Come Semplificare un Radicale

Un radicale è un'espressione algebrica che include al suo interno il simbolo di radice (quadrata, cubica o di un grado superiore). Spesso, queste espressioni descrivono lo stesso numero anche se appaiono in una forma estremamente differente fra loro (ad esempio l'espressione ${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}$ è uguale a ${\sqrt {2}}+1$ ). L'approccio corretto, quando si lavora con i radicali (o con espressioni matematiche che li contengono) consiste nel cercare di definirli o di ricondurli alla loro "forma canonica". Se, dopo aver semplificato due espressioni algebriche nella loro forma canonica, esse appaiono comunque differenti, significa semplicemente che sono realmente diverse. I matematici sono tutti d'accordo nell'affermare che la forma canonica in cui dovrebbero essere descritti i radicali e le espressioni algebriche che li contengono dovrebbe rispettare queste regole:

All'interno del simbolo di radice non dovrebbero essere presenti frazioni;
Non si dovrebbe usare esponenti frazionari;
Non dovrebbero essere presenti radicali al denominatore di una frazione;
Non si dovrebbe moltiplicare un radicale per un altro radicale;
All'interno di una radice non dovrebbero essere presenti altre radici.

Questa semplice guida può risultare utile quando occorre affrontare dei test che prevedono quesiti con risposte multiple. Dopo aver individuato la soluzione al problema proposto, se quest'ultima non coincide con nessuna di quelle fornite dal testo del problema, prova semplicemente a riscriverla in forma canonica. Dato che gli esperti che creano i test di esame normalmente riportano le soluzioni ai problemi proposti in forma canonica, facendo altrettanto ti accorgerai che se la tua risposta è corretta apparirà identica a quella proposta. Nei test a risposta libera, espressioni come "semplificare la propria soluzione" o "è richiesto di semplificare tutti i radicali" significano che è richiesta l'applicazione dei passaggi descritti in questa guida per scrivere le soluzioni calcolate nella forma canonica illustrata in precedenza. La forma canonica può essere usata anche quando si lavora con le equazioni, ma in questo caso potrebbe risultare più semplice usare una forma non canonica.

Passaggi

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Se necessario, ripassa le regole matematiche riguardanti la gestione dei radicali e delle potenze (si tratta dello stesso argomento, dato che i radicali sono in realtà potenze frazionarie) dato che si tratta di un argomento fondamentale per poter comprendere appieno il contenuto di questo articolo. Ripassa anche i principi per la gestione e la semplificazione dei polinomi e delle espressioni razionali, dato che sono fondamentali in matematica per eseguire le semplificazioni.
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Metodo 1

Metodo 1 di 6:

Potenze Perfette

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Semplifica qualunque espressione radicale che rappresenta un quadrato perfetto. Con il termine "quadrato perfetto" si fa riferimento al prodotto di un qualunque numero per se stesso: ad esempio 81 è il prodotto di 9 x 9. In questo caso la semplificazione è molto semplice, in quanto basta eliminare il simbolo di radice e riportare il numero che rappresenta la radice quadrata del quadrato perfetto in esame.
- Ad esempio, 121 è un quadrato perfetto perché è il prodotto di 11 x 11. È quindi possibile sostituire l'espressione ${\sqrt {121}}$ con il numero 11.
- Per semplificare ulteriormente l'apprendimento di questo processo, è necessario memorizzare la serie dei primi dodici quadrati perfetti: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.
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Semplifica qualunque radicale che rappresenta un cubo perfetto. Un cubo perfetto rappresenta il prodotto di un qualunque numero moltiplicato due volte per se stesso. Ad esempio, 27 è il risultato di 3 x 3 x 3. Per semplificare un radicale che rappresenta un cubo perfetto, basta semplicemente eliminare il segno di radice e riportare il numero che rappresenta la radice cubica del cubo perfetto.
- Ad esempio, il numero 343 è un cubo perfetto perché deriva dal prodotto di 7 x 7 x 7. Quindi la radice cubica di 343 risulta essere semplicemente 7.
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Metodo 2

Metodo 2 di 6:

Convertire una Potenza con Esponente Razionale in un Radicale

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Se si preferisce, è possibile eseguire la conversione inversa, cioè trasformare un radicale in una potenza (a volte ci sono ottimi motivi per eseguire un'operazione di questo tipo); l'importante è non utilizzare potenze con esponenti frazionari e radicali, come ad esempio ${\sqrt {5}}+5^{\frac {3}{2}}$ , all'interno di un'unica espressione. In questo articolo si presuppone che tu decida di utilizzare la notazione radicale e quindi di usare l'espressione ${\sqrt {n}}$ per indicare la radice quadrata di $n$ e ${\sqrt[{3}]{n}}$ per indicare la radice cubica di $n$ .

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Individua tutti gli esponenti frazionari e convertili nella rispettiva forma radicale utilizzando la seguente identità $x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x}}^{a}$ .
- Se hai una radice con indice frazionario, cerca di semplificare anche questo tipo di termini. Ad esempio, la ${\sqrt[{\frac {2}{3}}]{4}}$ può essere scritta come $({\sqrt {4}})^{3}$ cioè $2^{3}$ , che è uguale a 8.
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Converti le potenze con esponenti negativi nella loro forma frazionaria equivalente utilizzando la seguente regola $x^{-y}={\frac {1}{x^{y}}}$ .
- Questo principio si applica solo alle costanti e agli esponenti razionali. Se hai un termine come $2^{x}$ , lascialo nella sua forma originale anche se il contesto del problema indica che $x$ potrebbe essere un esponente frazionario o negativo.
per poi semplificare ogni radicale che risulta da tale operazione.
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Metodo 3

Metodo 3 di 6:

Eliminare le Frazioni dai Radicali

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La forma canonica dei radicali richiede di esprimere la radice di una frazione come una frazione di radici di numeri interi.

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Nel caso presentino delle frazioni, sostituiscile con la frazione composta da due radicali distinti utilizzando la seguente identità: ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {{\frac {a}{b}}}}={\frac {{\sqrt {a}}}{{\sqrt {b}}}}$ .
- Non eseguire questa sostituzione se il denominatore della frazione è negativo o se si tratta di un'espressione variabile il cui valore potrebbe essere negativo. In questo caso, inizia con il semplificare la frazione.
Ad esempio, l'espressione ${\sqrt {\frac {5}{4}}}$ può essere riscritta come ${\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {4}}}$ , che può essere semplificata in ${\frac {\sqrt {5}}{2}}$ .
Esegui qualunque altra semplificazione utile per raggiungere la soluzione finale del problema, per esempio ridurre le frazioni complesse, combinare fra loro i termini simili ecc.
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Metodo 4

Metodo 4 di 6:

Eseguire le Moltiplicazioni fra Radicali

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Se devi affrontare un'espressione matematica in cui è presente un prodotto fra radicali, combinali per ottenere un singolo radicale utilizzando questa proprietà: ${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {a\times b}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {a\times b}}$ . Ad esempio, riscrivi la seguente espressione matematica ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}$ nella forma ${\sqrt {12}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {12}}$ .
- L'uguaglianza descritta nel passaggio precedente, ${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {a\times b}}$ , è valida solo nel caso di radicandi positivi. Non può essere applicata se $a$ e $b$ sono negativi, dato che implicherebbe erroneamente che la seguente uguaglianza sia vera: ${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}$ . Il membro sinistro dell'equazione, per definizione, è pari a -1 (nel caso non si conoscano o si rifiuti l'esistenza dei numeri complessi, tale valore è indefinito), mentre il membro di destra è pari a 1. Se uno dei radicandi $a$ o $b$ è negativo o se lo sono entrambi, prima di tutto occorre modificarne il segno utilizzando la seguente regola: ${\sqrt {-5}}=i\times {\sqrt {5}}$ . Se il radicando è un'espressione variabile, il cui segno non può essere dedotto dal contesto problema (e quindi può essere sia positivo che negativo), per il momento non eseguire alcuna operazione. In questo caso puoi utilizzare la seguente identità generale ${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {\pm {a}}}\times {\sqrt {\pm {b}}}\times {\sqrt {|a\times b|}}$ , che è valida per l'insieme di tutti i numeri reali assunti da $a$ e $b$ , ma che normalmente non introduce la complessità del dover gestire il segno dei radicandi.
- Questa identità può essere applicata solo se i radicali coinvolti hanno tutti lo stesso indice. In generale, è possibile moltiplicare fra loro radicali di qualunque tipo, come ad esempio ${\sqrt {5}}\times {\sqrt[{3}]{7}}$ , ma occorre prima riscriverli in modo che abbiano tutti lo stesso indice. Per farlo, si possono convertire le radici in potenze con esponenti frazionari. Nel nostro esempio otterremo ${\sqrt {5}}\times {\sqrt[{3}]{7}}=5^{\frac {1}{2}}\times 7^{\frac {1}{3}}=5^{\frac {3}{6}}\times 7^{\frac {2}{6}}=125^{\frac {1}{6}}\times 49^{\frac {1}{6}}$ . A questo punto, è possibile applicare le proprietà della moltiplicazione per ottenere come risultato finale ${\sqrt[{6}]{6125}}$ .

Metodo 5

Metodo 5 di 6:

Estrarre da un Radicale i Fattori del Radicando

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Scomponi un radicale imperfetto nei suoi fattori primi. I fattori rappresentano i numeri che, se moltiplicati fra loro, danno come risultato il numero originale. Ad esempio, i numeri 5 e 4 sono due fattori del numero 20. Per scomporre un radicale imperfetto nei suoi fattori, inizia con l'elencare tutti i divisori del radicando (nel caso di un numero molto grande, prendi nota di tutti quelli che riesci a individuare) finché non individui un fattore che rappresenta un quadrato perfetto.
- Ad esempio, prova a elencare tutti i fattori del numero 45: 1, 3, 5, 9, 15 e ovviamente 45. Noterai subito che il numero 9, oltre a essere un fattore di 45, è anche un quadrato perfetto perché $9=3^{2}$ e $9\times 5=45$ .
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Estrai dal segno di radice qualunque fattore che rappresenta un quadrato perfetto. Il numero 9 è un quadrato perfetto perché 9 è il risultato di $3\times 3$ $How.com.vn Italiano: 3\times 3$ . Porta il numero 9 fuori dal segno di radice trasformandolo in 3 e lasciando all'interno il numero 5. Se hai la necessità di riportare il numero 3 all'interno del radicale, dovrai elevarlo al quadrato per trasformarlo nuovamente nel numero 9 (nel caso di una radice con indice 2). A questo punto, puoi moltiplicarlo per 5 per ottenere il radicando originale, cioè 45. L'espressione $3{\sqrt {5}}$ $How.com.vn Italiano: 3{\sqrt {5}}$ è un modo più semplice di esprimere il radicale ${\sqrt {45}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {45}}$ .
- Il processo completo è il seguente ${\sqrt {45}}={\sqrt {9\times 5}}={\sqrt {9}}\times {\sqrt {5}}=3{\sqrt {5}}$ .
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Ricerca un quadrato perfetto all'interno di una variabile. La radice quadrata di $a^{2}$ $How.com.vn Italiano: a^{{2}}$ dovrebbe essere uguale al suo valore assoluto, cioè $|a|$ $How.com.vn Italiano: |a|$ . Puoi semplificarlo ulteriormente indicando semplicemente $a$ $How.com.vn Italiano: a$ , solo se sai che tale variabile ha segno positivo. L'espressione ${\sqrt {a^{3}}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {a^{{3}}}}$ può essere scomposta in ${\sqrt {a}}\times a$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {a}}\times a$ . Questo è possibile perché quando si esegue il prodotto fra variabili uguali si somma l'esponente, quindi $a^{2}\times a$ $How.com.vn Italiano: a^{{2}}\times a$ è uguale a $a^{3}$ $How.com.vn Italiano: a^{{3}}$ .
- Da questo si deduce che all'interno di $a^{3}$ è presente il quadrato perfetto $a^{2}$ .
A questo punto, è possibile portare fuori dalla radice la variabile $a^{2}$ trasformandola in |a|. La forma semplificata di $a^{3}$ è $|a|{\sqrt {a}}$ .
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Metodo 6

Metodo 6 di 6:

Razionalizzare il Denominatore

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La forma canonica dei radicali richiede che, ove possibile, il denominatore dell'espressione debba essere un numero intero (o un polinomio, se risulta essere un valore indeterminato).

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- Se il denominatore dell'espressione in esame è composto da un solo termine sotto radice, come ad esempio ${\frac {[numeratore]}{\sqrt {5}}}$ $How.com.vn Italiano: {\frac {[numeratore]}{{\sqrt {5}}}}$ , è possibile moltiplicare sia il numeratore sia il denominatore per il radicale in esame ottenendo ${\frac {[numeratore]\times {\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}}}$ $How.com.vn Italiano: {\frac {[numeratore]\times {\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}}}$ = ${\frac {[numeratore]\times {\sqrt {5}}}{5}}$ $How.com.vn Italiano: {\frac {[numeratore]\times {\sqrt {5}}}{5}}$ .
  - Nel caso di radici cubiche o di indice superiore, per razionalizzare correttamente il denominatore occorre moltiplicarle per il radicale con indice corretto. Se al denominatore è presente l'espressione ${\sqrt[{3}]{5}}$ , occorrerà moltiplicare sia il numeratore sia il denominatore della frazione per ${\sqrt[{3}]{5}}^{2}$ .
- Se il denominatore è composto dalla somma o dalla differenza di radici quadrate, ad esempio ${\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ , dovrai procedere moltiplicando il numeratore e il denominatore per il suo complesso coniugato, cioè la medesima espressione, ma che utilizza l'operatore opposto. Si ottiene quindi ${\frac {[numeratore]}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}}={\frac {[numeratore]\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}$ $How.com.vn Italiano: {\frac {[numeratore]}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}}={\frac {[numeratore]\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}$ . A questo punto, per razionalizzare il denominatore di tale espressione si può fare ricorso all'identità relativa alla differenza fra radici quadrate $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ $How.com.vn Italiano: (a+b)(a-b)=a^{{2}}-b^{{2}}$ ottenendo $({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})=({\sqrt {2}})^{2}-({\sqrt {6}})^{2}=2-6=-4$ $How.com.vn Italiano: ({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})=({\sqrt {2}})^{{2}}-({\sqrt {6}})^{2}=2-6=-4$ .
  - Questo approccio è funzionale nel caso di denominatori come $5+{\sqrt {3}}$ anche perché ogni numero intero può essere visto come la radice quadrata di un altro numero intero. Eccone un esempio pratico: ${\frac {1}{5+{\sqrt {3}}}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{(5+{\sqrt {3}})\times (5-{\sqrt {3}})}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{5^{2}-{\sqrt {3^{2}}}}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{25-3}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{22}}$
  - Questo metodo funziona anche nel caso di una somma di radici quadrate, come ad esempio ${\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {7}}$ . Se si raggruppano i radicali nel seguente modo $({\sqrt {5}}-{\sqrt {6}})+{\sqrt {7}}$ e si moltiplica l'espressione ottenuta per $({\sqrt {5}}-{\sqrt {6}})-{\sqrt {7}}$ , la soluzione finale non rappresenta un numero razionale, ma sarà coerente con la forma $a+b\times {\sqrt {30}}$ , dove sia $a$ sia $b$ sono valori razionali. A questo punto puoi ripetere il processo usando il complesso coniugato di $a+b\times {\sqrt {30}}$ , dove $(a+b\times {\sqrt {30}})\times (a-b\times {\sqrt {30}})$ è un numero razionale. In altre parole, se si può usare questo passaggio una prima volta per ridurre il numero dei radicali presenti al denominatore di una frazione, lo si può poi riutilizzare ripetutamente per semplificarli totalmente.
  - Questo metodo funziona anche nel caso di denominatori composti da radici con indice superiore a 2, come ad esempio ${\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{7}]{9}}$ . In tal caso occorre semplicemente moltiplicare sia il numeratore sia il denominatore per il complesso coniugato di quest'ultimo. Sfortunatamente, non è chiaramente intuibile cosa sia e come si ottenga il complesso coniugato di un'espressione complessa come quella presa come esempio. Un buon libro di testo sulla teoria dei numeri tratta l'argomento in modo più approfondito e completo, aspetto che esula invece dallo scopo di questo articolo.
Giunti a questo punto, occorre gestire l'elemento con cui si è iniziato il processo di razionalizzazione del denominatore, cioè il suo complesso coniugato che si trova al numeratore della frazione in esame. Sviluppa il prodotto esattamente come faresti con un prodotto fra polinomi. Prosegui individuando ed eliminando o semplificando qualunque termine ottenuto e, ove possibile, combina fra loro quelli uguali.
Se il denominatore della frazione è un numero intero negativo, moltiplica il numeratore e il denominatore per il coefficiente -1 per trasformarlo in un numero positivo.
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Consigli

Esistono dei siti web, individuabili tramite una semplice ricerca online, in grado di semplificare automaticamente le espressioni che contengono dei radicali. Dovrai semplicemente digitare l'equazione o l'espressione presente all'interno del simbolo di radice nell'apposito campo di testo; dopo aver premuto il tasto Invio ti verrà fornita la soluzione al tuo problema.
Nel caso di quesiti semplici, molti dei passaggi descritti in questo articolo non possono essere applicati. Al contrario, nel caso di problemi molto complessi, alcuni passaggi dovranno essere applicati più volte. Mentre lavori, cerca di eseguire continuamente delle semplificazioni "semplici", quindi, una volta giunto alla soluzione finale del problema, confrontala con i criteri relativi alla forma canonica dei radicali riportati nell'introduzione dell'articolo. Se la tua risposta rispecchia la forma canonica, allora il lavoro è concluso. In caso contrario, una delle sezioni dell'articolo sarà sicuramente in grado di indicarti come e dove eseguire delle semplificazioni per concludere il tuo compito.
La maggior parte dei problemi matematici che richiedono l'utilizzo preferenziale della "forma canonica" relativa alle espressioni che contengono i radicali può includere anche i numeri complessi ( $i={\sqrt {-1}}$ ). Anche se i numeri complessi utilizzano l'elemento "i" anziché riportare il simbolo di radice, è bene evitare di farli apparire all'interno del denominatore di una frazione.
Parte delle istruzioni riportate in questo articolo si riferisce esclusivamente alle radici quadrate. Le regole generali sono le stesse che si utilizzano per le radici cubiche o di grado superiore, anche se alcune di loro (in particolare la razionalizzazione del denominatore) potrebbe essere molto difficile da applicare. Dovrai inoltre decidere se desideri avere espressioni come ${\sqrt[{3}]{4}}$ o ${\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ .
In alcune parti di questo articolo viene riportata la terminologia "forma canonica" in modo errato, dato che in realtà si sta facendo riferimento alla "forma normale" dei radicali. La differenza consiste nel fatto che la forma canonica richiede di riportare l'espressione $1+{\sqrt {2}}$ o ${\sqrt {2}}+1$ e di etichettare l'altra come inappropriata. La forma normale sottintende invece che il lettore sia sufficientemente preparato e brillante per riuscire a riconoscere da solo che queste espressioni rappresentano in realtà "semplici" numeri anche se vengono scritte in modo diverso. Con la dicitura "semplici" si intendono numeri a cui è possibile applicare solo le regole aritmetiche (ad esempio la proprietà commutativa delle addizioni) e non quelle algebriche (dove ad esempio ${\sqrt {2}}$ è la soluzione positiva dell'equazione $x^{2}-2$ ). Ci auguriamo che i lettori perdoneranno questo leggero abuso della terminologia.
Se le istruzioni contenute in questa guida sembrano ambigue o addirittura contraddittorie rispetto alla forma con cui il tuo libro di testo descrive i radicali, procedi nell'applicare tutti i passaggi coerenti e chiari per poi scegliere il risultato che si dimostra maggiormente in linea con il testo di studio che stai utilizzando.