二等辺三角形の面積を求める方法

二等辺三角形とは二つの辺の長さが等しい三角形を意味しています。どちらの辺も必ず同じ角度で底辺（三つ目の辺）と接し、底辺の中央の真上の位置で交わります。^{[1]X出典文献} 定規と同じ長さの鉛筆を2本用意して、実際に三角形を作ってみましょう。片側に傾くと鉛筆が交わらず必然的に三角形が完成しないはずです。二等辺三角形のこうした性質を利用して、限られた情報を元に面積を求められるようになりましょう。

方法 1

方法 1 の 2:

辺の長さをもとに面積を求める

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平行四辺形の面積について考える　正方形や長方形といった、二組の平行な辺からなる四辺の形状はすべて平行四辺形です。平行四辺形の面積（A）は簡単な計算式で求めることができます。底辺（b）と高さ（h）をかけるので、A = bhとなります。^{[2]X出典文献}平行四辺形においては、平面に置いた際に触れている辺が底辺、その辺から垂直に伸びた線の距離が高さです。つまり、底辺に接した辺から対になっている辺までの距離が高さとなります。必ず底辺から直角に伸びる線の長さを測るようにしましょう。
- 正方形や長方形の場合は、縦に伸びている辺が地面に垂直に接しているので高さとなります。
この二つの形状には非常に分かりやすい関係が一つあります。いかなる平行四辺形も対角線上に半分に切り分けると二つの二等辺三角形になります。同様に、同じ三角形を二つつなぎ合わせると必ず平行四辺形になります。つまり、三角形の面積は、A = ½bhという公式（平行四辺形の半分という考え方）で求めることができます。^{[3]X出典文献}
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二等辺三角形の底辺を見つける　面積を求める公式は分かりましたが、実際に三角形が目の前にあるとして、どの辺が底辺となり、どの距離が高さとなるのでしょうか？底辺は容易に識別することができます。三つの辺の内、一つだけ長さが異なるものが底辺です。
- 例えば、5㎝、5㎝、6㎝という辺で構成された二等辺三角形の場合は、6㎝の辺が底辺となります。
- 三辺共に長さが等しい場合（正三角形）、どの辺を底辺にしても面積に変わりはありません。正三角形は、特殊な二等辺三角形ですが、面積の求め方は同じです。^{[4]X出典文献}
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底辺から反対側の頂点まで線を引く　底辺に対して垂直に引きましょう。この線の長さが三角形の高さ（h）となります。高さも分かれば、面積を求める準備が整いました。
- 二等辺三角形においては、この直線は常に底辺の中央に接しています。^{[5]X出典文献}
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二等辺三角形の片側半分に着目する　高さを示す直線によって二等辺三角形が、大きさの等しい二つの直角三角形に分かれているということが分かるでしょう。そのうちの一つに着目し、次のように三辺を把握しましょう。
- 最も短い辺は底辺（b）の半分の長さと等しいので、 ${\frac {b}{2}}$ となります。
- 次に、高さ（h）が含まれていることも分かります。
- 元の二等辺三角形の長さの等しい二つの辺の一つが、直角三角形の斜辺にあたります。これを「s」としましょう。
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ピタゴラスの定理を利用する　直角三角形の三辺のうち二つの長さが分かっているときは、ピタゴラスの定理を用いて三つ目の辺の長さを求めることができます。^{[6]X出典文献} 公式は（辺1）² +（辺2）² = （斜辺）²となります。言い換えると、 $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ $How.com.vn 日本語: {\displaystyle ({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}}$ という計算式を完成させる必要があります。
- ピタゴラスの定理は $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ というように覚えている人も多いでしょう。ここでは混同を避けるために辺1（底辺の半分）、辺2（高さ）、斜辺という言葉で表しています。
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高さ（h）を求める　面積を求める計算式には高さ（h）と底辺（b）の両方が必要ですが、まだ高さが分かっていません。従って、計算式を下記の様に調整しましょう。
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$
  $h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
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数字を当てはめて高さ（h）を求める　この計算式は、辺の長さが分かっている、いかなる二等辺三角形にも用いることができます。底辺（b）および長さの等しい辺（s）の長さを当てはめ、高さ（h）を求めましょう。
- 例えば、5㎝、5㎝、6㎝の三角形は、b = 6 そして s = 5 となります。
- この情報を計算式に当てはめましょう。
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4$ cm となります。
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底辺と高さを面積の計算式に当てはめる　A = ½bh という計算式に必要な情報が揃いました。底辺と高さの情報を当てはめて答えを求めましょう。答えは必ず面積を表す単位で考えましょう（例題では平方センチメートル）。
- 既出の5㎝、5㎝、6㎝の三角形は高さが4㎝ということが分かりました。
- A = ½bh
  A = ½(6cm)(4cm)
  A = 12cm² となります。
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より複雑な例題に取り組む　二等辺三角形に関する問題は、一般的に上記の例題よりも複雑です。高さにルート記号が含まれていて、すっきりとした整数に直すことができないこともあります。このような場合は、できるところまで単純化して計算に用いましょう。下記はその一例です。
- 8㎝、8㎝、4㎝の辺からなる三角形の面積を求めましょう。
- 4㎝の辺を底辺（b）とします。
- 高さは $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$ となります。
- 因数を見つけてルート記号の中身を単純化しましょう。 $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}$ となります。
- 面積は $={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}$ となります。
- 答えは、上記のまま、あるいは計算機を用いて少数に変換して提示しましょう。変換すると約15.49cm²となるはずです。
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方法 2

方法 2 の 2:

三角法を用いる

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まず一つの辺と角度から考え始める　三角法を理解していれば、長さが分からない辺が一つあっても二等辺三角形の面積を求めることができます。下記を例題として考えてみましょう。^{[7]X出典文献}
- 二等辺三角形の等しい二つの辺（s）の長さは10㎝と仮定しましょう。
- この二つの辺の間にある角度 θ は120°と仮定しましょう。
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二等辺三角形を二つの直角三角形に分割する　二つの等しい辺の間にある頂点から、底辺に垂直に接する直線を引きましょう。これで大きさの等しい直角三角形が二つできあがりました。
- 角度θ が等しく二分されることになります。直角三角形のどちらも、 ½θ という角が含まれることになります。つまり、(½)(120) = 60°です。
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三角法を利用して高さ（h）を求める　直角三角形ができあがったので、三角法（sin、cos、tan）を用いることが可能になります。この例題では、すでに斜辺の長さが分かっているので、高さ、つまり直角三角形の隣辺の長さがあると良いでしょう。cos = 隣辺÷斜辺という計算式を用いて高さ（h）を求めてみましょう。
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
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残りの辺の長さも求める　これで長さが明らかになっていない辺は残り一つとなったので、これを（x）として考えてみましょう。sin = 対辺÷斜辺という式に当てはめてみます。
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
直角三角形から二等辺三角形に視点を戻しましょう。二等分されていた時の長さがｘだったので、全体の底辺が2xとなることが分かるでしょう。
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高さ（h）と底辺（b）を面積を求める基本の計算式に当てはめる　高さと底辺のどちらもが明らかになったので、 A = ½bhという基本の計算式に当てはめてみましょう。
- $A={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(2x)(10cos60)$
  $=(10sin60)(10cos60)$
  $=100sin(60)cos(60)$
- この状態からさらに電卓を使い（角度に設定）すると約43.3cm²という答えになるでしょう。あるいは三角法を用いたまま単純化し、A = 50sin(120º) と記しても良いでしょう。
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一般的な公式に変換する　答えを求める仕組みが理解できれば、毎回このような手順を踏む必要はありません。ここまでで用いた法則や計算方法を踏まえ、特殊な値を用いたり三角法を元に単純化したりせずとも、下記のような公式で二等辺三角形の面積が求めらえることが分かります。^{[8]X出典文献}
- $A={\frac {1}{2}}s^{2}sin\theta$
- 「s」は二つの等しい辺を指します。
- 「θ」は二つの等しい辺の間にある角を指します。
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ポイント

直角二等辺三角形（長さの等しい二つの辺の間の角が90°になっている三角形）は、さらに容易に面積を求めることができます。短い辺の一つを底辺（b）、もう一つの短い片を高さ（h）としましょう。^{[9]X出典文献} A = ½ bh という公式が単純化され、 ½s² となります（sは短い辺の長さを指します）。
ルート記号の解は正の数、負の数という二つの方法で記されますが、幾何学においては負の数は無視しましょう。長さが負の数になることはあり得ません。
三角法に関する数学問題では、ここで用いた例題とは異なる情報が与えられることもあります。例えば底辺の長さと、角度の一つ、そして二等辺三角形であるという事実、といった組み合わせが考えられます。こうした場合も考え方の基本は変わりません。つまり、二等辺三角形を二等分して二つの直角三角形を作り、三角法を用いて高さを求めましょう。