Come Dividere le Matrici

Se hai già imparato a moltiplicare fra loro due matrici, sei a buon punto per imparare a "dividere" una matrice A per una matrice B. La parola dividere è tra virgolette perché, tecnicamente, non è possibile eseguire questa operazione matematica fra matrici. In questo caso, per dividere due matrici, si moltiplica la prima per l'inverso della seconda. Se questa soluzione ti sembra strana, osservando l'espressione matematica tutto dovrebbe risultare più semplice: ad esempio, anziché eseguire la normale divisione 10÷ 5, si dovrà calcolare l'inverso di 5 (5^-1 o ¹/₅) e risolvere la seguente operazione 10 x 5^-1. Questo è il motivo per cui moltiplicare una matrice per l'inverso di un'altra è considerato il processo matematico più simile alla divisione in questo ramo della matematica. Le operazioni di questo tipo vengono utilizzate comunemente per risolvere sistemi di equazioni lineari.^{[1]XFonte di ricerca}

Riepilogo

Non esiste una definizione matematica riguardo alla divisione fra matrici. Per eseguire questa operazione, si moltiplica la prima matrice per l'inverso della seconda. Il problema iniziale [A] ÷ [B] può quindi essere riscritto nel seguente modo [A] * [B]^-1 o [B]^-1 * [A].
Se la matrice B non è una matrice quadrata o se il relativo determinante è 0, il problema in esame non avrà "una soluzione unica". Se questo non è il tuo caso, puoi procedere a calcolare il determinante della matrice B e proseguire con il passaggio successivo.
Calcola [B]^-1 (cioè l'inverso della matrice B).
A questo punto moltiplica le due matrici per calcolare la seguente operazione [A] * [B]^-1 o [B]^-1 * [A]. Nota che le due operazioni indicate non danno necessariamente lo stesso risultato finale.

Parte 1

Parte 1 di 3:

Valutare se è Possibile Eseguire la Divisione

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Comprendi il concetto di "divisione" applicato alle matrici. Come detto, non è tecnicamente possibile eseguire una divisione fra due matrici. In matematica non esiste una funzione per definire la divisione fra due matrici.^{[2]XFonte di ricerca} Il processo che più si avvicina a tale operazione matematica consiste nel moltiplicare la prima matrice per l'inverso della seconda. In altre parole, mentre l'operazione [A] ÷ [B] non ha significato in matematica, possiamo optare per risolvere il seguente problema [A] * [B]^-1. Dato che nel caso di quantità scalari queste due equazioni sono equivalenti, la seconda rappresenta il risultato più vicino alla divisione fra matrici, ma è sempre importante utilizzare la terminologia corretta.
- Nota che le espressioni [A] * [B]^-1 e [B]^-1 * [A] non rappresentano lo stesso problema matematico; quindi, per individuare tutte le possibili soluzioni, potresti dover eseguire entrambe le operazioni.
- Ad esempio, anziché scrivere ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}\div {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ , che in matematica non avrebbe senso, occorre riscrivere il problema come ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}$ .
  Potresti avere inoltre la necessità di calcolare la seguente operazione ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ , che potrebbe portare a un risultato finale differente.
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Conferma che la matrice che rappresenta il "divisore" dell'operazione è una matrice quadrata. Per poter calcolare l'inverso di una matrice, è necessario che quest'ultima sia una matrice quadrata, cioè che abbia lo stesso numero di righe e di colonne. Se non si tratta di una matrice quadrata, il problema non ha una soluzione unica.^{[3]XFonte di ricerca}
- Il termine "divisore" messo in relazione con le matrici è ovviamente un po' fuorviante, dato che, tecnicamente, non stiamo eseguendo la divisione fra due matrici. Nel caso dell'operazione [A] * [B]^-1, faremo riferimento alla seconda matrice come matrice B ([B]). Nel problema di esempio, la matrice B è composta dai seguenti elementi ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ .
- Una matrice di cui è possibile calcolare l'inverso viene chiamata "invertibile" o "non-singolare". Le matrici quadrate il cui determinante è pari a 0, e che quindi non possiedono una matrice inversa, sono chiamate "singolari".
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Verifica che le due matrici coinvolte nell'operazione possano essere moltiplicate fra loro. Perché due matrici possano essere moltiplicate fra loro, il numero di colonne della prima deve essere uguale al numero di righe della seconda.^{[4]XFonte di ricerca} Se questa condizione non viene rispettata in nessuna delle due forme possibili ([A] * [B]^-1 o [B]^-1 * [A]), allora il problema in esame non ha soluzione.
- Ad esempio, se la matrice A è una matrice 4 x 3 e la matrice B è una matrice 2 x 2, il problema non ha soluzione. Non è possibile eseguire la seguente operazione [A] * [B]^-1, perché il numero di colonne della prima matrice (4) è diverso dal numero di righe della seconda (2). Anche l'operazione [B]^-1 * [A] non è possibile perché 2 ≠ 3.
- Nota che l'inverso della matrice B ([B]^-1) mantiene lo stesso numero di righe e di colonne della matrice B originale. Per completare questo passaggio, non abbiamo la necessità di calcolare l'inverso di tale matrice.
- Nel nostro problema di esempio, entrambe le matrici sono quadrate e composte da 2 colonne e 2 righe (2 x 2), quindi è possibile moltiplicarle utilizzando entrambe le forme descritte.
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Calcola il determinante di una matrice 2 x 2. Prima di poter calcolare l'inverso di una matrice, occorre verificare un ultimo requisito, cioè che il relativo determinante sia diverso da 0. Nel caso in cui il determinante è pari a 0, la matrice non è invertibile. Ecco come calcolare il determinante nel caso più semplice, cioè di una matrice 2 x 2:
- Matrice 2 x 2: il determinante della matrice ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ è pari a (ad - bc).^{[5]XFonte di ricerca} In altre parole, occorre calcolare il prodotto degli elementi presenti sulla diagonale principale della matrice (quella che parte dall'angolo superiore sinistro e arriva all'angolo inferiore destro) e sottrarlo al prodotto degli elementi presenti sulla diagonale secondaria (quella che parte dall'angolo superiore destro e arriva all'angolo inferiore sinistro).
- Nel nostro esempio, il determinante della matrice ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ è pari a (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. In questo caso, dato che il risultato ottenuto è diverso da 0, è possibile calcolare la matrice inversa.
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Calcola il determinante di matrici più grandi. Se la matrice in esame è 3 x 3 o più grande, il calcolo del relativo determinante richiede un po' più di lavoro:
- Matrice 3 x 3: Scegli un elemento qualunque della matrice, scarta la riga e la colonna a cui appartiene e calcola il determinante della matrice 2 x 2 rimanente. Moltiplica il risultato per l'elemento scelto, quindi fai riferimento alla sua posizione all'interno della matrice per calcolarne il segno. Ripeti questo processo per gli altri due elementi appartenenti alla riga o alla colonna che hai scelto, quindi somma fra loro i tre risultati ottenuti. Leggi questo articolo per sapere nel dettaglio come calcolare il determinante di una matrice 3 x 3 e come velocizzare i calcoli.
- Matrici più grandi: in questo caso è consigliabile utilizzare una calcolatrice grafica o un apposito software. Il principio da seguire è molto simile a quello per calcolare il determinante di una matrice 3 x 3, ma eseguire tutti i calcoli a mano risulta molto monotono e noioso.^{[6]XFonte di ricerca} Ad esempio, per calcolare il determinante di una matrice 4 x 4, hai la necessità di individuare il determinante di 4 matrici 3 x 3.
Se la matrice in esame non è quadrata o se il relativo determinante è pari a 0, significa che il problema non ammette "una soluzione unica". In questo caso il tuo lavoro è concluso. Se la matrice è quadrata e il suo determinante è diverso da 0, puoi procedere oltre e calcolarne la matrice inversa seguendo le istruzioni della prossima sezione.
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Parte 2

Parte 2 di 3:

Invertire una Matrice

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Inverti la posizione degli elementi che si trovano sulla diagonale principale della matrice 2 x 2. Se la matrice in esame è una matrice quadrata 2 x 2, è possibile rendere i calcoli molto più semplici.^{[7]XFonte di ricerca} Il primo passo consiste nell'invertire la posizione dell'elemento superiore sinistro con quella dell'elemento inferiore destro. Ad esempio:
- ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$
- Nota: la maggior parte delle persone usa la calcolatrice per individuare la matrice inversa di una matrice 3 x 3 o di matrici più grandi. Se desideri svolgere i calcoli manualmente, fai riferimento al passaggio finale di questa sezione dell'articolo.
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Calcola l'opposto degli elementi presenti sulla diagonale secondaria, ma senza invertirne la posizione. In altre parole, moltiplica l'elemento superiore destro e inferiore sinistro per il coefficiente -1:
- ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
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Calcola il reciproco del determinante. Puoi trovare il determinante della matrice di esempio nella sezione precedente dell'articolo, quindi non è necessario calcolarlo nuovamente. Prendi semplicemente nota del reciproco, cioè 1 / (determinante):
- Nel nostro esempio il determinante è 13, quindi il suo reciproco è pari a ${\frac {1}{13}}$ .
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Moltiplica la nuova matrice ottenuta per il reciproco del determinante. In questo caso, occorre moltiplicare ogni singolo elemento della nuova matrice per il reciproco del determinante appena calcolato. Il risultato sarà la matrice inversa della matrice quadrata 2 x 2 originale:
- ${\frac {1}{13}}*{\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
  = ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$
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Verifica che la matrice inversa ottenuta sia corretta. Per farlo, occorre moltiplicare la matrice inversa per quella originale. Se la matrice inversa è stata calcolata correttamente, il loro prodotto sarà sempre uguale alla matrice "identità" (denominata anche "identica" o unità): ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ $How.com.vn Italiano: {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ . Se i calcoli confermano che la matrice inversa è corretta, prosegui fino alla prossima sezione dell'articolo per completare il tuo lavoro.
- Nel nostro esempio, moltiplica la matrice ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}per{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ .
- Leggi questo articolo per avere maggiori informazioni su come eseguire la moltiplicazione fra matrici.
- Nota: la moltiplicazione fra matrici non è commutativa, cioè l'ordine dei fattori modifica il risultato finale. Tuttavia, nel caso particolare in cui si moltiplica una matrice per il suo inverso, entrambe le moltiplicazioni daranno come risultato una matrice identità.^{[8]XFonte di ricerca}
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Ripassa il metodo da seguire per calcolare la matrice inversa di una matrice 3 x 3 o più grande. Nel caso di matrici di grandi dimensioni, a meno che non sia la prima volta che affronti un problema del genere, puoi risparmiare tempo prezioso affidandoti a una calcolatrice grafica o a un software apposito. Se hai la necessità di svolgere i calcoli manualmente, di seguito trovi il riepilogo dei passi da affrontare:^{[9]XFonte di ricerca}^{[10]XFonte di ricerca}
- Affianca la relativa matrice identità (I) sulla destra della matrice originale. Ad esempio [B] → [B | I ]. La matrice identità è composta da elementi aventi valore 1, lungo la diagonale principale, e da elementi aventi valore 0, in tutte le altre posizioni.
- Riduci la matrice ottenuta per righe finché non ottieni una "matrice a scalini in forma ridotta" sul lato sinistro, dove gli elementi posti sulle sottodiagonali sono pari a 0. A questo punto, prosegui il processo di riduzione finché anche gli elementi posti sulle sovradiagonali del lato sinistro non sono pari a 0, ottenendo di fatto una matrice identità.
- Una volta che avrai terminato il processo, la matrice ottenuta avrà la seguente forma [I | B^-1]. In altre parole, il lato destro sarà esattamente la matrice inversa di quella originale.
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Parte 3

Parte 3 di 3:

Moltiplicare le Matrici per Risolvere il Problema

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Scrivi entrambe le equazioni possibili. In matematica, quando si utilizzano quantità scalari, cioè semplici numeri, la moltiplicazione è commutativa. In altre parole è valida la seguente uguaglianza 2 x 6 = 6 x 2. Questa proprietà non è rispettata nell'ambito delle matrici, quindi potresti avere la necessità di affrontare due problemi anziché uno solo:
- [A] * [B]^-1 rappresenta la soluzione x al problema x[B] = [A].
- [B]^-1 * [A] rappresenta la soluzione x al problema [B]x = [A].
- Se questa espressione è parte di un'equazione, assicurati di compiere le stesse operazioni su entrambi i suoi membri. Se [A] = [C], allora [B]^-1[A] non darà lo stesso risultato di [C][B]^-1 perché la matrice inversa di B, [B]^-1, nel primo caso si trova sul lato sinistro della matrice A, mentre nel secondo su quello destro della matrice C.^{[11]XFonte di ricerca}
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Calcola la dimensione finale della soluzione. Le dimensioni della matrice finale saranno rappresentate dalle dimensioni dei due fattori coinvolti, cioè dalle due matrici di partenza. La matrice risultante avrà lo stesso numero di righe della prima matrice e lo stesso numero di colonne della seconda.
- Riprendiamo il nostro problema di esempio. Entrambe le matrici, quella originale ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ e la sua inversa ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ , sono due matrici 2 x 2, quindi le dimensioni della matrice finale saranno 2 x 2.
- Se vuoi metterti alla prova con un esempio più complicato, prendi in esame la matrice [A] avente dimensione 4 x 3 e la matrice [B]^-1 3 x 3, la matrice risultante dal prodotto [A] * [B]^-1 sarà una matrice 4 x 3.
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Calcola il valore del primo elemento. Per avere informazioni dettagliate su come procedere, fai riferimento all'articolo proposto nel link oppure segui questo breve riepilogo:
- Per calcolare l'elemento che occupa la posizione (1,1), cioè la prima riga e la prima colonna, della matrice risultante dal prodotto [A][B]^-1, calcola il prodotto scalare della prima riga della matrice [A] e della seconda colonna della matrice [B]^-1. Nel caso di una matrice 2 x 2 occorre eseguire questo calcolo $a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1,2}*b_{2,1}$ .
- Nel nostro problema di esempio ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ , l'elemento posto nella prima riga e nella prima colonna della matrice risultante sarà:
  $(13*{\frac {3}{13}})+(26*{\frac {-2}{13}})$
  $=3+-4$
  $=-1$
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Calcola il prodotto scalare per ogni elemento della matrice finale. Ad esempio, l'elemento che occupa la posizione (2,1) è dato dal prodotto scalare della seconda riga della matrice [A] per la prima colonna della matrice [B]^-1. Prova a completare il problema di esempio da solo. Al termine dei calcoli, dovresti aver ottenuto la seguenti soluzioni:
- ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&10\\7&-5\end{pmatrix}}$
- Se avessi la necessità di trovare anche la seconda soluzione, otterresti: ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-9&2\\19&3\end{pmatrix}}$
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Consigli

È possibile dividere una matrice per uno scalare (un numero) dividendo ogni elemento che compone la matrice per tale coefficiente.
- Ad esempio, dividendo la matrice ${\begin{pmatrix}6&8\\2&4\end{pmatrix}}$ per 2 otterremo la nuova matrice ${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}$

Avvertenze

Le calcolatrici non sono sempre accurate al 100% quando vengono utilizzate per svolgere i calcoli relativi alle matrici. Ad esempio, se la calcolatrice indica che un elemento è rappresentato da un numero estremamente piccolo (come 2E^-8), significa che il suo valore è praticamente pari a 0.^{[12]XFonte di ricerca}