. Una volta completata la scomposizione in fattori primi, riscrivi gli elementi individuati sotto forma di equazione.
- Per esempio, $\mathbf {2} \times 10=20$ e $\mathbf {2} \times \mathbf {5} =10$ , quindi i fattori primi di 20 sono 2, 2 e 5. Utilizza questi dati per impostare la seguente equazione: $20=2\times 2\times 5$ .
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Scomponi il secondo numero in fattori primi. Utilizza lo stesso procedimento che hai usato per scomporre il primo numero, cioè individua tutti i numeri primi che moltiplicati fra loro danno come prodotto il numero di partenza.
- Per esempio, $\mathbf {2} \times 42=84$ , $\mathbf {7} \times 6=42$ e $\mathbf {3} \times \mathbf {2} =6$ , quindi i fattori primi di 84 sono 2, 7, 3 e 2. Riscrivendoli sotto forma di equazione otterrai: $84=2\times 7\times 3\times 2$ .
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Prendi nota di tutti i fattori primi comuni a entrambi i numeri. Scrivili sotto forma di fattori di una moltiplicazione. Quando individui un numero in comune, eliminalo da ciascuna equazione.
- Per esempio, entrambi i numeri esaminati condividono il fattore primo 2, quindi prendi nota di tale valore sotto forma di $2\times$ e cancellalo dalle equazioni di fattorizzazione di ciascun numero.
- Entrambi i numeri di partenza condividono il dividendo 2 una seconda volta, quindi aggiungilo alla moltiplicazione del passaggio precedente ottenendo $2\times 2$ e provvedi a cancellarlo dalle equazioni di fattorizzazione.
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Completa la moltiplicazione aggiungendo tutti i fattori primi rimasti. Si tratta di tutti i fattori che sono presenti solo in una delle equazioni di partenza e che quindi non sono stati eliminati durante la precedente comparazione.^{[3]XFonte di ricerca}
- Nell'esempio, dall'equazione $20=2\times 2\times 5$ hai eliminato entrambi i fattori 2, dato che sono presenti anche nell'equazione del secondo numero. A questo punto è rimasto solo il numero 5, quindi puoi aggiungerlo alla moltiplicazione ottenendo: $2\times 2\times 5$ .
- Anche nell'equazione $84=2\times 7\times 3\times 2$ hai eliminato entrambi i fattori primi 2. A questo punto sono rimasti i numeri 7 e 3, che potrai aggiungere alla moltiplicazione ottenendo come risultato: $2\times 2\times 5\times 7\times 3$ .
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Calcola il valore del minimo comune multiplo. Per farlo, risolvi semplicemente la moltiplicazione ottenuta nel passaggio precedente eseguendo i relativi calcoli.
- Nell'esempio, otterrai $2\times 2\times 5\times 7\times 3=420$ . Giunto a questo punto, puoi affermare che il minimo comune multiplo fra 20 e 84 è pari a 420.
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Metodo 3

Metodo 3 di 4:

Utilizzare una Griglia di Fattorizzazione

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Disegna una griglia 3 x 3. Si tratta della stessa griglia che si utilizza comunemente per giocare a tris. È composta da tre righe e da tre colonne e graficamente dovrebbe apparire come il simbolo cancelletto (#), che può essere riprodotto tramite la tastiera di un computer o di un telefono. Riporta il primo numero in esame all'interno della casella centrale della riga superiore della griglia, quindi riporta il secondo numero all'interno della casella di destra della riga superiore della griglia.^{[4]XFonte di ricerca}
- Per esempio, ipotizzando di voler determinare il minimo comune multiplo dei numeri 18 e 30, dovrai riportare il numero 18 all'interno della casella centrale della riga superiore della griglia e il numero 30 all'interno della cella che si trova a destra di quella che ospita il numero 18.
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Cerca un divisore che sia comune a entrambi i numeri. Scrivilo all'interno della casella di sinistra della riga superiore della griglia. Sarebbe molto più utile cercare di usare un fattore primo, ma ai fini di questo lavoro non è necessario.
- Per esempio, dato che 18 e 30 sono entrambi numeri pari, entrambi sono divisibili per 2. Puoi quindi riportare il divisore 2 all'interno della cella che si trova nell'angolo superiore sinistro della griglia.
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Dividi ciascun numero per l'intero individuato nel passaggio precedente. Prendi nota dei relativi quozienti e riportali nelle celle sottostanti a ciascun numero. Il quoziente è il risultato ottenuto da una divisione.
- Nell'esempio $18\div 2=9$ , quindi puoi riportare il numero 9 nella cella che si trova sotto a quella che contiene il numero 18.
- Proseguendo otterrai che $30\div 2=15$ , quindi riporta il valore 15 all'interno della cella posta sotto a quella che contiene il numero 30.
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Individua un secondo divisore comune a entrambi i quozienti calcolati nel passaggio precedente. Se non esiste un divisore comune, passa direttamente al passaggio successivo. Al contrario, se esiste, riportalo all'interno della cella sinistra della riga centrale della griglia.
- Nell'esempio i numeri 9 e 15 sono entrambi multipli di 3, quindi puoi riportare questo valore all'interno della cella sinistra della riga centrale della tabella.
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Dividi i due nuovi valori (in questo caso 9 e 15) per il divisore individuato nel passaggio precedente. Prendi nota dei due quozienti riportandoli nelle celle che si trovano sotto ai rispettivi dividendi.
- Nell'esempio, otterrai $9\div 3=3$ , quindi puoi riportare il valore 3 nella cella posta sotto a quella che contiene il numero 9.
- Proseguendo nei calcoli, otterrai che $15\div 3=5$ , quindi puoi riportare il numero 5 all'interno della cella posta sotto a quella che contiene il valore 15.
Ripeti i passaggi precedenti finché non ottieni due quozienti che non hanno un divisore in comune.
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Raggruppa i numeri presenti nella prima colonna della tabella (quella che si trova all'estrema sinistra) e nell'ultima riga, cerchiandoli con la matita o la penna (come mostrato nell'immagine). Graficamente dovresti ottenere una "L". Riscrivi tutti i numeri contenuti nell'insieme tracciato sotto forma di fattori di una moltiplicazione.^{[5]XFonte di ricerca}
- Nell'esempio, i numeri che occupano la prima colonna della tabella sono il 2 e il 3, mentre i valori che si trovano all'interno dell'ultima riga sono il 3 e il 5, quindi dovresti ottenere la seguente moltiplicazione: $2\times 3\times 3\times 5$ .
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Esegui i calcoli. Moltiplicando fra loro i numeri individuati otterrai come risultato il minimo comune multiplo dei due numeri di partenza.^{[6]XFonte di ricerca}
- Nell'esempio, otterrai $2\times 3\times 3\times 5=90$ . A questo punto puoi affermare che il minimo comune multiplo dei numeri interi 18 e 30 è 90.
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Metodo 4

Metodo 4 di 4:

Utilizzare l'Algoritmo di Euclide

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1
Comprendi la terminologia dell'operazione matematica inerente alla divisione. Il dividendo rappresenta il numero da dividere. Il divisore indica il numero che divide il dividendo. Il quoziente è il risultato della divisione. Il resto è la quantità rimasta al termine della divisione.^{[7]XFonte di ricerca}
- Per esempio, nell'equazione $15\div 6=2\;{\text{con un resto di}}\;3$ :
  15 rappresenta il dividendo;
  6 è il divisore;
  2 è il quoziente;
  3 è il resto.
2
Imposta la formula inversa per calcolare il dividendo in base a divisore, quoziente e resto. La formula è la seguente: ${\text{Dividendo}}={\text{Divisore}}\times {\text{Quoziente}}+{\text{Resto}}$ $How.com.vn Italiano: {\text{Dividendo}}={\text{Divisore}}\times {\text{Quoziente}}+{\text{Resto}}$ ^{[8]XFonte di ricerca}. Per poter usare l'algoritmo di Euclide per individuare il massimo comune divisore esistente fra due numeri, occorre utilizzare la formula in esame.
- Nell'esempio, otterrai $15=6\times 2+3$ .
- Il massimo comune divisore rappresenta il numero più grande in grado di suddividere entrambi i numeri in esame.^{[9]XFonte di ricerca}
- In questo metodo occorre per prima cosa calcolare il massimo comune divisore, per poi utilizzarlo per trovare il minimo comune multiplo.
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Usa il numero più grande dei due come dividendo, quindi scegli il più piccolo come divisore. Imposta l'equazione per calcolare il dividendo in base a divisore, quoziente e resto in relazione ai numeri in esame.
- Per esempio, ipotizzando di dover trovare il minimo comune multiplo dei numeri 210 e 45, otterrai la seguente equazione: $210=45\times 4+30$ .
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A questo punto trasforma il divisore di partenza nel nuovo dividendo e utilizza il resto come nuovo divisore. Esegui i calcoli e imposta l'equazione precedente con i nuovi valori ottenuti.
- Nell'esempio otterrai: $45=30\times 2+15$ .
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Ripeti il passaggio precedente finché non ottieni un resto pari a 0. Quando imposti una nuova equazione, ricorda di utilizzare il divisore e il resto precedenti rispettivamente come nuovo dividendo e nuovo divisore.^{[10]XFonte di ricerca}
- Nell'esempio otterrai: $30=15\times 2+0$ . Dato che hai ottenuto un resto pari a 0 non dovrai procedere con la suddivisione.
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Osserva l'ultimo divisore che hai utilizzato nei calcoli. Questo numero rappresenta il massimo comune divisore che accomuna i due numeri di partenza.^{[11]XFonte di ricerca}
- Analizzando il solito esempio, dato che l'equazione finale è $30=15\times 2+0$ , risulta che l'ultimo divisore è pari a 15. Puoi quindi affermare che il massimo comune divisore fra 210 e 45 è proprio 15.
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Moltiplica fra loro i due numeri. Prosegui dividendo il prodotto ottenuto per il massimo comune divisore. Il quoziente della divisione rappresenta il minimo comune multiplo dei due numeri di partenza.^{[12]XFonte di ricerca}
- Nell'esempio otterrai: $210\times 45=9450$ . Prosegui dividendo il prodotto per il massimo comune divisore ottenendo ${\frac {9450}{15}}=630$ . Giunto a questo punto, puoi affermare che 630 è il minimo comune multiplo dei numeri 210 e 45.
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Consigli

Se hai la necessità di trovare il minimo comune multiplo di un gruppo di numeri composto da più di due elementi, i metodi descritti nell'articolo possono essere utili dopo aver adottato delle piccole modifiche. Per esempio, per individuare il minimo comune multiplo fra i numeri 16, 20 e 32, occorre calcolare prima il minimo comune multiplo fra 16 e 20 (che risulta essere 80), per poi determinare quello fra 80 e 32 (ottenendo come risultato finale 160).
Il minimo comune multiplo ha molti utilizzi in ambito matematico. Nella maggior parte dei casi viene usato per eseguire addizioni o sottrazioni fra numeri frazionari perché, se tutte le frazioni in gioco non presentano lo stesso denominatore comune, occorre per prima cosa trasformarle in frazioni equivalenti, che abbiano un denominatore uguale. Il metodo migliore per fare ciò consiste nell'individuare il minimo comune denominatore, che non è altro che il minimo comune multiplo di tutti i denominatori delle frazioni coinvolte nel calcolo.