如何化简代数表达式

学会如何化简代数式是掌握基本代数运算的关键部分，同时对于所有数学家来说，它也是一个非常有用的工具。化简可以让一个又长又复杂的代数式变得更简单更便于求解。基本的化简方法很容易学，就算是不喜欢学数学的人也能轻松学会。不需要特殊的数学知识，只需要简单几步，就可以化简几种常见类型的代数式。具体的方法请从下文的第一步开始学起。

步骤

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重要概念

1
根据变量和指数定义同类项。在代数中，“同类项”是指含有相同的变量，相同指数的项。换句话说，同类项之间拥有相同的变量或几个变量，或者不含变量，并且相同变量的指数都一样，或者不含指数。而各项中的变量顺序无所谓。
- 比如，3x²和4x²是同类项，因为它们有相同的变量x，并且指数都为2。然而，x和x²就不是同类项，因为x的指数不同。再比如，-3yx和5xz也不是同类项，因为它们的变量组合不一样。
2
将数字因式分解成两个数字的乘积。因式分解是将一个数字分解成两个数字的乘积的形式。数字的因式分解结果不唯一，比如12可以写成1 × 12，2 × 6，和3 × 4，所以1，2，3，4，6，12都是12的因数。换种解释，一个数字的因数就是可以整除该数字的数。
- 比如，你想因式分解20，那么你可以将20写成4 × 5。
- 注意，还有变量的项也可以进行因式分解，比如20x，可以写成4(5x)。
- 质数是无法因式分解的，因为质数只能被它本身和1整除。
3
PEMDAS运算顺序。有时，化简代数式意味着要计算到求出结果之前的一步。所以，牢记运算顺序可以防止在化简过程中犯错。PEMDAS可以帮助你记住运算顺序 —— 每个字母对应了一种运算，按顺序依次是：
- P代表括号（parentheses）
- E代表指数（exponents）
- M代表乘法（multiplication）
- D代表除法（division）
- A代表加法（addition）
- S代表减法（subtraction）
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方法 1

方法 1 的 3:

合并同类项

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1
写出方程。最简单的代数方程中只包含几个变量，且系数为整数，也不含分数或根式等，求解这样的方程只需要简单几步。和计算大多数数学问题一样，化简代数式的第一步就是写出它。
- 下面以1 + 2x - 3 + 4x为例来说明。
2
找到同类项。写出方程之后，你需要找出方程中的同类项。不要忘了，同类项有相同的变量和指数。
- 比如，在1 + 2x - 3 + 4x中，2x和4x相同的变量x，且指数都为1；1和-3是常数项，不含有变量。所以2x和4x是同类项，1和-3是同类项。
3
合并同类项。找到同类项之后，你需要合并它们。将同类项相加（如果带有负号，那就减去），直到方程中不含同类项为止。
- 对于上面的例子来说
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 + -3 = -2
4
用化简得到的各项组合成简化的表达式。合并同类项之后，用你新得出的几项重新组合成一个表达式。最终的表达式里的变量和原式是一样的，并且新的表达式和原式相等。
- 本例中，化简得到的两项是6x和-2，所以，新的表达式为6x - 2。它和原式（1 + 2x - 3 + 4x）相等，而且更短更容易处理。同时，新的表达式也更容易进行因式分解，下面我们就将提到因式分解，它也是重要的化简工具。
5
按照运算顺序合并同类项。在化简像上一个例子那样简单的代数式时，找到式中的同类项是很简单的。然而，在更复杂的，比如带有括号、分数和根式的代数式中，同类项并不是特别显眼。在这种情况下，你需要按照运算顺序对式中各项进行计算，直到最后式中只有加号和减号为止。
- 比如，方程5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x。直接认为3x和2x是同类项，并把它俩进行合并是错误的，因为式中的括号表明还需要进行运算之后才能找到同类项。首先根据运算顺序，计算式中各项，如下：
  - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  - 15x - 5 + x² + 8 - 3x。现在，式中的运算符号只有加号和减号了，我们可以合并同类项了。
  - x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  - x² + 12x + 3
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方法 2

方法 2 的 3:

因式分解

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1
最大公因数。因式分解是通过提出所有项的共同因数从而化简代数式的一种方法。开始之前，需要先找到各项的最大的公因数，换句话数，就是找到最大的一个能够整除式中各项的数。
- 比如，9x² + 27x - 3，注意到各项都可以被3整除，而且没有比3更大的数可以整除各项，所以，3就是最大公因数。
2
用式中各项除以最大公因数。接下来，用式中的每一项都除以你刚找到的最大公因数，最后得到的式子中，各项的系数都比原来小。
- 用上式各项除以最大公因数3。
  - 9x²/3 = 3x²
  - 27x/3 = 9x
  - -3/3 = -1
  - 因此，新的式子是3x² + 9x - 1
3
将原式改写成最大公因数和新式的乘积的形式。你得到的新的式子和原式并不相等，所以它并不是简化的结果。由于新式是提取了最大公因数后的结果，所以为了让化简之后的式子和原式相等，你需要让新式作为括号中的整体，再乘以最大公因数。
- 比如，3x² + 9x - 1，先给它加上括号，然后再乘以最大公因数，得到3(3x² + 9x - 1)，该式和原式9x² + 27x - 3相等。
4
使用因数化简分数。你现在也许想知道，为什么再提取最大公因数之后，还要再乘以它。事实上因式分解中是有很多小技巧可以化简代数式的。最简单的一个技巧就是利用了“分数的分子和分母同时乘以相同的数，分数的值不变”这一结论。如下：
- 原式是9x² + 27x - 3，把它放到一个分母为3的分数的分子中，即(9x² + 27x - 3)/3。我们可以用因式分解来化简它。
  - 提取原式的最大公因数：(3(3x² + 9x - 1))/3
  - 注意到，分子和分母中都有相同的系数3，所以，分子分母同时除以3，有(3x² + 9x - 1)/1
  - 由于分母为"1"的分数和分子相等，所以原分数可以化简成3x² + 9x - 1
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方法 3

方法 3 的 3:

利用其它的化简技巧

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1
除以相同的因数化简分式。如果，分子和分母有相同的因数，那么我们可以从分子和分母中同时除以它。有时我们需要对分子、分母，或者分子和分母进行因式分解，才能找到共同的因数，有时只需要观察就能找到相同的因数。要注意的是，有时你可以用分子中的各项除以分母，来得到简化的代数式。
- 下面举一个因数并不复杂的例子，(5x² + 10x + 20)/10，即使5x²中的系数“5”比10小，10并不是5的因数，但是我们还是可以用分子中的每一项除以10来得到化简的代数式。
  - 除以10的结果是((5x²)/10) + x + 2。我们可以将它改写成(1/2)x² + x + 2
2
利用因数中的完全平方数化简根式。带有根号的表达式称为根式。提取根号下的完全平方数，并将它的平方根写在根号前面，从而化简根式。
- 比如，√(90)。将90看作是9和10的乘积，其中9是完全平方数，它的平方根是3，然后将3从根号下提出来。就是说：
  - √(90)
  - √(9 × 10)
  - (√(9) × √(10))
  - 3 × √(10)
  - 3√(10)
3
两个指数相乘时，将它俩的指数相加；两个指数相除时，将它俩的指数相减。有些代数式中，需要计算指数的乘积或商，此时，不用进行复杂的计算，只需要在乘的时候把指数相加，在除的时候把指数相减就可以了。这也适用于化简表达式。
- 比如6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)。前后两部分需要分别计算指数的乘法和除法，而我们所要做的就是，对指数做加法和减法。过程如下：
  - 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  - (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  - 48x⁷ + x²
- 下面是对于这种做法的解释：
  - 指数的乘法就是表示一长串非指数部分的乘积，比如，由于x³ = x × x × x，x ⁵ = x × x × x × x × x，所以x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x)，即x⁸。
  - 同理，指数的除法就是表示一长串非指数部分的商。x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x)。由于分子和分母可以约去相同的因数，因此最终剩下两个x的乘积，即x²
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