Come Semplificare le Espressioni Algebriche

Imparare a semplificare le espressioni algebriche è un aspetto chiave per padroneggiare l'algebra di base e rappresenta un valido strumento per tutti i matematici. La semplificazione permette di trasformare un'espressione lunga, complessa o astrusa in un'altra espressione equivalente più comprensibile. È abbastanza facile acquisire le abilità elementari di questo procedimento, perfino per quelle persone poco inclini alla matematica. Seguendo pochi e semplici passaggi è possibile riformulare in maniera più chiara parecchi dei tipi più comuni di espressioni algebriche, senza la necessità di conoscenze matematiche speciali. Continua a leggere per saperne di più!

Passaggi

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Comprendere i Concetti Fondamentali

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Riconosci i "termini simili" grazie alla variabile e all'esponente. In algebra, i "termini simili" sono quelli che possiedono la medesima configurazione per quanto riguarda l'elemento variabile elevata alla stessa potenza. In altre parole, affinché due termini siano "simili", devono possedere la stessa o le stesse variabili oppure nessuna; inoltre, la variabile (se presente) deve possedere il medesimo esponente. L'ordine in cui sono scritti i vari elementi del termine non è importante.
- Per esempio, 3x² e 4x² sono termini simili perché entrambi contengono l'incognita x elevata alla seconda potenza. Tuttavia, x e x² non possono essere definiti simili, perché ciascun termine possiede un esponente diverso. Allo stesso modo, -3yx e 5xz non sono simili, perché possiedono parti incognite differenti.
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Scomponi i numeri scrivendoli come prodotti di due fattori. La scomposizione prevede di rappresentare un dato numero come il prodotto di due fattori moltiplicati fra loro. I numeri possono possedere più di una coppia di fattori; ad esempio, 12 può essere rappresentato come 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4; puoi quindi affermare che 1; 2; 3; 4; 6 e 12 sono tutti fattori di 12. Un altro modo per considerare questo concetto è quello di ricordare che i fattori di un numero sono quelli per cui il numero stesso è divisibile.
- Ad esempio, se vuoi scomporre il numero 20, puoi riscriverlo come 4 × 5.
- Osserva che anche i termini con variabili possono essere scomposti – ad esempio 20x può essere rappresentato come 4(5x).
- I numeri primi non possono essere scomposti, perché sono divisibili solo per uno e per se stessi.
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Sfrutta l'acronimo PEMDAS per ricordare l'ordine delle operazioni. A volte, semplificare un'espressione non significa altro che svolgere le operazioni presenti finché non è possibile continuare. In questi casi, è importante conoscere l'ordine delle operazioni, per non commettere errori d'aritmetica. L'acronimo PEMDAS ti aiuta a ricordarlo, perché ciascuna lettera corrisponde al tipo di operazioni che dovresti eseguire secondo l'ordine corretto. Se in un problema sono presenti sia una moltiplicazione sia una divisione, devi svolgerle semplicemente in ordine da sinistra verso destra non appena raggiungi quel punto. Lo stesso vale per l'addizione e la sottrazione. L'immagine correlata a questo passaggio ti mostra una risposta sbagliata. Infatti, nell'ultimo passaggio non si somma e sottrae da sinistra verso destra, ma viene svolta prima l'addizione. In realtà, l'ordine corretto è 25-20 = 5, poi 5 + 6 = 11.
- P: parentesi;
- E: esponente;
- M: moltiplicazione;
- D: divisione;
- A: addizione;
- S: sottrazione.
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Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Combinare i Termini Simili

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1
Scrivi l'equazione. Quelle algebriche più semplici (che prevedono solo pochi termini variabili con coefficienti numerici interi e senza frazioni, radicali e via dicendo) possono essere risolte in pochi passaggi. Come per la maggior parte dei problemi matematici, la prima fase della semplificazione consiste nello scrivere l'equazione stessa!
- Come problema d'esempio per i prossimi passaggi considera l'espressione: 1 + 2x - 3 + 4x.
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Riconosci i termini simili. Il passaggio successivo è quello di osservare l'espressione per individuare questi termini; ricorda che devono avere la stessa variabile (o variabili) ed esponente.
- Ad esempio, individua i termini simili nell'espressione 1 + 2x - 3 + 4x. 2x e 4x hanno entrambi la medesima incognita con esponente identico (che in questo caso è 1). Inoltre, 1 e -3 sono termini simili, dato che non hanno variabili; di conseguenza, puoi affermare che nell'espressione 2x e 4x e 1 e -3 sono termini simili.
3
Unisci i termini simili. Ora che li hai identificati, puoi combinarli fra loro per semplificare l'espressione. Sommali (o sottraili nel caso di quelli negativi) per ridurre a un solo elemento una serie di termini con incognite ed esponenti identici.
- Somma i termini simili dell'espressione di esempio.
  - 2x + 4x = 6x.
  - 1 + -3 = -2.
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Crea un'espressione semplificata grazie ai termini che hai ridotto. Dopo aver combinato quelli simili, costruisci l'espressione utilizzando la nuova serie di elementi più piccola. Dovresti ottenere un problema più lineare che ha un solo termine per ogni tipo di variabile e potenza presente in quello originale. Questa nuova espressione è equivalente alla prima.
- Nell'esempio preso in considerazione, i termini semplificati sono 6x e -2; la nuova espressione può quindi essere riscritta come 6x – 2. Questa versione più elementare è equivalente all'originale (1 + 2x - 3 + 4x), ma è più corta e facile da gestire. Inoltre, implica minori difficoltà qualora volessi scomporla in fattori, un'altra abilità importante per semplificare i problemi matematici.
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Rispetta l'ordine delle operazioni quando combini i termini simili. Nel caso delle espressioni molto semplici, come quella considerata nell'esempio precedente, non è difficile riconoscere i termini simili. Tuttavia, quando il problema è più complesso, come quelli che coinvolgono le parentesi, le frazioni e i radicali, i termini possono essere rappresentati in maniera tale che la loro similitudine non appare ovvia. In questi casi, segui l'ordine delle operazioni eseguendole sui termini dell'espressione in base alla necessità, finché restano solo somme e sottrazioni.
- Per esempio, considera l'espressione 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Sarebbe sbagliato identificare immediatamente i termini 3x e 2x come simili e combinarli fra loro, perché sono presenti delle parentesi che impongono un determinato ordine delle operazioni. Per prima cosa, svolgi le operazioni aritmetiche dell'espressione rispettando l'ordine giusto, in modo da ottenere dei termini che puoi usare. Ecco come procedere:
  - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 – 3x.
  - 15x - 5 + x(x) + 8 – 3x.
  - 15x - 5 + x² + 8 – 3x. A questo punto, poiché le uniche operazioni rimaste sono solo somme e sottrazioni, puoi combinare i termini simili.
  - x² + (15x - 3x) + (8 – 5).
  - x² + 12x + 3.
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Scomporre in Fattori

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Individua il massimo comune divisore all'interno dell'espressione. La scomposizione è un metodo che permette di semplificare le espressioni eliminando i fattori comuni presenti in tutti i termini. Per iniziare, trova il massimo comune divisore di tutti gli elementi del problema – in altre parole, il numero maggiore in grado di dividere tutti i termini dell'espressione.
- Considera l'espressione 9x² + 27x - 3. Osserva come ogni termine presente sia divisibile per 3. Dato che nessuno di essi è divisibile per un numero maggiore, puoi affermare che 3 è il massimo comune divisore dell'espressione.
2
Dividi i termini dell'espressione per il massimo comune divisore. Il passo successivo è quello di dividere per il fattore comune tutta l'espressione, riscrivendola quindi con coefficienti più piccoli.
- Scomponi l'espressione d'esempio dividendola per il massimo comune divisore, cioè il numero 3. Per farlo, dividi tutti i termini per 3.
  - 9x²/3 = 3x².
  - 27x/3 = 9x.
  - -3/3 = -1.
  - A questo punto, puoi riformulare l'espressione come: 3x² + 9x - 1.
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Rappresenta l'espressione come il prodotto fra il massimo comune divisore e i termini rimasti. Il nuovo problema non è equivalente a quello originale, sarebbe quindi impreciso affermare che è stato semplificato. Per rendere la nuova espressione equivalente a quella precedente, devi tenere in considerazione il fatto che i termini sono stati divisi per il massimo comune divisore. Racchiudi l'espressione fra parentesi e poni il massimo comune divisore come coefficiente esterno.
- Considerando l'espressione d'esempio, 3x² + 9x - 1, dovresti racchiuderla fra parentesi, moltiplicare il tutto per il massimo comune divisore e riscrivere: 3(3x² + 9x - 1). In questo modo, l'espressione che ottieni è equivalente a quella originale: 9x² + 27x - 3.
4
Usa la scomposizione per semplificare le frazioni. A questo punto, potresti chiederti quale sia l'utilità della scomposizione, se dopo averla divisa devi moltiplicare nuovamente l'espressione. Questa tecnica permette in realtà al matematico di eseguire una serie di "trucchi" per semplificare un'espressione. Uno dei più semplici consiste nello sfruttare il fatto che moltiplicando il numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente. Ecco come procedere:
- Supponi che l'espressione d'esempio: 9x² + 27x - 3 rappresenti il numeratore di una grande frazione con denominatore pari a 3. La frazione avrebbe questo aspetto: (9x² + 27x - 3)/3. Puoi sfruttare la scomposizione per semplificare la frazione.
  - Sostituisci l'espressione originale, che si trova al numeratore, con quella scomposta ed equivalente: (3(3x² + 9x – 1))/3.
  - Osserva come, a questo punto, sia il numeratore sia il denominatore condividano lo stesso coefficiente 3. Dividendo entrambi per 3 ottieni: (3x² + 9x - 1)/1.
  - Poiché qualunque frazione con denominatore pari a "1" è uguale ai termini presenti al numeratore, puoi affermare che la frazione originale è semplificabile in: 3x² + 9x - 1.
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Utilizzare Ulteriori Abilità di Semplificazione

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Semplifica le frazioni dividendole per i fattori comuni. Come descritto in precedenza, se il numeratore e il denominatore di un'espressione condividono alcuni fattori identici, questi ultimi possono essere elisi. A volte, è necessario scomporre il numeratore, il denominatore oppure entrambi (come nel caso dell'esempio descritto prima), mentre in altre circostanze i fattori comuni sono lampanti. Nota che è anche possibile dividere singolarmente i termini del numeratore per l'espressione presente nel denominatore, per ottenerne una semplificata.
- Affronta un esempio che non richieda necessariamente una lunga scomposizione. Per la frazione (5x² + 10x + 20)/10, puoi dividere ogni termine del numeratore per il numero 10 presente nel denominatore, anche se il coefficiente "5" di 5x² è minore di 10 e quindi non lo annovera fra i suoi fattori.
  - Procedendo in questo modo ottieni: ((5x²)/10) + x + 2. Se lo desideri, puoi riscrivere il primo termine come (1/2)x² per ottenere l'espressione (1/2)x² + x + 2.
2
Usa i fattori quadrati per semplificare i radicali. Le espressioni che si trovano sotto il segno di radice quadrata sono chiamate espressioni radicali. Puoi semplificarle rilevando i fattori quadrati (quelli che sono il quadrato di un numero intero), svolgendo separatamente l'operazione di radice quadrata su di essi e rimuovendoli dal segno di radice.
- Risolvi questo semplice esempio: √(90). Se pensi al numero 90 come al prodotto di due dei suoi fattori, 9 e 10, puoi calcolare la radice quadrata di 9 per ottenere 3 ed estrarlo dal radicale. In altre parole:
  - √(90).
  - √(9 × 10).
  - (√(9) × √(10)).
  - 3 × √(10).
  - 3√(10).
3
Somma gli esponenti quando devi moltiplicare due potenze e sottraili quando le devi dividere. Alcune espressioni algebriche richiedono di moltiplicare o dividere dei termini esponenziali. Anziché calcolare singolarmente il valore di ciascuna potenza per poi moltiplicarla o dividerla, puoi semplicemente sommare gli esponenti quando ti trovi di fronte a una moltiplicazione di potenze e sottrarli quando devi eseguire una divisione; in questa maniera risparmi del tempo. Lo stesso concetto può essere applicato per semplificare le espressioni con variabili.
- Considera, ad esempio, l'espressione 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). In ogni occasione in cui è necessario moltiplicare o dividere delle potenze, puoi rispettivamente sommare o sottrarre gli esponenti per trovare rapidamente un termine semplificato. Ecco come fare:
  - 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵).
  - (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 – 15}).
  - 48x⁷ + x².
- Per capire come funziona questo "trucco" considera che:
  - La moltiplicazione di termini esponenziali è essenzialmente equivalente alla moltiplicazione di una lunga serie di termini non esponenziali. Ad esempio, dato che x³ = x × x × x e x ⁵ = x × x × x × x × x, ne consegue che x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), cioè x⁸.
  - Allo stesso modo, la divisione di termini esponenziali è equivalente alla divisione di una lunga serie di termini non esponenziali. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Dato che ogni termine al numeratore può essere eliso con quello corrispondente che si trova al numeratore, la soluzione è x².
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Consigli

Ricorda sempre che devi considerare i numeri completi di segno positivo e negativo. Molte persone restano bloccate pensando a quale segno debbano abbinare a un valore.
Chiedi aiuto, se ne hai bisogno!
Non è facile semplificare le espressioni algebriche; tuttavia, una volta padroneggiato il metodo, sei in grado di usarlo per sempre.

Avvertenze

Verifica di non avere sommato per errore qualche numero, potenza o operazione in più che non appartiene all'espressione.
Cerca sempre i termini simili e non farti trarre in inganno dalle potenze.