Como Dividir Matrizes

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Neste Artigo:

Confirmando que a "divisão" é possível

Invertendo uma matriz

Multiplicando as matrizes para completar o problema

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Referências

Saber como multiplicar duas matrizes já é meio caminho andado para aprender como "dividir" uma matriz por outra. A palavra "dividir" está escrita em aspas porque as matrizes tecnicamente não podem ser divididas. Em vez disso, é preciso multiplicar uma matriz pelo inverso da outra. Caso isso soe estranho, considere essa ideia em termos de conceitos matemáticos mais comuns: ao invés calcular 10 ÷ 5, é possível pegar o inverso de 5 (5^-1 ou ¹/₅), calcular 10 x 5^-1 e obter a mesma resposta. Por isso a multiplicação pelo inverso de uma matriz é considerada o processo mais próximo da divisão nesse ramo da matemática. Esses cálculos são comumente usados para resolver sistemas de equações lineares.

Guia rápido

1. Não existe definição para divisão de matriz. Em vez disso, multiplique a primeira matriz pelo inverso da segunda. Reescreva o problema [A] ÷ [B] como [A] * [B]^-1 ou [B]^-1 * [A].
2. Se a matriz [B] não for quadrada ou se o determinante dela for igual a zero, escreva "não existe uma única solução". Caso contrário, encontre o determinante de [B] e continue com o próximo passo.
3. Calcule o valor de [B]^-1 (o inverso de [B]).
4. Multiplique as matrizes para calcular [A] * [B]^-1 ou [B]^-1 * [A]. Saiba que isso não vai necessariamente resultar na mesma resposta.

Passos

Parte 1

Parte 1 de 3:

Confirmando que a "divisão" é possível

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   Compreenda a "divisão" de matriz. Tecnicamente, tal conceito não existe. Dividir uma matriz por outra é uma função não definida. O equivalente mais próximo é a multiplicação pelo inverso de outra matriz. Em outras palavras, embora [A] ÷ [B] não seja definido, é possível calcular [A] * [B]^-1. Como as duas equações seriam equivalentes em grandeza escalar, isso se "parece" com uma divisão de matriz, mas é importante usar a terminologia correta.

   • Observe que [A] * [B]^-1 e [B]^-1 * [A] não são o mesmo problema. Pode ser preciso calcular ambos para encontrar as possíveis soluções
   • Por exemplo, em vez de ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}\div {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$, escreva ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}$.
     Você também pode precisar calcular ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$, que pode ter uma resposta diferente.
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   Verifique se a "matriz divisora" é quadrada. Para pegar o inverso de uma matriz, ela deve ser quadrada, com o mesmo número de linhas e colunas. Caso contrário, não existe uma solução única para o problema.

   • O termo "matriz divisora" é um pouco vago, já que, tecnicamente, não se trata de um problema de divisão. Para [A] * [B]^-1, isso é referente à matriz [B]. No exemplo utilizado, ela é matriz ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$.
   • Uma matriz que possui um inverso é chamada de "invertível" ou "não singular". As matrizes que não possuem um inverso são "singulares".
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   Verifique se duas matrizes podem ser multiplicadas entre si. Para fazê-lo, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Se isso não funcionar em nenhuma das configurações ([A] * [B]^-1 ou [B]^-1 * [A]), então o problema não tem solução.

   • Por exemplo, se [A] é uma matriz 4 x 3 e [B] é uma matriz 2 x 2, então não há solução. [A] * [B]^-1 não pode ser calculado, já que 4 ≠ 2, e [B]^-1 * [A] também não, visto que 2 ≠ 3.
   • Observe que o inverso de [B]^-1 sempre possui o mesmo número de linhas e colunas que a matriz original [B]. Não é preciso calcular o inverso para completar este passo.
   • No exemplo utilizado, ambas as matrizes são 2 x 2, então elas podem ser multiplicadas em qualquer ordem.
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   Encontre o determinante de uma matriz 2 x 2. Há mais uma exigência a verificar antes de poder pegar o inverso de uma matriz. O determinante dela não pode ser zero. Caso contrário, a matriz não vai ter um inverso. Veja como encontrar o determinante no caso mais simples, uma matriz 2 x 2:

   • Matriz 2 x 2: o determinante de ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ é ad - bc. Em outras palavras, pegue o produto da diagonal principal (do canto superior esquerdo para ao canto inferior direito), depois subtraia o produto da diagonal inversa (do canto superior direito para ao canto inferior esquerdo).
   • Por exemplo, a matriz ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ tem o determinante (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Ele não é o número zero, então é possível encontrar o inverso.
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   Encontre o determinante de uma matriz maior. Caso a matriz seja 3 x 3 ou maior, é preciso um pouco mais de trabalho para encontrar o determinante:

   • Matriz 3 x 3: escolha qualquer elemento e risque a linha e coluna na qual ele pertence. Encontre o determinante a matriz 2 x 2 restante, multiplique-o pelo elemento escolhido e consulte o sinal do gráfico da matriz para determinar o sinal. Repita esse passo nos próximos dois elementos na mesma linha ou coluna do primeiro elemento escolhido, depois some os três determinantes. Leia este artigo e veja um passo a passo e dicas de como acelerar esse processo.
   • Matrizes maiores: o uso de uma calculadora gráfica ou software é recomendado. O método é parecido com o da matriz 3 x 3, mas é mais demorado de fazer à mão. Por exemplo, para encontrar o determinante de uma matriz 4 x 4, é preciso encontrar os determinantes de quatro matrizes 3 x 3.
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   Continue. Se a matriz não for quadrada, ou se seu determinante for igual a zero, escreva "não existe uma única solução". O problema está completo. Se a matriz for quadrada e tiver um determinante diferente de zero, avance para a próxima seção para saber o próximo passo: encontrar o inverso.
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Parte 2

Parte 2 de 3:

Invertendo uma matriz

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   Troque as posições dos elementos da diagonal principal 2 x 2. Caso a matriz seja 2 x 2, você pode usar um atalho para facilitar bastante essa cálculo. O primeiro passo neste atalho envolve trocar o elemento do canto superior esquerdo pelo elemento do canto inferior direito. Por exemplo:

   • ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$
   • Observação: a maioria das pessoas usa uma calculadora para encontrar o inverso de uma matriz 3 x 3 ou maior. Se quiser fazer o cálculo à mão, consulte o final da seção.
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   Pegue o oposto dos outros dois elementos, mas deixe-os em posição. Em outras palavras, multiplique os elementos do canto superior "direito" e do canto inferior "esquerdo" por -1:

   • ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
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   Pegue a recíproca do determinante. Você encontrou o determinante dessa matriz na seção acima, então não é preciso fazê-lo novamente. Basta escrever a recíproca 1 / (determinante):

   • No exemplo, o determinante é 13. A recíproca dele é ${\frac {1}{13}}$.
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   Multiplique a nova matriz pela recíproca do determinante. Multiplique cada elemento da nova matriz pela recíproca recém-calculada. A matriz resultante é o inverso da matriz 2 x 2:

   • ${\frac {1}{13}}*{\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
     =${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$
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   Verifique se a inversão está correta. Para fazê-lo, multiplique o inverso pela matriz original. Caso o inverso esteja correto, o produto sempre será idêntico à matriz, ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$. Se estiver tudo certo, continue com a próxima seção para terminar o problema.

   • Para o exemplo utilizado, multiplique ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$.
   • Veja o artigo Como Multiplicar Matrizes caso precise de ajuda.
   • Observação: a multiplicação de matriz não é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores influencia no resultado. No entanto, ao multiplicar uma matriz pelo seu inverso, ambas as opções vão resultar na matriz identidade.
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   Veja neste artigo como inverter uma matriz 3 x 3 ou maior. A menos que você esteja aprendendo este processo pela primeira vez, economize tempo usando uma calculadora gráfica ou software de matemática para fazer contas com matrizes maiores. Se não for preciso realizar o cálculo à mão, veja um guia rápido de um método:

   • Coloque a matriz identidade I à direita da sua matriz. Por exemplo, [B] → [B | I ]. A matriz identidade tem "1" elemento junto com a diagonal principal e "0" elemento sem todas as outras posições.
   • Realize as operações em linha para reduzir a matriz até que o lado esquerdo esteja na forma escalonada, depois continue a redução até que o lado esquerdo seja idêntico à matriz identidade.
   • Ao final da operação, a matriz vai estar na forma [I | B^-1]. Em outras palavras, o lado direito vai ser inverso à matriz original.
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Parte 3

Parte 3 de 3:

Multiplicando as matrizes para completar o problema

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   Escreva as duas possíveis equações. Na "matemática comum" com grandezas escalares, a multiplicação é comutativa; 2 x 6 = 6 x 2. Porém, o mesmo não vale para as matrizes, então é preciso calcular dois problemas:

   • [A] * [B]^-1 é a solução x para o problema x[B] = [A].
   • [B]^-1 * [A] é a solução x para o problema [B]x = [A].
   • Caso isso seja parte de uma equação, realize a mesma operação em ambos os lados. Se [A] = [C], então [B]^-1[A] não é igual a [C][B]^-1, pois [B]^-1 está do lado esquerdo de [A], mas ao lado direito de [C].
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   Encontre as dimensões da resposta. As dimensões da matriz final são as dimensões externas dos dois fatores. Ela tem o mesmo número de linhas que a primeira matriz, e o mesmo número de colunas da segunda matriz.

   • Voltando ao problema original, tanto ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ quanto ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ são matrizes 2 x 2, então as dimensões da resposta também serão 2 x 2.
   • Para usar um exemplo mais complicado, se [A] é uma matriz 4 x 3 e [B]^-1 é uma matriz 3 x 3, então a matriz [A] * [B]^-1 possui dimensões 4 x 3.
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   Calcule o valor do primeiro elemento. Consulte o artigo vinculado acima para obter instruções mais detalhadas, ou então refresque sua memória com o seguinte resumo:

   • Para encontrar a linha 1 e coluna 1 de [A][B]^-1, encontre o produto escalar da linha [A] 1 e coluna [B]^-1 2. Isto é, para uma matriz 2 x 2, calcule $a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1,2}*b_{2,1}$.
   • No exemplo utilizado ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$, a linha 1 coluna 1 da resposta é:
     $(13*{\frac {3}{13}})+(26*{\frac {-2}{13}})$
     $=3+-4$
     $=-1$
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   Repita o processo do produto escalar para cada posição na matriz. Por exemplo, o elemento na posição 2,1 é o produto escalar da linha [A] 2 e coluna [B]^-1 1. Tente completar o exemplo sozinho. Você deverá obter as seguintes respostas:

   • ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&10\\7&-5\end{pmatrix}}$
   • Caso precise encontrar outra solução, ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-9&2\\19&3\end{pmatrix}}$
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Dicas

• Você pode dividir uma matriz por uma grandeza escalar dividindo cada elemento da matriz pela grandeza.
  • Por exemplo, a matriz ${\begin{pmatrix}6&8\\2&4\end{pmatrix}}$ dividida por 2 = ${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}$

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Avisos

• As calculadoras nem sempre são 100% precisas no que diz respeito aos cálculos de matrizes. Por exemplo, se a calculadora informa que um elemento é um número muito pequeno (2E^-8, por exemplo), é provável que o valor seja zero.

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