Matrices delen

Als je weet hoe je twee matrices met elkaar kunt vermenigvuldigen, dan ben je goed op weg om ook de ene matrix te kunnen 'delen' door een andere matrix. Delen staat tussen aanhalingstekens omdat matrices technisch gezien niet kunnen worden gedeeld. In plaats daarvan vermenigvuldigen we de ene matrix met de inverse van een andere matrix. Deze berekeningen worden vaak gebruikt om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen.^[1]XBron

Deel 1

Deel 1 van 3:

Begrijp dat 'delen' onmogelijk is

Pdf downloaden

1
Begrijp wat het 'delen' van een matrix inhoudt. Technisch gezien bestaat er niet zoiets als matrixdeling. Het delen van matrices is geen gedefinieerde functie.^[2]XBron Dat wat het meest erop lijkt is het vermenigvuldigen met de inverse van een andere matrix. Met andere woorden, hoewel [A] ÷ [B] niet is gedefinieerd, kun je het probleem [A] * [B]^-1 wel oplossen. Omdat deze twee vergelijkingen equivalent zijn aan scalaire grootheden, 'voelt' dit aan als een matrixdeling, maar het is belangrijk om de juiste terminologie te gebruiken.
- Merk op dat [A] * [B]^-1 en [B]^-1 * [A] niet hetzelfde probleem vormen. Je zult beide wellicht moeten oplossen om alle mogelijke antwoorden te vinden.
- Bijvoorbeeld, in plaats van ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}\div {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ , write ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}$ .
  moet je mogelijk ook ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ berekenen, welke net een ander antwoord kan opleveren.
2
Controleer van de 'deler-matrix' vierkant is. Om de inverse van een matrix te kunnen bepalen, moet het gaan om een vierkante matrix, dus met hetzelfde aantal rijen en kolommen. Indien de matrix waar je de inverse van wilt bepalen geen vierkante matrix is, dan is er geen unieke oplossing voor het probleem.^[3]XBron
- De term 'deler-matrix' is wat los, omdat het niet werkelijk om een deelprobleem gaat. Voor [A] * [B]^-1, verwijst dit naar matrix [B]. In ons voorbeeld is dit ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ .
- Een matrix met een inverse heet 'inverteerbaar' of 'niet singulier.' Matrices zonder inverse zijn 'singulier.'
3
Controleer of de twee matrices met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd. Om twee matrices met elkaar te kunnen vermenigvuldigen, moet het aantal kolommen in de eerste matrix gelijk zijn aan het aantal rijen in de tweede matrix.^[4]XBron Werkt dit niet in beide gevallen ([A] * [B]^-1 of [B]^-1 * [A]), dan is er geen oplossing voor het probleem.
- Bijvoorbeeld, als [A] een 4 x 3 matrix (4 rijen, 3 kolommen) is en [B] een 2 x 2 matrix (2 rijen, 2 kolommen), dan is er geen oplossing. [A] * [B]^-1 werkt niet omdat 3 ≠ 2, en [B]^-1 * [A] werkt niet omdat 2 ≠ 4.
- Weet dat de inverse [B]^-1 altijd hetzelfde aantal rijen en kolommen heeft als de originele matrix [B]. Het is niet nodig om de inverse te berekenen voor het voltooien van deze stap.
- In ons voorbeeldprobleem, zijn beide matrices 2 x 2, dus kunnen ze in elke volgorde worden vermenigvuldigd.
4
Bepaal de determinant van een 2 x 2 matrix. Er is nog een vereiste controle voor je de inverse van een matrix kunt bepalen. De determinant van de matrix mag niet nul zijn. Is de determinant nul, dan heeft de matrix geen inverse. Hier volgt hoe je in het eenvoudigste geval de determinant bepaalt (de 2 x 2 matrix):
- 2 x 2 matrix: de determinant van de matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ is ad - bc.^[5]XBron Met andere woorden, neem het product van de hoofddiagonaal (linksboven naar rechtsonder), en trek daarna het product van de antidiagonaal (rechtsboven naar linksonder) daar vanaf.
- Bijvoorbeeld, de matrix ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ heeft de determinant (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Deze is niet nul, dus is het mogelijk om de inverse te bepalen.
5
Bepaal de determinant van een grotere matrix. Is je matrix 3 x 3 of groter, dan is er wat meer werk nodig voor het bepalen van de determinant:
- 3 x 3 matrix: Kies een element en kruis de rij en kolom door waar het bij hoort. Bepaald de determinant van de resterende 2 x 2 matrix, vermenigvuldig met het gekozen element, en houd er een matrix tekentabel bij voor het bepalen van het teken. Herhaal dit voor de andere twee elementen in dezelfde rij en kolom als de eerste die je hebt gekozen, en tel vervolgens alle drie de determinanten bij elkaar op. Lees dit artikel voor stapsgewijze step instructies en tips om dit sneller te kunnen doen.
- Grotere matrices: Hierbij is het gebruik van een grafische rekenmachine of software aanbevolen. De methode is gelijk aan die van een 3 x 3 matrix, maar kost veel tijd als je dit met de hand doet.^[6]XBron Bijvoorbeeld, om de determinant van een 4 x 4 matrix te vinden, moet je eerst de determinanten vinden van vier 3 x 3 matrices.
Is je matrix geen vierkant, of is de determinant ervan nul, noteer dit dan als 'geen unieke oplossing'. Het probleem is afgerond. Is de matrix een vierkant en de determinant ervan niet gelijk aan nul, ga dan verder met het volgende deel voor de volgende stap: het bepalen van de inverse.
Advertentie

Deel 2

Deel 2 van 3:

De matrix inverteren

Pdf downloaden

1
Verwissel de posities van de elementen van de 2 x 2 hoofddiagonaal. Heb je te maken met een 2 x 2 matrix, dan kun je een kortere weg gebruiken om deze berekening veel eenvoudiger te maken.^[7]XBron De eerste stap van deze snelle oplossing behelst het omwisselen van het element linksboven met het element rechtsonder. Bijvoorbeeld:
- ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$
- Opmerking: De meeste mensen maken gebruik van een rekenmachine voor het bepalen van de inverse van een 3 x 3 matrix (of groter). Wil je dit toch met de hand uitrekenen, kijk dan bij het eind van dit deel.
2
Neem het tegenovergestelde van de andere twee elementen maar laat ze in die positie staan. Met andere woorden, vermenigvuldig de bovenste rechter en onderste linker-elementen met -1:
- ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
3
Neem de reciproque van de determinant. Je hebt de determinant van deze matrix in het bovenstaande deel gevonden, dus is het niet nodig om dit nogmaals te berekenen. Schrijf gewoon de reciproque op van 1/(determinant):
- In ons voorbeeld is de determinant 13. De reciproque hiervan is ${\frac {1}{13}}$ .
4
Vermenigvuldig de nieuwe matrix met de reciproque van de determinant. Vermenigvuldig elk element van de nieuwe matrix met de reciproque die je net hebt gevonden. De resulterende matrix is de inverse van de 2 x 2 matrix:
- ${\frac {1}{13}}*{\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
  = ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$
5
Bevestig dat de inverse correct is. Om je werk te controleren, vermenigvuldig je de inverse met de originele matrix. Is de inverse correct, dan is hun product altijd de identiteit van de matrix, ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ $How.com.vn Nederlands: {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ Klopt het wiskundig, ga dan verder met het volgende deel om de uitwerking van het probleem te voltooien.
- Ten behoeve van het voorbeeldprobleem, vermenigvuldigen we ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ .
- Kijk op wikihow voor meer info over het vermenigvuldigen van matrices.
- Opmerking: Matrixvermenigvuldiging is niet commutatief: de volgorde van de factoren is van belang. Bij het vermenigvuldigen van een matrix met de inverse ervan, zullen beide resulteren in de identiteitsmatrix.^[8]XBron
6
Bepaal de matrixinversie van een 3 x 3 matrix of groter. Behalve als dit proces nieuw voor je is, kun je jezelf veel tijd besparen door een grafische rekenmachine of wiskundesoftware te gebruiken bij grotere matrices. Moet je het met de hand berekenen, dan volgt hier een korte samenvatting van een methode die je kunt gebruiken:^[9]XBron^[10]XBron
- Voeg de identiteitsmatrix I toe aan de rechterkant van je matrix. Bijvoorbeeld, [B] → [B | I ]. De identiteitsmatrix heeft '1' elementen langs de hoofddiagonaal, en '0' elementen in alle andere posities.
- Doe rijbewerkingen om de matrix te reduceren tot de linkerkant in rij-echelonvorm staat, en ga verder met reduceren tot de linkerkant de identiteitsmatrix is.
- Is de hele bewerking afgerond, dan staat je matrix in de vorm [I | B^-1]. Met andere woorden, de rechterkant wordt de inverse van de originele matrix.
Advertentie

Deel 3

Deel 3 van 3:

Vermenigvuldig de matrices om de opgave af te ronden

Pdf downloaden

1
Noteer beide mogelijke vergelijkingen. In 'gewone wiskunde' met scalaire getallen, is vermenigvuldiging commutatief; 2 x 6 = 6 x 2. Dit geldt niet voor matrices, dus moet je wellicht twee problemen oplossen:
- [A] * [B]^-1 is de oplossing x voor probleem x[B] = [A].
- [B]^-1 * [A] is de oplossing x voor probleem [B]x = [A].
- Indien dit een onderdeel is van een vergelijking, verzeker je er dan van dat je dezelfde bewerking toepast aan beide zijden van de vergelijking. If [A] = [C], then [B]^-1[A] is niet gelijk aan [C][B]^-1, omdat [B]^-1 zich aan de linkerkant van [A] bevindt, maar aan de rechterkant van [C].^[11]XBron
2
Bepaal de dimensies van je antwoord. De dimensies van de uiteindelijke matrix zijn de buitenste dimensies van de twee factoren. Deze heeft hetzelfde aantal rijen als de eerste matrix, en hetzelfde aantal kolommen als de tweede matrix.
- Terugkerend naar het oorspronkelijke voorbeeld: beide ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ en ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ zijn 2 x 2 matrices, dus de dimensies van het antwoord zijn ook 2 x 2.
- Om een wat gecompliceerder voorbeeld te nemen: indien [A] een 4 x 3 matrix is en [B]^-1 een 3 x 3 matrix, dan heeft de matrix [A] * [B]^-1 de dimensies 4 x 3.
3
Bepaal de waarde van het eerste element. Kijk bij het gelinkte artikel voor uitgebreide instructies, of fris je kennis op met deze samenvatting:
- Om rij 1, kolom 1 van [A][B]^-1 te vinden, bepaal je het inwendig product van [A] rij 1 en [B]^-1 kolom 1. Dus, voor een 2 x 2 matrix, bereken je $a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1,2}*b_{2,1}$ .
- In ons voorbeeld ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ , is rij 1 kolom 1 van je antwoord:
  $(13*{\frac {3}{13}})+(26*{\frac {-2}{13}})$
  $=3+-4$
  $=-1$
4
Bereken het inwendig product voor elke positie in je matrix. Bijvoorbeeld, het element op positie 2,1 is het inwendig product van [A] rij 2 en [B]^-1 kolom 1. Probeer het voorbeeld zelf uit te werken. Je zou de volgende antwoorden moeten krijgen:
- ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&10\\7&-5\end{pmatrix}}$
- En de andere oplossing: ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-9&2\\19&3\end{pmatrix}}$
Advertentie

Tips

Je kunt een matrix door een scalair delen, door elk element van de matrix te delen door de scalair.
- Bijvoorbeeld, de matrix ${\begin{pmatrix}6&8\\2&4\end{pmatrix}}$ divided by 2 = ${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}$

Advertentie

Waarschuwingen

Rekenmachines zijn niet altijd 100% accuraat bij matrix-rekenen. Bijvoorbeeld, als je rekenmachine aangeeft dat een element een zeer kleine waarde heeft (bijv. 2E^-8), dan is de waarde waarschijnlijk nul.^[12]XBron

Advertentie