कैसे स्क्वेर रूट संख्याओं को विभाजित करें (Divide Square Roots)

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इस आर्टिकल में:

रेडिकैंड्स को विभाजित करना (Dividing Radicands)

रेडिकैंड्स के फैक्टर निकालना (Factoring Radicands)

गुणांक के साथ स्क्वेर रूट की संख्या को विभाजित करना (Dividing Square Roots with Coefficients)

स्क्वेर रूट वाले द्विपद से विभाजित करना (Dividing by a Binomial with a Square Root)

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स्रोत और उद्धरण

स्क्वेर रूट की संख्याओं का विभाजन करना वास्तव में भिन्न को सरल करना ही है। निस्संदेह, स्क्वेर रूट के साइन की वजह से स्क्वेर रूट वाली संख्याओं को विभाजित करना थोड़ा मुश्किल लग सकता है, लेकिन कुछ रूल्स का इस्तेमाल करके हम फ्रैक्शन की तरह आसानी से स्क्वेर रूट में मौजूद संख्याओं को भी विभाजित कर सकते हैं। एक महत्त्वपूर्ण बात आपको याद रखनी होगी कि गुणांक को गुणांक से और रेडिकैंड को रेडिकैंड से विभाजित करना है। और इसके अलावा हर (denominator) में यदि स्क्वेर रूट साइन है, तो उसे निकालने की आवश्यकता होगी। आप इस विकिहाउ आर्टिकल के जरिए स्क्वेर रूट में मौजूद संख्याओं का विभाजन कैसे करना है, यह सीखेंगे।

चरण

विधि 1

विधि 1 का 4:

रेडिकैंड्स को विभाजित करना (Dividing Radicands)

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   फ्रैक्शन को लिखें: यदि आपको दिया गया उदाहरण फ्रैक्शन के रूप में नहीं है, तो उदाहरण को फ्रैक्शन के फॉर्म में लिखें। ऐसा करने से, आपको स्क्वेर रूट संख्या को विभाजित करते समय सारे महत्त्वपूर्ण स्टेप्स को फॉलो करने में आसानी होगी। याद रखें कि फ्रैक्शन बार अर्थात ही विभाजन का चिन्ह है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आपको ${\sqrt {144}}\div {\sqrt {36}}$ को हल करना है, तो उदाहरण को निम्नलिखित तरीके से रीराइट करें: ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}$
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   एक ही रेडिकल साइन का इस्तेमाल करें: यदि दिए गए उदाहरण के अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों में ही स्क्वेर रूट अर्थात रेडिकल साइन है, तो आप अंश और हर की संख्या को एक ही रेडिकल साइन के भीतर लिख सकते हैं। (रेडिकल साइन के भीतर लिखी संख्या को रेडिकैंड कहते हैं।) यह उदाहरण की प्रक्रिया को सरल कर देगा।

   • उदाहरण के लिए, ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}$ को ${\sqrt {\frac {144}{36}}}$ इस तरह से रीराइट करें।
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   रेडिकैंड की संख्या को विभाजित करें: रेडिकैंड संख्या को उसी तरह से विभाजित करें जैसे पूर्णांक संख्या को विभाजित किया जाता है। याद से भागफल को एक नए रेडिकल साइन या स्क्वेर रूट साइन के भीतर लिखें।

   • उदाहरण के लिए, ${\frac {144}{36}}=4$ है, इसलिए ${\sqrt {\frac {144}{36}}}={\sqrt {4}}$ है।
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   यदि संभव है, तो स्क्वेर रूट में मौजूद संख्या को सिम्पलिफाइ करें: यदि रेडिकैंड एक पर्फेक्ट स्क्वेर संख्या है, या उसके फैक्टर में एक संख्या पर्फेक्ट स्क्वेर है, तो आपको रेडिकैंड को हल करने की आवश्यकता होगी। एक पर्फेक्ट स्क्वेर अर्थात एक पूर्ण संख्या को उसी पूर्ण संख्या से गुणा करना है। उदाहरण के लिए, संख्या 25 एक पर्फेक्ट स्क्वेर संख्या है, इसलिए, $5\times 5=25$ है।

   • उदाहरण के लिए, 4 एक पर्फेक्ट स्क्वेर है, इसलिए, $2\times 2=4$ है। और इसलिए,
     ${\sqrt {4}}$
     $={\sqrt {2\times 2}}$
     $=2$
     इसलिए, ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}={\sqrt {4}}=2$।

विधि 2

विधि 2 का 4:

रेडिकैंड्स के फैक्टर निकालना (Factoring Radicands)

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   दिए गए उदाहरण को फ्रैक्शन के रूप में लिखें: ऐसा हो सकता है कि दिया गया उदाहरण पहले से ही फ्रैक्शन फॉर्म में हो। यदि ऐसा नहीं है, तो उदाहरण को फ्रैक्शन में लिखें। सभी महत्त्वपूर्ण स्टेप्स को फॉलो करने के लिए उदाहरण को फ्रैक्शन में लिखने से उसे हल करने में आसानी होगी, खासकर तब जब स्क्वेर रूट साइन में लिखी संख्या अर्थात रेडिकैंड के फैक्टर्स निकालेंगे। याद रखें कि फ्रैक्शन बार का मतलब ही विभाजन का चिन्ह है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आप ${\sqrt {8}}\div {\sqrt {36}}$ इस उदाहरण को हल करना चाहते हैं, तो इस उदाहरण को निम्नलिखित तरीके से लिखें: ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}$।
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   हर रेडिकैंड के गुणनखंड या फैक्टर निकालें: पूर्णांक संख्या की तरह ही रेडिकैंड के फैक्टर निकालें। और फैक्टर्स को रेडिकल अर्थात स्क्वेर रूट साइन के भीतर ही लिखें।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {\sqrt {2\times 2\times 2}}{\sqrt {6\times 6}}}$
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   फ्रैक्शन के अंश (numerator) और हर (denominator) को हल करें: स्क्वेर रूट में मौजूद संख्या को सिम्पलिफाइ करने के लिए, ऐसा फैक्टर ढूँढे जो एक पर्फेक्ट स्क्वेर है। एक पर्फेक्ट संख्या अर्थात एक पूर्ण संख्या को उसी संख्या से गुणा करना है। पर्फेक्ट स्क्वेर का वर्गमूल निकालें और उसे स्क्वेर रूट साइन के बाहर गुणांक (coefficient) के तौर पर लिखें।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\frac {\sqrt {{\cancel {2\times 2\times }}2}}{\sqrt {\cancel {6\times 6}}}}$
     ${\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$
     इसलिए, ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$
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   यदि आवश्यकता हो, तो हर की संख्या का परिमेयकरण (rationalization) करें: नियमों के अनुसार, हर की संख्या में स्क्वेर रूट या रेडिकल साइन नहीं होना चाहिए। यदि आपके फ्रैक्शन के हर में स्क्वेर रूट साइन मौजूद है, तो आपको उस संख्या का परिमेयकरण (rationalization) करने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, फ्रैक्शन के अंश और हर की संख्या को उस स्क्वेर रूट की संख्या से गुणा करें जिसे आप कैन्सल करना चाहते हैं। यह वहीं स्क्वेर रूट संख्या है जो हर में मौजूद होती है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आपको ${\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}$ इस न्यूमेरिकल को हल करना है, तो आपको अंश और हर की संख्या को ${\sqrt {3}}$ से गुणा करने की आवश्यकता होगी ताकि हर में मौजूद स्क्वेर रूट की संख्या कैन्सल हो सकें:
     ${\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\times {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}$
     $={\frac {6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}}}$
     $={\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {9}}}$
     $={\frac {6{\sqrt {6}}}{3}}$।
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   यदि संभव है, तो उत्तर को सरल रूप दें: कुछ उदाहरणों में अंत में जो गुणांक मिलते हैं उस आगे सरल किया जा सकता है, या फ्रैक्शन को ही सरल किया जा सकता हैअंश और हर में मौजूद पूर्णांक की संख्या को उसी तरह सरल करें जिस तरह फ्रैक्शन को सरल करते हैं।

   • उदाहरण के लिए, ${\frac {2}{6}}$ को सरल करने पर आपको ${\frac {1}{3}}$ मिलेगा, इसी प्रकार, ${\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$ को सरल करने पर आपको ${\frac {\sqrt {2}}{3}}$ मिलेगा।

विधि 3

विधि 3 का 4:

गुणांक के साथ स्क्वेर रूट की संख्या को विभाजित करना (Dividing Square Roots with Coefficients)

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   गुणांक (coefficient) को हल करें: रेडिकल साइन के बाहर लिखी संख्या को गुणांक (coefficient) कहते हैं। इसे हल करने के लिए, स्क्वेर रूट को फिलहाल अनदेखा करके केवल फ्रैक्शन को हल करें, या विभाजित करें।

   • उदाहरण के लिए, यदि आपको ${\frac {4{\sqrt {32}}}{6{\sqrt {16}}}}$ को हल करना है, तो सर्वप्रथम आपको ${\frac {4}{6}}$ को हल करने की आवश्यकता होगी। इस फ्रैक्शन में अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों को फ्रैक्टर 2 से विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, आप इसे निम्नलिखित तरीके से सरल कर सकते हैं: ${\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$।
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   स्क्वेर रूट में मौजूद संख्या को सिम्पलिफाइ करें: यदि अंश में मौजूद रेडिकैंड को हर में मौजूद रेडिकैंड से पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है अर्थात यदि शेषफल 0 मिल रहा है, तो केवल रेडिकैंड को विभाजित करें। और यदि शेषफल 0 नहीं है या अंश में मौजूद रेडिकैंड को हर में मौजूद रेडिकैंड से पूरी तरह से विभाजित नहीं किया जा सकता है, तो आम तौर पर जैसे स्क्वेर रूट की संख्या को हल करते हैं उसी तरह हर एक स्क्वेर रूट की संख्या को हल करें।

   • उदाहरण के लिए, 32 को 16 से पूरी तरह विभाजित किया जा सकता है, तो निम्नलिखित तरीके से केवल स्क्वेर रूट की संख्या को विभाजित करें: ${\sqrt {\frac {32}{16}}}={\sqrt {2}}$।
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   हल किए गए गुणांक को हल किए गए स्क्वेर रूट संख्या से गुणा करें: याद रखें, हर (denominator) में स्क्वेर रूट की संख्या नहीं होनी चाहिए, इसलिए जब गुणांक के फ्रैक्शन को स्क्वेर रूट से गुणा करेंगे, तब याद से स्क्वेर रूट को अंश (numerator) में लिखें।

   • उदाहरण के लिए, ${\frac {2}{3}}\times {\sqrt {2}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}$।
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   यदि आवश्यक है, तो हर में मौजूद स्क्वेर रूट को कैन्सल करें: इसे हर का परिमेयकरण (rationalization) करना कहते हैं। नियम के अनुसार, हर में स्क्वेर रूट साइन नहीं होना चाहिए। हर (denominator) का परिमेयकरण (rationalization) करने के लिए, अंश और हर दोनों को ही उस स्क्वेर रूट से गुणा करने की आवश्यकता होगी जिसे आप कैन्सल करना चाहते हैं (अर्थात हर में मौजूद स्क्वेर रूट संख्या)।

   • उदाहरण के लिए, यदि आपको ${\frac {4{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$ इस फ्रैक्शन को हल करना है, तो आपको फ्रैक्शन के अंश और हर दोनों को ही ${\sqrt {7}}$ से गुणा करने की आवश्यकता होगी ताकि हर में मौजूद स्क्वेर रूट साइन कैन्सल हो सकें। इसे आप निम्नलिखित तरीके से कर सकते हैं:
     ${\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {7}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}$
     $={\frac {4{\sqrt {3}}\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}$
     $={\frac {4{\sqrt {21}}}{\sqrt {49}}}$
     $={\frac {4{\sqrt {21}}}{7}}$

विधि 4

विधि 4 का 4:

स्क्वेर रूट वाले द्विपद से विभाजित करना (Dividing by a Binomial with a Square Root)

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   पता करें कि हर में द्विपद व्यंजक (expression) मौजूद हैं या नहीं: हर में मौजूद संख्या से ही आपको अंश की संख्या को विभाजित करना होता है। द्विपद (binomial) एक दो-पदों वाला बहुपद (polynomial) है। यह मेथड केवल उस स्क्वेर रूट पर लागू हो सकती है जिसमें द्विपद में स्क्वेर रूट टर्म या पद मौजूद है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आप ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}$ को हल करना चाहते हैं, तो इस व्यंजक (expression) में हर में मौजूद संख्या द्विपद है। इसलिए, $5+{\sqrt {2}}$ एक दो-पदों वाला बहुपद कहलाता है।
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   द्विपद के संयुग्म या कोंजूगेट (conjugate) पेयर पता करें: द्विपद और कोंजूगेट (conjugate) पेयर के पद एक समान होते हैं, केवल साइन ऑफ ऑपरेशन विपरीत हो जाता है। संयुग्म या कोंजूगेट (conjugate) पेयर का इस्तेमाल करने से हर या डिनोमिनेटर में मौजूद स्क्वेर रूट को कैन्सल करने में मदद मिलेगी।

   • उदाहरण के लिए, $5+{\sqrt {2}}$ और $5-{\sqrt {2}}$ दोनों कोंजूगेट (conjugate) पेयर है, क्योंकि दोनों में एक समान पद हैं लेकिन साइन ऑफ ऑपरेशन विपरीत है।
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   अंश (numerator) और हर (denominator) को हर के संयुग्म या कोंजूगेट (conjugate) पेयर से गुणा करें: ऐसा करने पर स्क्वेर रूट कैन्सल हो जाएगा, क्योंकि कोंजूगेट (conjugate) पेयर का गुणनफल बराबर द्विपद में मौजूद हर एक पद के वर्ग का अंतर होता है। अर्थात, $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}$
     $={\frac {1(5-{\sqrt {2}})}{(5+{\sqrt {2}})(5-{\sqrt {2}})}}$
     $={\frac {5-{\sqrt {2}}}{(5^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}}$
     $={\frac {5-{\sqrt {2}}}{25-2}}$
     $={\frac {5-{\sqrt {2}}}{23}}$
     इसलिए, ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}={\frac {5-{\sqrt {2}}}{23}}$।

सलाह

• रेडिकल्स को जोड़ने या घटाने से पहले ही पर्फेक्ट स्क्वेर टर्म को हल करने की आवश्यकता होती है, लेकिन इसके विपरीत विभाजन में ऐसा करने की बिलकुल आवश्यकता नहीं है। वास्तव में पर्फेक्ट स्क्वेर टर्म को हल न करने से रेडिकल्स के विभाजन में आसानी होती है।
• कई कैलकुलेटर में फ्रैक्शन बटन मौजूद होता है। अंश के गुणांक को कैलकुलेटर में एंटर करें, फिर फ्रैक्शन बटन को दबाएं, फिर हर के गुणांक को एंटर करें। जब आप = साइन को दबाएंगे, तब कैलकुलेटर आपको गुणांक को छोटे टर्म में रीराअट करके दिखाएगा।
• जब आप स्क्वेर रूट टर्म को हल कर रहे हैं, तो मिश्र भिन्न के स्थान पर विषम भिन्न का इस्तेमाल करना कैलकुलेशन के दृष्टि से उचित रहेगा।

चेतावनी

• फ्रैक्शन टर्म को दशमलव में न लिखें। इसका अर्थ फ्रैक्शन में फ्रैक्शन लिखने के समान है।
• फ्रैक्शन के हर (denominator) में रेडिकल या स्क्वेर रूट टर्म न लिखें, इसके बदले स्क्वेर रूट या रेडिकल टर्म को हल करें या इसका परिमेयकरण करें।
• रेडिकल के आगे कभी भी संख्या को दशमलव या विषम भिन्न में न लिखें, इसके बदले संख्या को फ्रैक्शन में बदलें या पूरे व्यंजक (expression) को हल करें।
• यदि फ्रैक्शन के हर में पदों का योग निकालना या घटाना है, तो हर में मौजूद रेडिकल साइन को कैन्सल करने के लिए, संयुग्म या कोंजूगेट (conjugate) पेयर मेथड का इस्तेमाल करें।