วิธีการ ทอนนิพจน์ทางพีชคณิต

ดาวน์โหลดบทความ

ดาวน์โหลดบทความ

ภายในบทความนี้:

รวมพจน์ที่เหมือนกัน

แยกตัวประกอบ

ประยุกต์ใช้ทักษะการทอนเพิ่มเติม

บทความที่เกี่ยวข้อง

การเรียนรู้วิธีทอนนิพจน์พีชคณิตให้อยู่ในรูปที่ง่ายนั้นเป็นส่วนสำคัญของการที่จะเก่งในวิชาพีชคณิตและเป็นสิ่งที่มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์ทุกคนที่จะต้องมีติดตัว การทอนให้อยู่ในรูปแบบอย่างง่ายจะช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถเปลี่ยนโจทย์นิพจน์ที่ยาวเฟื้อย ซับซ้อน และ/หรือรกรุงรังให้ดูเรียบง่ายขึ้นหรือสะดวกต่อการทำมากขึ้น หลักการทอนพื้นฐานนั้นเรียนรู้ได้ง่ายแม้กระทั่งกับคนที่เกลียดคณิตศาสตร์ก็ตาม โดยการทำตามขั้นตอนง่ายๆ ไม่กี่ขั้นก็สามารถทอนนิพจน์พีชคณิตรูปแบบปกติส่วนใหญ่ได้โดยไม่ต้องพึ่งพาความรู้ด้านคณิตศาสตร์ชั้นสูงเลยแม้แต่นิดเดียว ดูขั้นตอนที่ 1 ด้านล่างนี้เพื่อเริ่มกันเลย!

ขั้นตอน

ดาวน์โหลดบทความ

เข้าใจแนวคิดสำคัญ

1. 
   1
   นิยามพจน์ที่เหมือนกันโดยดูตัวแปรและเลขยกกำลัง. ในวิชาพีชคณิตนั้น "พจน์ที่เหมือนกัน" จะมีองค์ประกอบของตัวแปรเดียวกันและยกกำลังตัวเดียวกัน หรือถ้าจะพูดก็คือ สำหรับพจน์สองพจน์ที่จะ "เหมือนกัน" นั้น พวกมันจะต้องมีตัวแปรที่เหมือนกันจะกี่ตัวหรือไม่มีเลยก็ได้ และตัวแปรแต่ละตัวจะต้องยกกำลังด้วยเลขยกกำลังตัวเดียวกันหรือไม่มีเลขยกกำลังเลยเหมือนกัน ส่วนลำดับของตัวแปรภายในพจน์นั้นไม่ใช่เรื่องสำคัญ

   • ตัวอย่าง 3x² กับ 4x² เป็นพจน์ที่เหมือนกัน เพราะแต่ละพจน์ต่างประกอบด้วยตัวแปร x ยกกำลังสองเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม x กับ x² ไม่ได้เป็นพจน์ที่เหมือนกัน เพราะแต่ละพจน์มี x ที่ยกกำลังต่างกัน เช่นเดียวกับ -3yx กับ 5xz ก็ไม่ได้เป็นพจน์ที่เหมือนกัน เพราะแต่ละพจน์มีตัวแปรต่างกัน
2. 
   2
   แยกตัวประกอบ โดยการเขียนจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ของตัวประกอบสองตัว. การแยกตัวประกอบเป็นแนวคิดที่ใช้แสดงว่าจำนวนที่ให้มาเป็นผลลัพธ์ของตัวประกอบสองตัวคูณกัน จำนวนตัวเลขสามารถมีตัวประกอบมากกว่าหนึ่งชุด เช่น จำนวน 12 สามารถเกิดจาก 1 × 12, 2 × 6, และ 3 × 4, ดังนั้น เราจึงกล่าวได้ว่า 1, 2, 3, 4, 6, และ 12 ล้วนเป็นตัวประกอบของ 12 อีกวิธีการคิดเรื่องนี้ก็คือตัวประกอบของจำนวนใดๆ คือตัวเลขที่หารมัลงตัวนั่นเอง

   • ตัวอย่าง หากเราต้องการแยกตัวประกอบของ 20, เราอาจเขียนมันเป็น 4 × 5
   • โปรดสังเกตว่าพจน์ที่ติดตัวแปรก็สามารถแยกตัวประกอบได้ เช่น - 20x สามารถเขียนเป็น 4(5x)
   • จำนวนเฉพาะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เพราะสามารถหารลงตัวแค่ตัวมันเองกับ 1
3. 
   3
   ใช้ตัวย่อ PEMDAS ในการจำลำดับของการทำงานทางคณิตศาสตร์. บางทีการทอนนิพจน์ไม่ได้มีอะไรเลยนอกจากการคำนวณในนิพจน์นั้นจนไม่สามารถทำต่อได้ ในกรณีเหล่านี้ จำเป็นที่จะต้องจำลำดับของการคำนวณเพื่อที่จะได้ไม่เกิดข้อผิดพลาด ตัวย่อ PEMDAS จะช่วยคุณจำลำดับการคำนวณ ถ้าหากมีการคูณและการหารในโจทย์เดียวกัน คุณจะต้องทำการคำนวณให้เสร็จจากซ้ายไปขวาเมื่อมาถึงจุดนั้น เช่นเดียวกับการบวกและลบ ภาพด้านบนให้คำตอบที่ผิด ขั้นตอนสุดท้ายไม่ได้ทำการบวกและลบจากซ้ายไปขวา มันทำการบวกก่อน มันควรจะแสดงว่า 25-20 = 5 แล้วค่อย 5 + 6 = 11

   • Parentheses (วงเล็บ)
   • Exponents (เลขยกกำลัง)
   • Multiplication (การคูณ)
   • Division (การหาร)
   • Addition (การบวก)
   • Subtraction (การลบ)
   โฆษณา

วิธีการ 1

วิธีการ 1 ของ 3:

รวมพจน์ที่เหมือนกัน

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   เขียนสมการ. สมการทางพีชคณิตที่เรียบง่ายที่สุดคือมีตัวแปรสองสามตัวและมีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มโดยไม่มีเศษส่วน ไม่ติดราก เป็นอาทิ จะสามารถแก้ได้ในไม่กี่ขั้นตอน และก็เหมือนโจทย์คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ขั้นตอนแรกของการทอนสมการก็คือเขียนมันลงไป!

   • ในฐานะโจทย์ตัวอย่างสำหรับไม่กี่ขั้นตอนถัดไป สมมติว่ามีนิพจน์ 1 + 2x - 3 + 4x
2. 
   2
   มองหาพจน์ที่เหมือนกัน. ขั้นต่อไปให้หาพจน์ที่เหมือนกันในสมการ จำไว้ว่าพจน์ที่เหมือนกันจะมีทั้งตัวแปรกับเลขยกกำลังตัวเดียวกัน

   • ตัวอย่าง ลองหาพจน์ที่เหมือนกันในสมการของเรา 1 + 2x - 3 + 4x ซึ่ง 2x กับ 4x ล้วนมีตัวแปรเดียวกันและยกกำลังเดียวกัน (ในกรณีนี้ ตัวแปร x ไม่ได้มีเลขยกกำลังใดๆ) นอกจากนั้น 1 กับ -3 ก็เป็นพจน์ที่เหมือนกัน เพราะต่างไม่ติดตัวแปรทั้งคู่ ดังนั้น ในสมการของเรา 2x และ 4x กับ 1 และ -3 เป็นพจน์ที่เหมือนกัน
3. 
   3
   รวมพจน์ที่เหมือนกัน. ตอนนี้พอคุณหาพจน์ที่เหมือนกันได้แล้ว ก็สามารถรวมมันเพื่อทอนสมการให้ง่ายขึ้นได้ บวกพจน์นั้นด้วยกัน (หรือลบถ้ามันอยู่ในรูปติดลบ) เพื่อลดจำนวนพจน์ที่มีตัวแปรเดียวกันกับเลขยกกำลังเดียวกันให้เหลือเพียงพจน์เดียว

   • มาบวกพจน์ที่เหมือนกันในตัวอย่าง
     • 2x + 4x = 6x
     • 1 + -3 = -2
4. 
   4
   สร้างนิพจน์ที่ถูกทอนลงแล้วจากพจน์ที่คุณทอนให้ง่ายขึ้น. หลังจากรวมพจน์ที่เหมือนกันเข้าด้วยกัน ให้สร้างนิพจน์จากพจน์ใหม่ที่เล็กลงนี้ คุณควรได้นิพจน์ที่ดูง่ายขึ้นที่มีพจน์เดียวสำหรับตัวแปรกับเลขยกกำลังแต่ละตัว นิพจน์ใหม่นี้จะมีค่าเท่ากันกับนิพจน์เดิม

   • ในตัวอย่างของเรา พจน์ที่ถูกทอนค่าแล้วคือ 6x กับ -2, ดังนั้นนิพจน์ใหม่จะเป็น 6x - 2 นิพจน์ที่อยู่ในรูปง่ายขึ้นนี้มีค่าเท่ากับนิพจน์เดิม (1 + 2x - 3 + 4x), แต่สั้นลงและคำนวณได้ง่ายขึ้น ซึ่งจะง่ายต่อการแยกตัวประกอบด้วย ซึ่งเราจะได้เห็นต่อไปว่ามันเป็นทักษะการทอนที่สำคัญอีกอย่างเช่นกัน
5. 
   5
   ทำตามลำดับการปฏิบัติเวลารวมพจน์ที่เหมือนกัน. ในนิพจน์ที่เรียบง่ายอย่างมากเช่นในตัวอย่างข้างต้น การหาพจน์ที่เหมือนกันนั้นง่ายมาก กระนั้น ในนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่านี้ อย่างในแบบที่มีทั้งวงเล็บ เศษส่วน และติดเครื่องหมายกรณฑ์นั้น พจน์เหมือนกันที่สามารถจับมารวมกันได้อาจมองไม่ออกในทันที ในกรณีเหล่านี้ให้ทำตามลำดับของการปฏิบัติการ ทำการคำนวณในพจน์ภายในนิพจน์ตามความจำเป็น จนกระทั่งเหลือแค่ลำดับการบวกและลบ

   • ตัวอย่าง สมมติว่ามีสมการ 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x จะทำผิดทันทีถ้ามองว่า 3x กับ 2x เป็นพจน์ที่เหมือนกันและนำมารวมกันทันที เพราะวงเล็บในนิพจน์กำกับให้เราต้องทำการคำนวณอื่นก่อน ดังนั้นตอนแรกให้ทำการคำนวณในนิพจน์ตามลำดับการปฏิบัติการเพื่อให้ได้พจน์ที่เรา สามารถ ใช้ได้ ดังต่อไปนี้:
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x² + 8 - 3x ตอนนี้ เนื่องจากลำดับการปฏิบัติการเหลือเพียงการบวกและลบ เราสามารถรวมพจน์ที่เหมือนกันได้
     • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
     • x² + 12x + 3
   โฆษณา

วิธีการ 2

วิธีการ 2 ของ 3:

แยกตัวประกอบ

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   หาตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงที่สุดภายในนิพจน์นั้น. การแยกตัวประกอบเป็นวิธีการทอนนิพจน์โดยเอาตัวประกอบที่มีร่วมในพจน์ทุกพจน์ภายในนิพจน์นั้นออกไป เริ่มด้วยการหาตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงที่สุดที่พจน์ทุกพจน์ภายในนิพจน์นั้นต่างมีร่วมกัน พูดอีกอย่างคือ จำนวนสูงที่สุดที่ซึ่งหารพจน์ทุกพจน์ภายในนิพจน์ได้ลงตัว

   • มาใช้สมการ 9x² + 27x – 3 โปรดสังเกตว่าทุกพจน์ในสมการนี้สามารถหารลงตัวด้วย 3 เนื่องจากพจน์ทั้งหมด ไม่สามารถ หารลงตัวทั้งหมดด้วยจำนวนที่สูงกว่านี้ เราจึงบอกได้ว่า 3 เป็นตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงที่สุดในนิพจน์
2. 
   2
   หารพจน์ภายในนิพจน์ด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุด. ต่อไปให้หารทุกพจน์ในสมการด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดที่คุณเพิ่งหาพบ พจน์ที่ได้ทั้งหมดจะมีตัวสัมประสิทธิ์ต่ำลงกว่าในนิพจน์เดิม

   • มาแยกตัวประกอบสมการของเราด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดซึ่งก็คือ 3 โดยเราจะหารพจน์แต่ละพจน์ด้วย 3
     • 9x²/3 = 3x²
     • 27x/3 = 9x
     • -3/3 = -1
     • ดังนั้น นิพจน์ใหม่ของเราจึงเป็น 3x² + 9x - 1
3. 
   3
   แสดงนิพจน์ในฐานะผลลัพธ์ของตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดกับพจน์ที่เหลือ. นิพจน์ใหม่นี้ไม่เท่ากับนิพจน์เดิม ดังนั้นจึงไม่ถูกต้องถ้าจะบอกว่ามันถูกทอนลงให้อยู่ในรูปง่ายขึ้น ถ้าจะทำให้นิพจน์ใหม่มีค่าเท่ากับนิพจน์เดิม เราจำเป็นต้องคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่ามันถูกหารด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดไปแล้ว ให้ใส่วงเล็บนิพจน์ใหม่แล้วเติมตัวประกอบร่วมสูงสุดของสมการเดิมเป็นตัวสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ

   • สำหรับนิพจน์ตัวอย่างของเรา 3x² + 9x - 1, เราจะใส่นิพจน์ไว้ในวงเล็บและคูณด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดของสมการเดิมเพื่อจะได้ 3(3x² + 9x - 1) สมการนี้จะมีค่าเท่ากับสมการเดิม, 9x² + 27x - 3
4. 
   4
   ใช้การแยกตัวประกอบเพื่อทอนเศษส่วน. ตอนนี้คุณอาจนึกสงสัยว่าทำไมการแยกตัวประกอบถึงมีประโยชน์ถ้าเกิดว่าหลังจากแยกตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดออกมาแล้ว สุดท้ายก็ยังต้องเอามันไปคูณกับนิพจน์ใหม่อยู่ดี ซึ่งที่จริงแล้วการแยกตัวประกอบทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถใช้เคล็ดลับมากมายมาพลิกแพลงเพื่อทอนนิพจน์ หนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน ดูด้านล่างนี้:

   • สมมติว่า 9x² + 27x – 3 นิพจน์ตัวอย่างเดิมของเราเป็นตัวเศษของเศษส่วนที่มี 3 อยู่ในตัวส่วน เศษส่วนนี้จะมีหน้าตาเช่นนี้: (9x² + 27x - 3)/3 เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบมาทอนเศษส่วนนี้ได้
     • นำรูปแบบนิพจน์เดิมที่ทำการแยกตัวประกอบแล้วมาแทนนิพจน์ที่เป็นตัวเศษ: (3(3x² + 9x - 1))/3
     • โปรดสังเกตว่า ตอนนี้ทั้งเศษและส่วนต่างมีตัวสัมประสิทธิ์ 3 ร่วมกัน เมื่อหารเศษและส่วนด้วย 3, เราจะได้: (3x² + 9x - 1)/1
     • เนื่องจากเศษส่วนใดๆ ที่มี "1" ในตัวส่วนจะเท่ากับพจน์ที่เป็นตัวเศษ เราสามารถบอกได้ว่าเศษส่วนเดิมของเรานั้นสามารถทอนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้เป็น 3x² + 9x - 1
   โฆษณา

วิธีการ 3

วิธีการ 3 ของ 3:

ประยุกต์ใช้ทักษะการทอนเพิ่มเติม

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   ทอนเศษส่วนโดยการหารด้วยตัวประกอบร่วม. ดังที่ตั้งข้อสังเกตไว้ด้านบน ถ้าหากตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวประกอบเหล่านี้สามารถยกออกมาจากเศษส่วนได้ทั้งหมด บางครั้งอาจต้องทำการแยกตัวประกอบจำนวนเศษ, จำนวนส่วน หรือทั้งคู่ (ดังเช่นโจทย์ตัวอย่างด้านบน) ในขณะที่บางทีก็เห็นตัวประกอบร่วมได้ในทันที โปรดสังเกตว่ามีทางเป็นไปได้ที่จะหารพจน์ที่เป็นเศษด้วยนิพจน์ในตัวส่วนแบบแยกจากกันเพื่อให้ได้นิพจน์ในแบบทอนรูปลงมา

   • สมมติโจทย์ที่ไม่จำเป็นต้องใช้การแตกตัวประกอบออกมา สำหรับเศษส่วน (5x² + 10x + 20)/10, เราอาจต้องการหารทุกพจน์ในตัวเศษด้วย 10 ในตัวส่วนเพื่อทอนมันลง ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์ "5" ใน 5x² จะมีค่าน้อยกว่า 10 และจึงไม่สามารถมี 10 เป็นตัวประกอบได้
     • ทำเช่นนั้นเราจะได้ ((5x²)/10) + x + 2 ถ้าต้องการเรายังอาจเขียนพจน์แรกใหม่เป็น (1/2)x² เพื่อให้ได้ (1/2)x² + x + 2
2. 
   2
   ใช้ตัวประกอบยกกำลังสองในการทอนเครื่องหมายกรณฑ์. นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์หรือติดรากนั้นเรียกว่านิพจน์ติดกรณฑ์ พวกมันสามารถทอนลงได้โดยการหาตัวประกอบยกกำลังสอง (ตัวประกอบที่ตัวมันเองเป็นตัวยกกำลังสองของจำนวนเต็ม) และทำการยกกำลังสองมันแยกออกมาเพื่อจะกำจัดมันออกไปจากเครื่องหมายกรณฑ์

   • สมมติตัวอย่างง่ายๆ - √(90) หากเราคิดถึงเลข 90 ว่าเป็นผลลัพธ์ของตัวประกอบสองตัวคือ 9 กับ 10, เราสามารถถอดรากที่สองของ 9 เพื่อให้ได้จำนวนเต็ม 3 และเอามันออกมาจากเครื่องหมายกรณฑ์ หรือพูดอีกอย่างก็คือ:
     • √(90)
     • √(9 × 10)
     • (√(9) × √(10))
     • 3 × √(10)
     • 3√(10)
3. 
   3
   บวกเลขยกกำลังเวลาคูณพจน์ยกกำลังสองจำนวนและลบถ้าเป็นการหาร. นิพจน์พีชคณิตบางตัวต้องมีการคูณหรือหารพจน์ที่มีเลขยกกำลัง แทนที่จะมาคิดพจน์ยกกำลังแต่ละตัวแล้วค่อยทำการคูณหรือหารนั้น แค่ บวก เลขยกกำลังเวลาต้องคูณ และ ลบ เมื่อหารเพื่อประหยัดเวลา แนวคิดนี้สามารถใช้ทอนนิพจน์ที่ติดตัวแปรทั้งหลาย

   • ตัวอย่าง สมมติว่ามีนิพจน์ 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵) ในแต่ละโอกาสที่จำเป็นต้องคูณหรือหารด้วยเลขยกกำลัง เราจะลบหรือบวกเลขยกกำลังนั้นก่อนตามลำดับเพื่อหาพจน์ที่ทอนให้ง่ายแล้ว ดูด้านล่างนี้:
     • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
     • (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
     • 48x⁷ + x²
   • สำหรับคำอธิบายว่าทำไมมันถึงใช้ได้ ดูด้านล่างนี้:
     • การคูณพจน์ยกกำลังนั้นก็เหมือนการคูณพจน์ที่ไม่ได้ยกกำลังต่อเนื่องกันเป็นแถวยาว ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก x³ = x × x × x และ x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), หรือ x⁸
     • เช่นเดียวกัน การหารพจน์ยกกำลังก็เหมือนการหารพจน์ที่ไม่ได้ยกกำลังต่อเนื่องกันเป็นแถวยาว x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x) เนื่องจากพจน์แต่ละพจน์ในตัวเศษสามารถตัดออกได้ก็จากการมีพจน์ที่เหมือนกันในตัวส่วน เราจึงเหลือ x สองตัวในตัวเศษและไม่เหลืออะไรในตัวส่วน ทำให้เราได้คำตอบของ x²
   โฆษณา

เคล็ดลับ

• จำไว้เสมอว่าคุณจะต้องคิดถึงจำนวนเหล่านี้ว่ามีเครื่องหมายบวกหรือลบ หลายคนมักติดอยู่กับการคิดว่า "ฉันควรจะใส่เครื่องหมายอะไรตรงนี้"
• ร้องขอความช่วยเหลือเมื่อจำเป็น!
• การทอนนิพจน์พีชคณิตไม่ใช่เรื่องง่าย แต่พอเริ่มจับทิศทางได้แล้ว คุณจะได้ใช้มันไปตลอดชีวิต

โฆษณา

คำเตือน

• ให้แน่ใจว่าคุณไม่ได้เผลอบวกตัวเลขและเลขยกกำลังเพิ่มเข้าไปหรือไปเพิ่มการคิดที่ไม่ควรมีอยู่ตรงนั้น
• มองหาพจน์ที่เหมือนกันเสมอและอย่าถูกเลขยกกำลังมาหลอกเราได้

โฆษณา