วิธีการ หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือรูปทรงสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านมีความยาวเท่ากัน ด้านที่เท่ากันสองด้านนี้จะเชื่อมกับฐาน (ด้านที่สาม) ด้วยมุมที่เท่ากันเสมอ และจะบรรจบกันตรงเหนือจุดกึ่งกลางของเส้นฐาน คุณสามารถทดสอบได้ด้วยตัวเองโดยใช้ไม้บรรทัดกับดินสอสองแท่งที่ยาวเท่ากัน หากคุณเบนสามเหลี่ยมไปยังข้างใดข้างหนึ่ง ปลายดินสอก็จะไม่มาบรรจบกัน คุณสมบัติพิเศษของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเหล่านี้ทำให้คุณสามารถคำนวณหาพื้นที่ของมันได้ด้วยข้อมูลเพียงเล็กน้อย

วิธีการ 1

วิธีการ 1 ของ 2:

หาพื้นที่จากความยาวของด้านประกอบฐาน

ดาวน์โหลดบทความ

1
ทบทวนเรื่องพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน. สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังเช่นรูปทรงที่มีสี่ด้านและมีด้านที่ขนานกันสองคู่ รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดล้วนมีสูตรการหาพื้นที่ง่ายๆ คือ พื้นที่ (Area) เท่ากับฐาน (Base) คูณด้วยความสูง (Height) หรือ A = bh^{[1]Xแหล่งข้อมูลอ้างอิง} หากคุณวางรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานลงบนพื้นผิวราบเรียบ ฐานจะเป็นความยาวของด้านที่มันทรงตัวอยู่ ความสูงก็เป็นอย่างที่คุณเข้าใจ นั่นคือ มันสูงจากพื้นเท่าไร หรือระยะทางจากฐานไปยังด้านตรงข้าม โดยจะต้องวัดความสูงเป็นมุมฉาก (90 องศา) กับฐานเสมอ
- ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความสูงจะเท่ากับความยาวของด้านแนวตั้ง เนื่องจากด้านเหล่านี้ตั้งฉากกับพื้น
เปรียบเทียบสามเหลี่ยมกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน. รูปทรงสองแบบนี้มีความสัมพันธ์กันอย่างง่ายๆ แค่ผ่าครึ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นแนวทแยงมุม ก็จะได้สามเหลี่ยมเท่ากันสองรูป เช่นเดียวกันถ้าคุณมีสามเหลี่ยมเท่ากันสองรูป ก็สามารถนำมาประกบกันเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน นั่นหมายความว่า พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปแบบ A = ½bh, คือมีขนาดครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
3
หาฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว. ตอนนี้เมื่อคุณมีสูตรแล้ว “ฐาน” กับ “ความสูง” ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคืออะไรล่ะ ฐานนั้นหาง่ายหน่อย แค่ใช้ด้านที่สาม หรือด้านที่ไม่เท่ากันกับด้านอื่นๆ ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
- ตัวอย่าง หากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านที่ยาว 5 ซม., 5 ซม., และ 6 ซม. ก็ให้ใช้ 6 ซม. เป็นฐาน
- หากรูปสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันทั้งสามด้าน (สามเหลี่ยมด้านเท่า) คุณสามารถเลือกด้านไหนมาเป็นฐานก็ได้ สามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปพิเศษของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แต่คุณสามารถหาพื้นที่ได้ด้วยวิธีเดียวกัน ^{[2]Xแหล่งข้อมูลอ้างอิง}
4
ลากเส้นระหว่างฐานไปยังจุดยอดด้านตรงข้าม. ให้แน่ใจว่าเส้นนั้นตั้งฉากกับฐาน ความยาวของเส้นนี้ก็คือความสูงของสามเหลี่ยม ดังนั้นมันจึงเป็น h พอคุณคำนวณค่าของ h ได้แล้ว คุณก็สามารถหาพื้นที่ได้
- ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วนั้น เส้นที่ว่านี้จะบรรจบฐานตรงจุดกึ่งกลางของเส้นฐานเสมอ
5
ดูที่ครึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว. จะสังเกตเห็นว่าเส้นความสูงแบ่งสามเหลี่ยมหน้าจั่วนั้นออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันสองรูป ดูที่ครึ่งหนึ่งที่ถูกแบ่งนั้น และระบุด้านทั้งสามด้าน:
- ด้านที่มีขนาดสั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน: ${\frac {b}{2}}$
- ด้านที่สั้นอีกด้านหนึ่งคือความสูง, h
- ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเป็นหนึ่งในสองด้านที่เท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ขอเรียกมันเป็น s
6
ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัส. เมื่อไหร่ก็ตามที่คุณทราบด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากและต้องการจะหาด้านที่สาม คุณสามารถใช้ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัส: (ด้าน 1)² + (ด้าน 2)² = (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)² แทนค่าตัวแปรที่เราใช้ในโจทย์ก็จะได้ $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ $How.com.vn ไท: ({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$
- คุณอาจเคยเรียนทฤษฎีบทของพีธากอรัสว่า $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ การเขียนมันเป็น "ด้าน" กับ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" จะช่วยป้องกันความสับสนกับตัวแปรต่างๆ
7
แก้โจทย์หา h. จำได้ไหมว่าสูตรการหาพื้นที่ใช้ b กับ h, แต่คุณยังไม่ทราบค่าของ h ให้เขียนสมการใหม่เพื่อหา h:
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$
  $h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
8
แทนค่าในสามเหลี่ยมเพื่อหา h. ตอนนี้เมื่อคุณทราบสูตร ก็สามารถใช้สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่คุณทราบความยาวด้าน แค่แทนความยาวของฐานลงใน b และความยาวของด้านใดด้านหนึ่งที่เท่ากันเป็น s, จากนั้นคำนวณหาค่าของ h
- ตัวอย่าง คุณมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านยาว 5 ซม., 5 ซม., และ 6 ซม. b = 6 และ s = 5
- แทนค่าเหล่านี้ลงไปในสูตร:
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4$ cm
9
แทนค่าฐานกับความสูงลงไปในสูตรหาพื้นที่. ตอนนี้คุณมีทุกอย่างที่จะใช้สูตรตามที่บอกตอนต้นของส่วนนี้: A = ½bh แค่แทนค่าของ b กับ h ที่หามาลงไปในสูตรและคำนวณหาคำตอบ จำไว้ว่าคำตอบต้องมีหน่วยเป็นตารางหน่วย
- จากตัวอย่างที่ว่ามา สามเหลี่ยม 5-5-6 จะมีฐานยาว 6 ซม. กับความสูง 4 ซม.
- A = ½bh
  A = ½(6cm)(4cm)
  A = 12cm²
10
ลองตัวอย่างที่ยากขึ้น. สามเหลี่ยมหน้าจั่วส่วนมากจะมีความยากกว่าตัวอย่างที่แล้ว ความสูงมักจะติดรากที่สองซึ่งไม่สามารถทอนเป็นจำนวนเต็ม หากเป็นเช่นนั้น ให้ทอนความสูงที่ติดรากที่สองให้อยู่ในรูปแบบเศษส่วนอย่างต่ำ ตามตัวอย่างดังนี้:
- พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเท่ากับ 8 ซม., 8 ซม., และ 4 ซม. เป็นเท่าไร
- ใช้ด้านที่ยาวไม่เท่ากับด้านอื่นเป็นฐาน ซึ่งก็คือ 4 ซม. เป็น b
- ความสูง $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$
- ทอนรากที่สองโดยการหาตัวประกอบ: $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}.$
- พื้นที่ $={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}$
- ทิ้งคำตอบไว้อย่างนั้น หรือใช้เครื่องคิดเลขหาค่าทศนิยมโดยประมาณ (ราว 15.49 ตารางเซนติเมตร)
โฆษณา

วิธีการ 2

วิธีการ 2 ของ 2:

ใช้ตรีโกณมิติ

ดาวน์โหลดบทความ

1
เริ่มด้วยด้านหนึ่งด้านกับมุมหนึ่งมุม. หากคุณรู้ตรีโกณมิติอยู่บ้าง คุณสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้แม้จะไม่ทราบความยาวของด้านสามเหลี่ยม ตัวอย่างโจทย์ต่อไปนี้มีข้อมูลให้แค่เพียง:^{[3]Xแหล่งข้อมูลอ้างอิง}
- ความยาว s ของด้านที่เท่ากันสองด้านคือ 10 ซม.
- มุม θ ระหว่างด้านที่เท่ากันนั้นคือ 120 องศา
2
แบ่งสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป. ลากเส้นลงมาจากมุมยอดระหว่างด้านที่เท่ากันสองด้านลงมาแตะเส้นฐานเป็นมุมฉาก ตอนนี้คุณจะมีสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป
- เส้นที่ว่านี้จะแบ่งมุม θ ครึ่งหนึ่งพอดี สามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูปจะมีมุม ½θ, หรือในกรณีนี้คือ (½)(120) = 60 องศา
3
ใช้ตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของ h. ตอนนี้เมื่อได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถใช้หลักตรีโกณมิติทั้งไซน์, โคไซน์ และแทนเจนท์ ในโจทย์ตัวอย่างนั้น คุณทราบด้านตรงข้ามมุมฉาก และต้องการหาค่าของ h, หรือด้านที่ประชิดมุมที่ทราบค่า ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าโคไซน์ = ด้านประชิด/ ด้านตรงข้ามมุมฉากเพื่อหาค่า h:
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
4
หาค่าของด้านที่เหลือ. ยังมีด้านที่เราไม่ทราบค่าเหลืออีกหนึ่งด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเราจะแทนที่ด้วย x หาค่าของมันโดยการใช้นิยามของไซน์ = ด้านตรงข้าม /ด้านตรงข้ามมุมฉาก:
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
หาความสัมพันธ์ x กับฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว. ตอนนี้คุณสามารถ"ถอยออกมา"ยังสามเหลี่ยมหน้าจั่วหลัก ฐานรวมของมันหรือ b จะเท่ากับ 2x, เนื่องจากมันถูกแบ่งครึ่งเท่ากันด้วยระยะความยาวของ x
6
แทนค่าสำหรับ h กับ b ลงไปในสูตรหาพื้นที่. ตอนนี้คุณทราบฐานและความสูง คุณสามารถใช้สูตรการหาพื้นที่มาตรฐาน A = ½bh:
- $A={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(2x)(10cos60)$
  $=(10sin60)(10cos60)$
  $=100sin(60)cos(60)$
- คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลข (ตั้งค่าเป็นองศา) ซึ่งจะให้คำตอบประมาณ 43.3 ตารางเซนติเมตร หรืออีกทางเลือกให้ใช้คุณสมบัติตรีโกณมิติทอนมันเป็น A = 50sin(120º)
7
เปลี่ยนมันเป็นสูตรที่ใช้ได้ทั่วไป. ตอนนี้เมื่อคุณทราบว่าแก้โจทย์ได้อย่างไร คุณก็สามารถยึดเป็นสูตรทั่วไปโดยไม่ต้องย้อนไปทำครบกระบวนการทุกครั้ง หากคุณทำกระบวนการนี้ซ้ำโดยไม่ใช้ค่าจำเพาะบางค่า (และทอนลงโดยใช้คุณสมบัติทางตรีโกณมิติ) ก็จะได้ออกมาดังนี้:^{[4]Xแหล่งข้อมูลอ้างอิง}
- $A={\frac {1}{2}}s^{2}sin\theta$
- s เป็นความยาวของหนึ่งในด้านที่มีความยาวเท่ากัน
- θ คือมุมระหว่างด้านที่เท่ากันสองด้านนั้น
โฆษณา

เคล็ดลับ

หากคุณมีสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว (มีด้านเท่ากันสองด้านและมีมุมฉาก) จะหาพื้นที่ได้ง่ายขึ้น หากคุณใช้ด้านที่สั้นกว่าด้านหนึ่งเป็นฐาน ด้านที่สั้นกว่าอีกด้านเป็นความสูง สูตรการหาพื้นที่ A = ½ b * h สามารถทอนเป็น ½s², โดยที่ s คือความยาวของด้านที่สั้นกว่า
จำนวนรากที่สองจะมีสองคำตอบ หนึ่งเป็นจำนวนบวกและอีกหนึ่งเป็นจำนวนลบ แต่คุณสามารถเมินคำตอบที่เป็นค่าลบในเรขาคณิตไปได้เลย เพราะคุณไม่สามารถมีรูปสามเหลี่ยมที่มี "ความสูงเป็นลบ" ได้
โจทย์ตรีโกณมิติบางข้ออาจให้ข้อมูลด้านอื่น เช่น ความยาวของฐานและมุมหนึ่งมุม (และข้อเท็จจริงที่ว่ามันคือรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) กลยุทธการแก้โจทย์ก็ยังเหมือนเดิม: แบ่งสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปแล้วหาความสูงโดยใช้หลักตรีโกณมิติ

โฆษณา