كيفية قسمة الجذور التربيعية

تنزيل المقال

تنزيل المقال

قسمة الجذور التربيعية هي بالأساس عبارة عن عملية تبسيط كسور، وبطبيعة الحال فإن وجود الجذور المربعة يجعل العملية أكثر تعقيدًا بعض الشيء، لكن هناك بعض القواعد التي تتيح التعامل مع هذه النوع من الكسور بطريقة بسيطة نسبيًا. الشيء الأساسي الذي يجب أن تتذكره هو أنك ينبغي أن تقسم المعامِلات على المعاملات، وتقسم ما بداخل الجذر الأول على ما داخل الجذر الآخر. اعرف كذلك أنه لا يمكن أن يوجد جذر تربيعي في المقام في الصورة الأخيرة للناتج.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 4:

قسمة أعداد الجذور

تنزيل المقال

1. 
   1
   قم بصياغة الكسر. إذا لم تكن العبارة الرياضية مكتوبة بالفعل على صورة كسر، أعد كتابتها بهذه الطريقة. يسهل هذا تنفيذ جميع الخطوات اللازم اتخاذها عند القسمة على جذر تربيعي. تذكر أن الخط الأفقي الذي يمثل الكسر هو خط قسمة في نفس الوقت.

   • على سبيل المثال: إذا كنت تحسب ${\sqrt {144}}\div {\sqrt {36}}$أعد كتابة المسألة على هذه الصورة: ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}$.
2. 
   2
   استخدم علامة جذرية واحدة. إذا كانت المسألة تحتوي على جذر تربيعي في كل من البسط والمقام، أدخل الأعداد التي في كل من الجذرين تحت علامة جذرية واحدة. تُسهل هذه الخطوة من عملية التبسيط.

   • مثال: يمكن إعادة كتابة المسألة ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}$ على الشكل ${\sqrt {\frac {144}{36}}}$.
3. 
   3
   اقسم الأعداد التي تحت الجذور. اقسمها بطريقة قسمة أي أعداد صحيحة، وضع الناتج تحت علامة الجذر.

   • مثال: ${\frac {144}{36}}=4$بالتالي، ${\sqrt {\frac {144}{36}}}={\sqrt {4}}$.
4. 
   4
   بسّط الناتج إذا كان بحاجة للتبسيط. إذا كان العدد الذي بداخل الجذر أو أحد عوامله مربعًا كاملًا، يجب عليك أن تبسط هذه العبارة الرياضية. المربع الكامل هو حاصل ضرب عدد صحيح في نفسه. العدد 25 مثلًا مربع كامل بما أن $5\times 5=25$.

   • مثال: 4 مربع كامل لأن $2\times 2=4$. بالتالي:
     ${\sqrt {4}}$
     $={\sqrt {2\times 2}}$
     $=2$
     وبالتالي ${\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}={\sqrt {4}}=2$.

طريقة 2

طريقة 2 من 4:

تحليل أعداد الجذور إلى عوامل

تنزيل المقال

1. 
   1
   حوّل صياغة المسألة لصورة كسر. من المرجح أن تجده مكتوبًا بهذه الطريقة، لكن ستغير أنت صياغته إذا لم يكن كذلك. يسهّل حل المسألة ككسر متابعة الخطوات الضرورية، خاصة عند تحليل الجذور التربيعية إلى عوامل. تذكر أن خط الكسر الأفقي يمثل أيضًا خطًا للقسمة.

   • مثال: إذا كنت تحسب ${\sqrt {8}}\div {\sqrt {36}}$ أعد كتابتها كما يلي: ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}$.
2. 
   2
   حلل كل عدد بداخل الجذور إلى عوامل. حلل الأعداد بالطريقة المعتادة لتحليل الأعداد الصحيحة، واترك العوامل بداخل علامة الجذر.

   • مثال:
     ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {\sqrt {2\times 2\times 2}}{\sqrt {6\times 6}}}$
3. 
   3
   بسط جذر ومقام الكسر. عند تبسيط جذر تربيعي، استخرج منه إن وجد أي عامل يمثل مربعًا كاملًا. المربع الكامل هو ناتج ضرب عدد صحيح بنفسه. سيكون هذا العامل الآن مُعامِلًا بجانب علامة الجذر.

   • مثال:
     ${\frac {\sqrt {{\cancel {2\times 2\times }}2}}{\sqrt {\cancel {6\times 6}}}}$
     ${\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$
     وبالتالي ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$
4. 
   4
   احذف الجذر من المقام إن وجد. كقاعدة عامة، لا يمكن أن يحتوي تعبير رياضي على جذر تربيعي في المقام، لهذا ينبغي أن تجعل الكسر عددًا نسبيًا من خلال حذف الجذر التربيعي إذا كان المقام يحتوي على واحد. طريقة ذلك بسيطة، وهي من خلال ضرب بسط ومقام الكسر في الجذر التربيعي الذي تحتاج إلى إلغائه.

   • على سبيل المثال: إذا كانت هذه هي العبارة الجذرية التي نطبق عليها خطوة إلغاء جذر المقام ${\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}$، يجب أن نضرب كلًا من البسط والمقام في ${\sqrt {3}}$ حتى يخلو المقام من الجذر:
     ${\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\times {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}$
     $={\frac {6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}}}$
     $={\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {9}}}$
     $={\frac {6{\sqrt {6}}}{3}}$.
5. 
   5
   بسط الجذر لأبسط صورة إن كان تبسيطه ممكنًا. يمكن أن تتبقى أحيانًا معاملات يمكن تبسيطها. بسط الأعداد الصحيحة في البسط والمقام كما تبسط أي كسر.

   • مثال: ${\frac {2}{6}}$ يبسط إلى ${\frac {1}{3}}$، بالتالي ${\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}$يبسط إلى ${\frac {1{\sqrt {2}}}{3}}$، أو ببساطة ${\frac {\sqrt {2}}{3}}$.

طريقة 3

طريقة 3 من 4:

قسمة جذور تربيعية لها معاملات

تنزيل المقال

1. 
   1
   بسط المعاملات. المعاملات هي الأعداد الموجودة خارج العلامات الجذرية، و تُبسَّط عن طريق القسمة والتغاضي عن الجذور التربيعية خلال هذه الخطوة.

   • مثال: إذا كنا نحسب المسألة ${\frac {4{\sqrt {32}}}{6{\sqrt {16}}}}$، يجب أولًا أن نبسط ${\frac {4}{6}}$. يمكن تبسيط كلًا من البسط والمقام من خلال القسمة على 2. وبالتالي تكون نتيجة تبسيط الكسر كما يلي: ${\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$.
2. 
   2
   بسط الجذور التربيعية. إذا كان البسط يقبل القسمة على المقام من غير باقٍ، اقسم ما بداخل الجذور ببساطة. أما لو لم يقبل العددين القسمة، بسط كلًا منهما على حدة بالطريقة المعتادة لتبسيط الجذور.

   • مثال: بما أن 32 تقبل القسمة على 16 من غير باقٍ، يمكنك قسمة الجذور كما يلي:${\sqrt {\frac {32}{16}}}={\sqrt {2}}$.
3. 
   3
   اضرب معامل(لات) البسط في الجذر التربيعي المبسط. تذكر أنه ينبغي ألا يوجد جذر تربيعي في مقام الناتج، لذلك عند ضرب الكسر في جذر تربيعي، ضع الجذر في البسط.

   • مثال: ${\frac {2}{3}}\times {\sqrt {2}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}$.
4. 
   4
   تخلص من الجذر التربيعي في المقام إن وجد. يسمى هذا بالتحويل إلى عدد كسري، وسببه هو أن المقام لا يمكن أن يحتوي على جذر. لحذف الجذر من المقام، اضرب بسط ومقام هذا الكسر في الجذر التربيعي الذي تود التخلص منه.

   • مثال: إذا كنت تتعامل مع الكسر: ${\frac {4{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$، يجب أن تضرب بسطه ومقامه في ${\sqrt {7}}$ لحذف الجذر التربيعي من المقام:
     ${\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {7}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}$
     $={\frac {4{\sqrt {3}}\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}$
     $={\frac {4{\sqrt {21}}}{\sqrt {49}}}$
     $={\frac {4{\sqrt {21}}}{7}}$

طريقة 4

طريقة 4 من 4:

القسمة على ثنائية حدود بها جذر تربيعي

تنزيل المقال

1. 
   1
   حدد أن لديك ثنائية حدود في المقام. المقام هو جزء المسألة الذي تقسم عليه. ثنائية الحدود هي أحد أنواع كثيرات الحدود وتسمى كذلك لأنها تكون من حدين. لا تنفع هذه الطريقة سوى مع مسائل القسمة على جذور تربيعية التي تشتمل على ثنائية حدود.

   • مثال: في القسمة ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}$، لديك ثنائية حدود في المقام، بما أن $5+{\sqrt {2}}$ هي متعددة حدود مكونة من حدين اثنين.
2. 
   2
   جد مرافق ثنائية الحدود. مرافق ثنائية الحدود هو نظيرها الجمعي المكون من نفس الحدود لكن مع تغير اإشارات. عند استخدام نظير ثنائية الحدود تتمكن من حذف الجذر الموجود في المقام.

   • مثال: $5+{\sqrt {2}}$ و$5-{\sqrt {2}}$ هما زوج مترافق بما أن لهما نفس الحدود مع تعاكس الإشارات.
3. 
   3
   اضرب البسط والمقام في مرافق المقام. يمكنك هذا من التخلص من الجذر التربيعي بما أن مجموع الزوج المترافق هو الفرق بين مربع كل حد في ثنائية الحدود. وهو $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$.

   • مثال:
     ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}$
     $={\frac {1(5-{\sqrt {2}})}{(5+{\sqrt {2}})(5-{\sqrt {2}})}}$
     $={\frac {5-{\sqrt {2}}}{(5^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}}$
     $={\frac {5-{\sqrt {2}}}{25-2}}$
     $={\frac {5-{\sqrt {2}}}{23}}$
     بالتالي ${\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}={\frac {5-{\sqrt {2}}}{23}}$.

أفكار مفيدة

• تختلف قسمة الجذور عن جمعها وطرحها من حيث أنها لا تتطلب تبسيط الأعداد قبل حساب المسألة، بل غالبًا يفضل أن تتركها كما هي قبل إجراء القسمة.
• تحتوي الكثير من الآلات الحاسبة على أزرار خاصة بالكسور؛ جرب كتابة معامل الجذر ثم الضغط على زر الكسر ثم معامل المقام، وأخيرًا على زر علامة =، وسوف تحسب لك الآلة أبسط صورة لقيمة المعادلة.
• يفضل استعمال الكسور غير الصحيحة عن الكسور المختلطة (عدد كسري) عندما تحتوي مسألة القسمة على جذور.

تحذيرات

• لا تستعمل عددًا به فاصلة عشرية كجزء من كسر، لأنه سيكون كسرًا بداخل كسر.
• لا تترك جذرًا في مقامات الكسور، بل قم بتبسيطه.
• لا تترك عددًا عشريًا أو عددًا كسريًا أمام جذر، بل حول هذين النوعين إلى كسر عادي وبسط العبارة الرياضية بالكامل.
• إذا كان في المقام أي نوع من الجمع أو الطرح، استخدم طريقة النظير المرافق لحذف الجذر من المقام.