Wiskundige vergelijkingen vereenvoudigen

Algebraïsche vergelijkingen kunnen vereenvoudigen is een essentieel onderdeel van het beheersen van de basis van algebra en een uiterst waardevol instrument voor alle wiskundigen om over te beschikken. Vereenvoudiging maakt het mogelijk voor een wiskundige om een complexe, lange en/of onhandige uitdrukking te veranderen in een eenvoudiger of handiger maar wel equivalente vorm. De basis van het vereenvoudigen is vrij gemakkelijk om te leren - zelfs voor iemand die een hekel heeft aan wiskunde. Door een paar eenvoudige stappen te volgen, is het mogelijk om veel van de meest voorkomende algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen, zonder enige vorm van speciale wiskundige kennis.

Methode 1

Methode 1 van 4:

Het begrijpen van belangrijke concepten

Pdf downloaden

1
Bepaal "gelijke termen" naar hun variabelen en machten. Binnen de algebra beschikken "gelijke termen" over dezelfde variabelen, tot dezelfde macht. Met andere woorden, twee termen zijn "gelijksoortig", wanneer zij dezelfde variabele(n) hebben, of helemaal geen, en wanneer elke variabele dezelfde macht heeft, of geen. De volgorde van variabelen binnen een term doet er niet toe.
- Bijvoorbeeld, 3x² en 4x² zijn gelijke termen omdat elke term over een variabele x beschikt tot de tweede macht. De variabele x en x² zijn geen gelijke termen, omdat x in elke term een andere macht heeft. Evenzo zijn -3yx en 5xz geen gelijke termen, omdat elke term bestaat uit verschillende variabelen.
2
Ontbinden in factoren is een manier om een bepaald getal te schrijven als het product van twee factoren. Getallen kunnen uit meerdere factoren bestaan – bijvoorbeeld het getal 12, dat gevormd kan worden door 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4, zodat we kunnen stellen dat 1, 2, 3, 4, 6 en 12 allemaal factoren van 12 zijn. Een andere manier van beschouwen is dat de factoren van een getal de getallen zijn waardoor het deelbaar is.
- Bijvoorbeeld: wil je 20 opdelen in factoren dan kan je dat schrijven als 4 × 5.
- Merk op dat variabele termen ook als als factoren geschreven kunnen worden. - 20x kan bijvoorbeeld geschreven worden als 4(5x).
- Priemgetallen kunnen niet als factoren worden geschreven, omdat die alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1.
3
Gebruik het ezelsbruggetje 'Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen' (of als acroniem HMWVDOA) om de volgorde van de bewerkingen te onthouden. Soms houdt het vereenvoudigen van een uitdrukking niet meer in dan het uitvoeren van de bewerkingen in de uitdrukking tot er niet meer gedaan kunnen worden. In dat geval is het belangrijk om te weten wat de volgorde van de bewerkingen is, om rekenfouten te voorkomen. Dit ezelsbruggetje kan helpen bij het onthouden van de bewerkingsvolgorde – de letters corresponderen met het soort bewerkingen dat je moet uitvoeren en in welke volgorde. Als er vermenigvuldigingen en delingen in dezelfde opgave voorkomen, dan zal je die bewerkingen van links naar rechts moeten uitvoeren, wanneer je op dat punt bent aangekomen. Hetzelfde geldt voor optellen en aftrekken. De bovenstaande afbeelding geeft een antwoord dat niet klopt. De laatste stap werkte de optelling en aftrekking niet van links naar rechts uit. Eerst werd er opgeteld. Er hoort 25 - 20 = 5 en daarna 5 + 6 = 11 te staan.
- Haakjes
- Machtsverheffen
- Worteltrekken
- Vermenigvuldigen
- Delen
- Optellen
- Aftrekken
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 4:

Gelijke termen combineren

Pdf downloaden

1
Schrijf je vergelijkingen op. De eenvoudigste wiskundige vergelijkingen (die met slechts een paar variabelen en coëfficiënten als gehele getallen, zonder breuken, wortels, etc.) kunnen vaak in een paar stappen worden opgelost. Evenals bij de meeste wiskunde-opgaven is de eerste stap naar het vereenvoudigen van een vergelijking het opschrijven van de vergelijking!
- Voor de volgende stappen nemen we de uitdrukking 1 + 2x - 3 + 4x als voorbeeld.
2
Bepaal wat de gelijke termen zijn. Zoek nu in je vergelijking naar de gelijke termen. Vergeet niet dat gelijke termen beide dezelfde variabele(n) en exponent(en) hebben.
- Bijvoorbeeld, laten we de gelijke termen bepalen in onze vergelijking 1 + 2x - 3 + 4x. 2x en 4x hebben beide dezelfde variabele die tot dezelfde macht is verheven (in dit geval hebben de x-variabelen helemaal geen exponent). Verder zijn 1 en -3 gelijke termen, omdat geen van beide een variabele heeft. Dus in deze vergelijking zijn 2x en 4x en 1 en -3 gelijke termen.
3
Combineer gelijke termen. Nu je de gelijke termen hebt bepaald, kun je ze gaan combineren om je vergelijking te vereenvoudigen. Tel termen bij elkaar op (of trek ze van elkaar af in het geval van negatieve termen) om elke reeks termen (met dezelfde variabelen en exponenten) te vereenvoudigen tot één term.
- We tellen de gelijke termen in ons voorbeeld bij elkaar op.
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 + -3 = -2
4
Maak een vereenvoudigde uitdrukking van je vereenvoudigde termen. Na het combineren van je gelijke termen, construeer je een uitdrukking uit je nieuwe, kleinere reeks termen. Als het goed is krijg je nu een eenvoudiger uitdrukking met één term voor elke reeks variabelen en exponenten in de oorspronkelijke uitdrukking. Deze nieuwe uitdrukking is gelijk aan de eerste.
- In ons voorbeeld waren de vereenvoudigde termen 6x en -2, en dus wordt de nieuwe uitdrukking 6x - 2. Deze vereenvoudigde uitdrukking is gelijk aan de oorspronkelijke (1 + 2x - 3 + 4x), maar is korter en eenvoudiger om mee te rekenen. Het is makkelijker om te ontbinden in factoren, wat, zoals we hieronder zullen zien, een belangrijke vaardigheid is om te kunnen vereenvoudigen.
5
Houd je aan de volgorde van de bewerkingen bij het combineren van gelijke termen. In hele eenvoudige uitdrukkingen zoals die waar we in de bovenstaande opgaven mee te maken hebben gehad, is het herkennen van de gelijke termen eenvoudig. In de complexere uitdrukkingen, zoals die met termen tussen haakjes, breuken en wortels, zal het combineren van gelijke termen niet direct voor de hand liggen. In die gevallen volg je de bewerkingsvolgorde en voer je de bewerkingen op de termen in je uitdrukking uit, tot er alleen maar optel- en aftreksommen overblijven.
- Bijvoorbeeld, stel we hebben de vergelijking 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Dan zou het onjuist zijn om 3x en 2x meteen als gelijke termen te beschouwen en ze te combineren, omdat de haakjes in de uitdrukking dicteren dat we eerst andere bewerkingen uit moeten voeren. Laten we eerst de rekenkundige bewerkingen in de uitdrukking uitvoeren in overeenstemming met de volgorde van de bewerkingen, om termen te krijgen die we wel kunnen gebruiken. Zie hieronder:
  - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  - 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Pas nu kunnen we, omdat de enige overgebleven bewerkingen de optelling en aftrekking zijn, de gelijke termen combineren.
  - x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  - x² + 12x + 3
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 4:

Ontbinden in factoren

Pdf downloaden

1
Bepaal de grootste gemene deler in de uitdrukking. Ontbinden in factoren is een manier om uitdrukkingen te vereenvoudigen door factoren weg te halen die in alle termen van de uitdrukking voorkomen. Om te beginnen ga je op zoek naar de grootste gemene deler van alle termen in de uitdrukking – met andere woorden, het grootste getal waardoor alle termen in de uitdrukking deelbaar door zijn.
- Stel we nemen de vergelijking 9x² + 27x - 3. Merk op dat elke term in deze vergelijking deelbaar is door 3. Omdat geen van de termen volledig deelbaar is door een ander, groter getal, kunnen we stellen dat 3 de grootste gemene deler is van onzer uitdrukking.
2
Deel de termen in de uitdrukking door de grootste gemene deler. Deel vervolgens elke term in je vergelijking door de grootste gemene deler die je net hebt gevonden. De resulterende termen zullen allemaal kleinere coëfficiënten hebben dan die in de oorspronkelijke uitdrukking.
- Laten we onze vergelijking factoriseren middels de grootste gemene deler, 3. Dit doen we door elke term door 3 te delen.
  - 9x²/3 = 3x²
  - 27x/3 = 9x
  - -3/3 = -1
  - De nieuwe uitdrukking is dus 3x² + 9x - 1.
3
Noteer je uitdrukking als het product van de grootste gemene deler en de resterende termen. Je nieuwe uitdrukking is niet gelijk aan de oude, dus is het niet juist om te zeggen dat het de vereenvoudigde versie is. Om de nieuwe uitdrukking gelijk te maken aan de oude, zullen we rekening moeten houden met het feit dat het gedeeld is door de grootste gemene deler. Zet je nieuwe uitdrukking tussen haakjes en noteer de grootste gemene deler van de oorspronkelijke vergelijking als coëfficiënt van de uitdrukking ook tussen haakjes.
- Voor onze voorbeelduitdrukking, 3x² + 9x - 1, zetten we de uitdrukking tussen haakjes en vermenigvuldigen we deze term met de grootste gemene deler van de oorspronkelijke vergelijking om 3(3x² + 9x - 1) te krijgen. Deze vergelijking is gelijk aan de oorspronkelijke, 9x² + 27x - 3.
4
Ontbind in factoren om de breuken te vereenvoudigen. Misschien vraag je je nu af waarom factorisatie nuttig is als de nieuwe uitdrukking, na het weghalen van de grootste gemene deler, er nogmaals mee moet worden vermenigvuldigd. Factoriseren stelt een wiskundige in staat om een aantal trucs toe te passen waarmee een uitdrukking vereenvoudigd kan worden. Een van de gemakkelijkste van deze trucs maakt gebruik van het feit dat het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde getal, een breuk oplevert in dezelfde verhoudingen. Zie hieronder:
- Stel dat onze oorspronkelijke voorbeelduitdrukking, 9x² + 27x - 3, gelijk is aan de teller van een grotere breuk met 3 als noemer. Deze breuk ziet er als volgt uit: (9x² + 27x - 3)/3. We kunnen ontbinden in factoren gebruiken om deze breuk te vereenvoudigen.
  - Verwerk de ontbonden vorm van onze oorspronkelijke uitdrukking in de teller: (3(3x² + 9x - 1))/3
  - Merk op dat zowel de teller als de noemer, 3 als coëfficiënt hebben. Deel je de teller en noemer door 3, dan krijg je: (3x² + 9x - 1)/1.
  - Omdat een breuk met "1" in de noemer gelijk is aan de termen in de teller, kunnen we stellen dat onze oorspronkelijke breuk vereenvoudigd kan worden naar 3x² + 9x - 1.
Advertentie

Methode 4

Methode 4 van 4:

Vereenvoudigen toepassen

Pdf downloaden

1
Vereenvoudig breuken door te delen door gelijke factoren. Zoals hierboven al aangegeven geldt dat als de teller en noemer van een uitdrukking dezelfde factoren hebben, deze factoren verwijderd kunnen worden uit de breuk. Soms vereist dit dat de teller, noemer, of beide, in factoren ontbonden moeten worden (zoals het geval was in het bovenstaande voorbeeld), terwijl in andere gevallen de gedeelde factoren meteen duidelijk zijn. Merk op dat het ook mogelijk is om de afzonderlijke termen in de teller te delen door de uitdrukking in de noemer, om een vereenvoudigde uitdrukking over te houden.
- Laten we een voorbeeld gaan aanpakken dat niet per se vereist dat je ze moet uitschrijven om het te kunnen vereenvoudigen. Stel je hebt de breuk (5x² + 10x + 20)/10, dan kun je elke term in de teller delen door de 10 in de noemer, om het geheel te vereenvoudigen, ook al is de "5" in 5x² niet groter dan 10 en is het niet mogelijk om 10 als factor te kiezen.
  - Door dit te doen krijgen we ((5x²)/10) + x + 2. Als we willen, kunnen we de eerste term herschrijven als (1/2)x² om (1/2)x² + x + 2 te krijgen.
2
Gebruik vierkantswortels om wortels te vereenvoudigen. Uitdrukkingen onder het teken van een vierkantswortel heten wortelvergelijkingen. Deze kun je vereenvoudigen door de vierkantswortels te bepalen (factoren die zelf een tweede macht vormen van een geheel getal), waarna je de tweedemachtswortel trekt van deze factoren om ze onder het wortelteken weg te halen.
- Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen - √(90). Als we het getal 90 nemen als product van de twee factoren, 9 en 10, dan kunnen we de wortel van 9 berekenen om 3 te krijgen, en plaatsen we dit voor het wortelteken. Met andere woorden:
  - √(90)
  - √(9 × 10)
  - (√(9) × √(10))
  - 3 × √(10)
  - 3√(10)
3
Tel de exponenten bij elkaar wanneer je twee exponentiële termen met elkaar vermenigvuldigt, en trek ze af wanneer je deelt. Sommige algebraïsche vergelijkingen vereisen het vermenigvuldigen of delen van exponentiële termen. Hierbij werk je niet elke exponentiële term uit en ga je niet handmatig vermenigvuldigen of delen, maar tel je de exponenten van elke term bij elkaar op, wanneer je ze met elkaar vermenigvuldigt en trek je ze wanneer je ze deelt, waardoor je veel tijd bespaart. Dit concept kun je ook toepassen om vergelijkingen met meerdere variabelen te vereenvoudigen.
- Bijvoorbeeld: stel we hebben de uitdrukking 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Bij elk geval waarbij het noodzakelijk is om exponenten te vermenigvuldigen of delen, trekken we de exponenten respectievelijk af of tellen ze bij elkaar op, om een vereenvoudigde term snel op te lossen. Zie hieronder:
  - 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  - (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  - 48x⁷ + x²
- Voor een uitleg, zie hieronder:
  - Het vermenigvuldigen van exponentiële termen is in wezen hetzelfde als het vermenigvuldigen van lange reeksen termen zonder exponenten. Bijvoorbeeld, omdat x³ = x × x × x en x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), of x⁸.
  - Evenzo is het delen van exponentiële termen hetzelfde als het delen van lange reeksen termen zonder exponenten. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Omdat elke term in de teller kan worden weggestreept tegen dezelfde term in de noemer, houden we tweemaal een x over in de teller en geen enkele in de noemer, waardoor we x² als antwoord overhouden.
Advertentie

Tips

Vergeet niet dat je deze getallen moet beschouwen als positief of negatief. Veel mensen lopen hierbij vast en denken, "Wat voor teken moet ik hier plaatsen?"
Vraag om hulp als je dat nodig hebt!
Het vereenvoudigen van wiskundige vergelijkingen is niet eenvoudig, maar krijg je de slag te pakken, dan kun je het de rest van je leven gebruiken.

Advertentie

Waarschuwingen

Let goed op dat je niet per ongeluk ergens wat extra getallen, exponenten, of bewerkingen hebt toegevoegd die er niet thuishoren.
Let altijd op gelijke termen en laat je door de exponenten niet van de wijs brengen.

Advertentie