Как делить матрицы

Если вы знаете, как перемножить две матрицы, можно приступить к «делению» матриц. Слово «деление» заключено в кавычки, потому что на самом деле матрицы делить нельзя. Операция деления заменяется операцией умножения одной матрица на матрицу, которая обратна второй матрице. Для простоты рассмотрим пример с целыми числами: 10 ÷ 5. Найдем число, обратное 5: 5^-1 или ¹/₅, а затем деление заменим умножением: 10 x 5^-1; при этом результат деления и умножения будет одним и тем же. Поэтому считается, что деление можно заменить умножением на обратную матрицу. Как правило, такие вычисления применяются для решения систем линейных уравнений.^{[1]XИсточник информации}

Краткое резюме

Делить матрицы нельзя. Вместо деления одну матрицу умножают на матрицу, обратную второй матрице. «Деление» двух матриц [A] ÷ [B] записывается так: [A] * [B]^-1 или [B]^-1 * [A].
Если матрица [B] не является квадратной или если ее определитель равен 0, запишите «однозначного решения нет». В противном случае найдите определитель матрицы [B] и перейдите к следующему шагу.
Найдите обратную матрицу: [B]^-1.
Перемножьте матрицы, чтобы найти [A] * [B]^-1 или [B]^-1 * [A]. Имейте в виду, что порядок перемножения матриц влияет на конечный результат (то есть результаты могут быть разными).

Часть 1

Часть 1 из 3:

Проверка «делимости» матриц

Загрузить PDF

1
Разберитесь с «делением» матриц. На самом деле матрицы делить нельзя. Нет такой математической операции, как «деление одной матрицы на другую».^{[2]XИсточник информации} Деление заменяется умножением одной матрицы на матрицу, обратную второй матрице. То есть запись [A] ÷ [B] не верна, поэтому ее заменяют такой записью: [A] * [B]^-1. Так как обе записи являются равнозначными в случае скалярных величин, теоретически можно говорить о «делении» матриц, но все-таки лучше пользоваться правильной терминологией.
- Обратите внимание, что [A] * [B]^-1 и [B]^-1 * [A] – это разные операции. Может быть, придется выполнить обе операции, чтобы найти все возможные решения.
- Например, вместо ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}\div {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ запишите ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}$ .
  Возможно, придется вычислить ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ , чтобы получить другой результат.
2
Убедитесь, что матрица, на которую вы «делите» другую матрицу, является квадратной. Чтобы инвертировать матрицу (найти обратную матрицу), она должна быть квадратной, то есть с одинаковым количеством строк и столбцов. Если инвертируемая матрица не является обратной, однозначного решения нет.^{[3]XИсточник информации}
- Опять же, здесь матрицы не «делятся». В операции [A] * [B]^-1 описанное условие относится к матрице [B]. В нашем примере это условие относится к матрице ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$
- Матрица, которую можно инвертировать, называется невырожденной или регулярной. Матрица, которую нельзя инвертировать, называется вырожденной или сингулярной.
3
Проверьте, можно ли перемножить две матрицы. Чтобы перемножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно равняться количеству строк второй матрицы.^{[4]XИсточник информации} Если это условие не соблюдается в записи [A] * [B]^-1 или [B]^-1 * [A], решения нет.
- Например, если размер матрицы [А] равен 4 х 3, а размер матрицы [B] равен 2 х 2, решения нет. Нельзя перемножить [A] * [B]^-1, потому что 4 ≠ 2, и нельзя перемножить [B]^-1 * [A], так как 2 ≠ 3.
- Обратите внимание, что у обратной матрицы [B]^-1 всегда то же количество строк и столбцов, что и у исходной матрицы [B]. Нет необходимости находить обратную матрицу, чтобы проверить, что две матрицы можно перемножить.
- В нашем примере размер обеих матриц 2 х 2, поэтому их можно перемножить в любом порядке.
4
Найдите определитель матрицы 2 × 2. Запомните: инвертировать матрицу можно только в том случае, если ее определитель не равен нулю (в противном случае инвертировать матрицу нельзя). Вот как найти определитель матрицы 2 х 2:
- Матрица 2 х 2: определитель матрицы ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ равен ad - bc.^{[5]XИсточник информации} То есть из произведения элементов главной диагонали (проходит через верхний левый и нижний правый углы) вычтите произведения элементов другой диагонали (проходит через верхний правый и нижний левый углы).
- Например, определитель матрицы ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ равен (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Определитель отличен от нуля, поэтому эту матрицу можно инвертировать.
5
Найдите определитель большей матрицы. Если размер матрицы равен 3 х 3 или больше, вычисление определителя немного усложняется.
- Матрица 3 х 3: выберите любой элемент и зачеркните строку и столбец, в которых он находится. Найдите определитель получившееся матрицы 2 × 2, а затем умножьте его на выбранный элемент; знак определителя уточните в специальной таблице. Повторите описанный процесс для двух других элементов, которые находятся в одной строке или столбце с выбранным элементом. Затем найдите сумму полученных (трех) определителей. Прочитайте эту статью, чтобы получить дополнительную информацию о том, как находить определитель матрицы 3 х 3.
- Большие матрицы: определитель таких матриц лучше искать при помощи графического калькулятора или программного обеспечения. Метод аналогичен методу нахождения определителя матрицы 3 × 3, но применять его вручную довольно утомительно.^{[6]XИсточник информации} Например, чтобы найти определитель матрицы 4 х 4, нужно найти определители четырех матриц 3 х 3.
Если матрица не является квадратной или если ее определитель равен нулю, напишите «однозначного решения нет», то есть процесс вычисления завершен. Если же матрица является квадратной и ее определитель не равен нулю, перейдите к следующему разделу.
Реклама

Часть 2

Часть 2 из 3:

Нахождение обратной матрицы

Загрузить PDF

1
Поменяйте местами элементы главной диагонали матрицы 2 х 2. Если дана матрица 2 × 2, воспользуйтесь быстрым методом нахождения обратной матрицы.^{[7]XИсточник информации} Для начала поменяйте местами верхний левый элемент и нижний правый элемент. Например:
- ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$
- Примечание: большинство людей пользуется калькуляторами, чтобы инвертировать матрицу 3 х 3 (или большего размера). Если нужно сделать это вручную, перейдите в конец этого раздела.
2
Оставшиеся два элемента местами не меняйте, но измените их знак. То есть верхний правый элемент и нижний левый элемент умножьте на -1:
- ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
3
Найдите число, обратное значению определителя. Определитель этой матрицы был найден в предыдущем разделе, поэтому не будем вычислять его еще раз. Обратное значение определителя записывается так: 1 / (определитель):
- В нашем примере определитель равен 13. Обратное значение: ${\frac {1}{13}}$ .
4
Полученную матрицу умножьте на обратное значение определителя. Каждый элемент новой матрицы умножьте на обратное значение определителя. Конечная матрица будет обратна исходной матрице 2 х 2:
- ${\frac {1}{13}}*{\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
  = ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$
5
Проверьте правильность вычислений. Для этого умножьте исходную матрицу на обратную. Если вычисления правильные, произведение исходной матрицы на обратную даст единичную матрицу: ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ $How.com.vn Русский: {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ . Если проверка прошла успешно, перейдите к следующему разделу.
- В нашем примере: ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ .
- Чтобы получить дополнительную информацию о том, как перемножать матрицы, прочитайте эту статью.
- Примечание: операция перемножения матриц не является коммутативной, то есть важен порядок расположения матриц. Но при умножении исходной матрицы на обратную любой порядок приводит к единичной матрице.^{[8]XИсточник информации}
6
Найдите обратную матрицу для матрицы 3 х 3 (или большего размера). Если вы уже знакомы с этим процессом, лучше воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением. Если нужно найти обратную матрицу вручную, ниже приводится краткое описание процесса:^{[9]XИсточник информации}^{[10]XИсточник информации}
- Присоедините единичную матрицу I с правой стороны исходной матрицы. Например, [B] → [B | I ]. У единичной матрицы все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0.
- Упростите матрицу так, чтобы привести ее левую сторону к ступенчатому виду; продолжите упрощение, чтобы левая сторона превратилась в единичную матрицу.
- После упрощения матрица примет следующий вид: [I | B^-1]. То есть ее правая сторона является матрицей, обратной исходной матрице.
Реклама

Часть 3

Часть 3 из 3:

Перемножение матриц

Загрузить PDF

1
Запишите два возможных выражения. Операция умножения двух скаляров коммутативна, то есть 2 х 6 = 6 х 2. Это не так в случае умножения матриц, поэтому, возможно, придется решить два выражения:
- x = [A] * [B]^-1 – это решение уравнения x[B] = [A].
- x = [B]^-1 * [A] – это решение уравнения [B]x = [A].
- Каждую математическую операцию выполняйте с обеих сторон уравнения. Если [A] = [C], то [B]^-1[A] ≠ [C][B]^-1, потому что [B]^-1 находится слева от [A], но справа от [C].^{[11]XИсточник информации}
2
Определите размер конечной матрицы. Размер конечной матрицы зависит от размеров перемножаемых матриц. Количество строк конечной матрицы равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов конечной матрицы равно количеству столбцов второй матрицы.
- В нашем примере размер обеих матриц ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ и ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ равен 2 х 2, поэтому размер исходной матрицы будет 2 х 2.
- Рассмотрим более сложный пример: если размер матрицы [A] равен 4 х 3, а размер матрицы [B]^-1 равен 3 x 3, то конечная матрица [A] * [B]^-1 будет иметь размер 4 х 3.
3
Найдите значение первого элемента. Прочитайте эту статью или вспомните следующие основные действия:
- Чтобы найти первый элемент (первая строка, первый столбец) конечной матрицы [A][B]^-1, вычислите скалярное произведение элементов первой строки матрицы [A] и элементов первого столбца матрицы [B]^-1. В случае матрицы 2 x 2 скалярное произведение вычисляется так: $a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1,2}*b_{2,1}$ .
- В нашем примере: ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ . Таким образом, первым элементом конечной матрицы будет элемент:
  $(13*{\frac {3}{13}})+(26*{\frac {-2}{13}})$
  $=3+-4$
  $=-1$
4
Продолжите вычислять скалярные произведения, чтобы найти каждый элемент конечной матрицы. Например, элемент, расположенный во второй строке и первом столбце, равен скалярному произведению второй строки матрицы [A] и первого столбца матрицы [B]^-1. Попробуйте самостоятельно найти оставшиеся элементы. Вы должны получить следующие результаты:
- ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&10\\7&-5\end{pmatrix}}$
- Если нужно найти другое решение: ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-9&2\\19&3\end{pmatrix}}$
Реклама

Советы

Матрицу можно разделить на скаляр; для этого каждый элемент матрицы делится на скаляр.
- Например, если матрицу ${\begin{pmatrix}6&8\\2&4\end{pmatrix}}$ разделить на 2, получится матрица ${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}$

Предупреждения

Калькулятор не всегда дает абсолютно точные результаты, когда дело касается матричных вычислений. Например, если калькулятор утверждает, что элемент является очень малым числом (таким как 2E^-8), скорее всего, значение равно нулю.^{[12]XИсточник информации}