Como Descobrir a Área de um Triângulo Isósceles

O triângulo isósceles tem dois lados iguais, que sempre se encontram no mesmo ângulo em relação à base (o terceiro lado) e diretamente acima do meio dela. Para determinar se um objeto do tipo é mesmo isósceles, basta usar uma régua e dois lápis de comprimento igual: se tentar inclinar a forma geométrica em qualquer direção, as pontas dos grafites não vão se encontrar. Devido a essas propriedades especiais, é possível calcular a área de um triângulo isósceles a partir de algumas informações básicas.

Método 1

Método 1 de 2:

Determinando a área a partir do comprimento dos lados

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Pense na área do paralelogramo. Qualquer objeto que tenha duas duplas de lados paralelos e um total de quatro lados — como quadrados e retângulos — são paralelogramos. Todas as formas do tipo têm a mesma fórmula simples de área: base vezes altura, ou A = b * h.^{[1]XFonte de pesquisa} Se o objeto é colocado em uma superfície horizontal, a base corresponde ao comprimento do lado sobre o qual ele se apoia. A altura, por sua vez, é a distância da base ao topo, afastando-se da superfície em si. Sempre meça esse valor em um ângulo reto (90°) em relação à base.
- Em quadrados e retângulos, a altura é igual ao comprimento de um dos lados verticais, já que eles ficam em ângulo reto em relação à base.
A relação entre essas duas formas é simples: se cortado diagonalmente ao meio, qualquer paralelogramo dá origem a dois triângulos iguais. O oposto também é válido: quando há dois triângulos idênticos, pode-se juntá-los para formar um paralelogramo. Nesse sentido, a fórmula da área de qualquer triângulo é A = b * h / 2 — exatamente metade do tamanho de um paralelogramo correspondente.
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Determine o valor da base do triângulo isósceles. Com a fórmula em mãos, é hora de pensar: o que exatamente "base" e "altura" significam em relação ao triângulo? A base é fácil, já que corresponde ao único lado de medidas diferentes da forma.
- Por exemplo: em um triângulo isósceles de lados que meçam 5, 5 e 6 cm, a base é o lado de 6.
- Se o triângulo tiver lados iguais (equilátero), qualquer um deles pode ser a base. Triângulos equiláteros são um tipo especial de isósceles, mas pode-se usar a mesma fórmula da área.^{[2]XFonte de pesquisa}
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Desenhe uma linha entre a base e o vértice oposto (o ângulo reto). Ela vai determinar a altura do objeto; marque-a com a letra h. Após calcular o valor de h, você vai poder determinar a área.
- No triângulo isósceles, essa linha sempre fica no meio exato da base.
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Examine uma das metades do triângulo isósceles. Veja que a linha da altura dividiu o objeto em dois triângulos retângulos idênticos. Identifique os três lados de um deles:
- Um dos lados menores equivale à metade da base: ${\frac {b}{2}}$ .
- O outro lado menor equivale à altura (h).
- A hipotenusa do triângulo retângulo é um dos dois lados iguais do isósceles. Aqui, pode ser identificada como s.
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Monte o Teorema de Pitágoras. Sempre que tiver o valor de dois lados de um triângulo retângulo, você pode usar o teorema para determinar o terceiro: (cateto/lado 1)² + (cateto/lado 2)² = (hipotenusa)². Colocando as variáveis deste problema em seus devidos lugares, a conta fica assim: $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ $How.com.vn Português: ({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .
- Você provavelmente viu o Teorema de Pitágoras na escola como $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Escrevê-lo como "catetos" e "hipotenusa" evita confusão com as variáveis do triângulo.
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Determine o valor de h. Lembre-se de que a fórmula da área usa b e h, mas que você ainda não tem o valor de h. Transforme-a para encontrar a solução:
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$
  $h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$ .
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Monte a equação com os valores do triângulo para determinar h. Agora que sabe que fórmula usar, você pode aplicá-la a qualquer triângulo isósceles cujos lados já conhece. Basta colocar o valor da base no lugar de b e um dos lados iguais em s.
- Por exemplo: se tiver um triângulo isósceles de lados com 5, 5 e 6 cm, faça: b = 6 e s = 5.
- Substitua-os na fórmula:
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4$ cm.
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Monte a equação da área com os valores da base e da altura. Agora, você tem os dados necessários para usar a fórmula apresentada no início desta seção: área = b * h / 2. Basta colocar os valores de b e h nela para encontrar a resposta, que deve estar em unidades quadradas (metros, centímetros etc. quadrados).
- Ainda no exemplo do triângulo de 5, 5 e 6 cm, a base teria 6 cm e a altura valeria 4.
- A = b * h / 2
  A = (6 cm) * (4 cm) / 2
  A = 12cm².
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Tente determinar a área de um exemplo mais difícil. A maioria dos problemas que envolvem triângulos isósceles é mais complicada que o exemplo acima. A altura costuma ser informada em raiz quadrada, e, assim, não é possível simplificá-la para um número inteiro. Se for o caso, tente ao menos simplificar a própria raiz. Veja:
- Qual a área de um triângulo cujos lados medem 8, 8 e 4 centímetros?
- Use o lado de medida diferente, 4 cm, como a base (b).
- Altura $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$
- Fatore a raiz quadrada para simplificá-la: $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}.$
- Área $={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}$
- Deixe a resposta assim ou digite-a em uma calculadora para encontrar um valor decimal aproximado (cerca de 15,49 centímetros quadrados).
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Método 2

Método 2 de 2:

Usando propriedades trigonométricas

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Comece com um lado e um ângulo. Se entender de trigonometria, você pode determinar a área do triângulo isósceles mesmo que não tenha o valor dos lados. Veja o exemplo abaixo:^{[3]XFonte de pesquisa}
- Os dois lados iguais têm comprimento (s) de 10 centímetros.
- O ângulo θ entre os dois lados iguais é de 120°.
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Divida o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos. Desenhe uma linha do vértice entre os lados iguais à base do ângulo reto para gerar duas formas de mesma área.
- Essa linha divide θ ao meio. Cada metade tem um ângulo de θ / 2 — neste caso, 120 / 2 = 60°.
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Use propriedades trigonométricas para determinar o valor de h. Agora que tem um triângulo retângulo, você pode usar as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. No exemplo, temos a hipotenusa e queremos descobrir o valor de h, o lado adjacente ao ângulo cujo comprimento já conhecemos. Use o fato de que cosseno = ângulo adjacente / hipotenusa para encontrar a resposta:
- Cos(θ / 2) = h / s
- Cos(60°) = h / 10
- H = 10cos(60°)
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Descubra o valor do lado restante. Ainda resta um valor a ser determinado, que pode ser chamado de x. Resolva-o usando a definição seno = ângulo oposto / hipotenusa:
- Sen(θ / 2) = x / s
- Sen(60°) = x / 10
- X = 10sen(60°)
Agora, você pode analisar toda a figura. Sua base total, b, é igual a 2x, já que foi dividida em dois segmentos, cada um valendo x.
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Leve os valores de b e h à fórmula básica da área. Agora que tem a base e a altura, você pode usar A = b * h / 2.
- A = b * h / 2
  = (2x) * (10cos60°) / 2
  = (10sen60°) * (10cos60°)
  = 100sen(60°)cos(60°)</math>
- Se preferir, passe os valores para uma calculadora (em graus) para chegar à resposta de 43,3 centímetros quadrados ou use propriedades trigonométricas para simplificar a expressão para A = 50sen(120°).
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Transforme a fórmula em algo universal. Agora que sabe como resolver o problema, você pode usar a fórmula geral sem passar por todo o processo a cada exercício. Se seguir estes Passos sem usar valores específicos (e simplificar tudo usando propriedades trigonométricas), vai chegar ao seguinte resultado:^{[4]XFonte de pesquisa}
- A = s² * senθ
- S é o comprimento de um dos dois lados iguais.
- θ é o ângulo que fica entre os dois lados iguais.
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Dicas

É mais fácil determinar a área de um triângulo retângulo isósceles (dois lados iguais e um ângulo de 90°). Você pode usar um dos lados menores como a base e o outro como a altura. Agora, a fórmula A = b * h / 2 vai ficar simplificada como s² / 2, em que s é o comprimento de um dos lados menores.
Raízes quadradas têm duas soluções, uma positiva e outra negativa. Na geometria, pode-se ignorar a raiz negativa, já que não existe triângulo com "altura negativa", por exemplo.
Alguns problemas de trigonometria podem dar outras informações no enunciado, como o comprimento da base e um ângulo (e o fato de que o triângulo é isósceles). A estratégia básica é a mesma: divida o triângulo isósceles em dois retângulos e determine a altura usando funções trigonométricas.