Integreren

Pdf downloaden

Pdf downloaden

In dit artikel:

Eenvoudig integreren

Andere regels

Gerelateerde artikelen

Integreren is het omgekeerde van differentiëren binnen de wiskunde (analyse). Het is het proces van het berekenen van de oppervlakte onder een curve, ingesloten door een xy-vlak. Er zijn verschillende regels voor het integreren, afhankelijk van het type polynoom (veelterm) waar je mee te maken hebt.

Stappen

Methode 1

Methode 1 van 2:

Eenvoudig integreren

Pdf downloaden

1. 
   1
   De volgende eenvoudige regel voor het integreren werkt voor bijna alle standaard polynomen. Neem de polynoom y = a*x^n.
2. 
   2
   Deel a (de coëfficiënt) door n+1 (de macht + 1) en verhoog de macht met 1. Met andere woorden, de integraal van y = a*x^n is y = (a/n+1)*x^(n+1).
3. 
   3
   Voeg de constante van de integraal C voor onbekende integralen toe, om te corrigeren voor de inherente betekenis ervan met betrekking tot de exacte waarde. Daarom is het uiteindelijke antwoord in dit geval y = (a/n+1)*x^(n+1) + C.

   • Denk er als volgt over na: wanneer je de afgeleide berekent van een functie, dan worden constanten gewoon weggelaten uit het uiteindelijke antwoord. Daarom is het altijd mogelijk dat de integraal van een functie een arbitraire constante heeft.
4. 
   4
   Integreer afzonderlijke delen van een functie met de regel. Bijvoorbeeld, de integraal van y = 4x^3 + 5x^2 +3x is (4/4)x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C = x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C.
   Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

Andere regels

Pdf downloaden

1. 
   1
   Dezelfde regels gelden niet bij x^-1, of 1/x. Wanneer je een variabele tot de macht -1 integreert, dan is de integraal de natuurlijke logaritme van de variabele. Met andere woorden, de integraal van (x+3)^-1 is ln(x+3) + C.
2. 2
   De integraal van e^x is altijd gelijk aan zichzelf. De integraal van e^(nx) is 1/n * e^(nx) + C; aldus is de integraal van e^(4x) gelijk aan 1/4 * e^(4x) + C.
3. 
   3
   Het integreren van goniometrische functies vereist het leren van bepaalde integralen. Onthoud de volgende integralen:

   • De integraal van cos(x) is sin(x) + C.
     
   • De integraal van sin(x) is -cos(x) + C. (let op het minteken!)
     
   • Met deze twee regels kun je de integraal van tan(x) uitrekenen, die equivalent is aan sin(x)/cos(x). Het antwoord is -ln|cos x| + C – controleer je werk!
     
4. 
   4
   Bij complexere polynomen zoals (3x-5)^4, zal je moeten leren integreren door substitutie. Deze techniek introduceert een variabele, zoals de letter u, welke staat voor een veelterm met variabelen, zoals 3x-5, om het proces te vereenvoudigen, terwijl toch dezelfde regels voor het integreren worden toegepast.
5. 
   5
   Om twee functies die met elkaar zijn vermenigvuldigd te integreren, zal je moeten leren hoe je in delen kunt integreren.
   Advertentie