कैसे स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई करें (Simplify a Square Root)

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फ़ैक्टर करके स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई करना (Simplifying a Square Root by Factoring)

परफेक्ट स्क्वेर्स को जानना (Knowing the Perfect Squares)

परिभाषाओं को जानना (Knowing the Terminology)

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स्रोत और उद्धरण

स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई (आसान) करना, उतना भी कठिन नहीं होता, जितना कि ये नजर आता है। स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई करने के लिए, आपको सिर्फ उस नंबर को फेक्टर करना होगा और फिर आपको मिले किसी भी परफेक्ट स्क्वेर्स के रूट्स को बाहर एक रेडिकल साइन (radical sign) में निकालकर रखना होगा। एक बार जब आपको कुछ कॉमन परफेक्ट स्क्वेर्स मिल जाते हैं और आपको उस नंबर को फ़ैक्टर करने का तरीका भी मालूम है, फिर आप स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई करने की ओर चल पड़ेंगे।

चरण

विधि 1

विधि 1 का 3:

फ़ैक्टर करके स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई करना (Simplifying a Square Root by Factoring)

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   फ़ैक्टरिंग को समझें: स्क्वेर रूट को आसान बनाने का असली मकसद, इसे फिर से एक ऐसे फॉर्म में लिखना है, जो समझने में आसान हो और जिसे आसानी से मैथ की प्रॉब्लम में यूज किया जा सकता हो। फ़ैक्टरिंग में बड़े नंबर को दो या और ज्यादा छोटे फ़ैक्टर्स में तोड़ा जाता है, जैसे कि 9 को 3 x 3 में बदलना। एक बार जब हम इन फ़ैक्टर्स को पा लेते हैं, फिर हम स्क्वेर रूट को एक और भी सिंपल फॉर्म में फिर से लिख सकते हैं, कभी-कभी इसे एक नॉर्मल इंटीजर में भी टर्न करके। उदाहरण के लिए, √9 = √(3x3) = 3 होता है। और भी मुश्किल स्क्वेर रूट्स के लिए इस प्रोसेस को सीख पाने के लिए, नीचे दिए हुए स्टेप्स देखें।
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   सबसे छोटे मुमकिन प्राइम नंबर से डिवाइड कर दें: अगर स्क्वेर रूट के अंदर मौजूद नंबर ईवन (सम) है, तो उसे 2 से डिवाइड कर दें। अगर आपका नंबर ऑड़ (विषम) है, तो फिर उसे 3 से डिवाइड करके देखें। अगर इनमें से कोई भी आपको एक होल नंबर नहीं देता है, तो दूसरे प्राइम नंबर्स को टेस्ट करते हुए, तब तक इस लिस्ट में आगे बढ़ते जाएँ, जब तक कि आपको रिजल्ट में एक होल नंबर न मिल जाए। आपको केवल प्राइम नंबर्स ही टेस्ट करने हैं, क्योंकि प्राइम नंबर्स सभी नंबर्स के फ़ैक्टर्स होते हैं। उदाहरण के लिए, आपको 4 को टेस्ट करने की जरूरत नहीं होगी, ऐसा इसलिए क्योंकि ऐसा कोई भी नंबर, जो 4 से डिविजिबल (डिवाइड हो रहा) है, वो 2 से भी डिविजिबल होगा, जिसे तो आपने पहले ही ट्राई कर लिया है।

   • 2
   • 3
   • 5
   • 7
   • 11
   • 13
   • 17
3. 
   3
   स्क्वेर रूट को एक मल्टिप्लीकेशन प्रॉब्लम की तरह फिर से लिख लें: हर एक चीज़ को स्क्वेर रूट साइन के अंदर ही रखें और दोनों ही फ़ैक्टर्स को शामिल करना मत भूलें। उदाहरण के लिए, अगर आप √98 को सिम्प्लिफ़ाई करना चाह रहे हैं, तो ऊपर दिए हुए स्टेप्स को फॉलो करें, ताकि आपको 98 ÷ 2 = 49, इसलिए 98 = 2 x 49 मिल जाए। अब इस इन्फोर्मेशन: √98 = √(2 x 49) का यूज करते हुए "98" को फिर से उसके ओरिजिनल स्क्वेर रूट में लिख लें।
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   बचे हुए नंबर्स के लिए भी इसे रिपीट करें: हम स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई कर सकें, उसके पहले हमें इसे तब तक इसे फ़ैक्टर करते रहना होगा, जब तक कि ये दो आइडेंटिकल पार्ट्स में नहीं टूट जाता। अगर आपको स्क्वेयर का मतलब समझना है, तो ये आपके काम आएगा: टर्म √(2 x 2) का मतलब "आप नंबर को इसी के साथ मल्टीप्लाय कर सकते हैं, जो 2 x 2 के बराबर होता है।" बेशक, ये नंबर 2 है! इस मकसद को मन में लेकर चलते हुए, हमारी उदाहरण वाली प्रॉब्लम √(2 x 49) को लेकर ऊपर दिए हुए स्टेप्स को रिपीट करें:

   • 2 पहले से ही जितना कम हो सकता था, उतना फ़ैक्टर है। (दूसरे शब्दों में, ये ऊपर दी हुई लिस्ट का ही एक प्राइमरी नंबर है।) हम इसे अभी के लिए इग्नोर कर देते हैं और इसकी जगह पर 49 को डिवाइड करने की कोशिश करते हैं।
   • 49 को 2, या 3 से या 5 से तक डिवाइड नहीं किया जा सकता। आप चाहें तो कैलकुलेटर या लॉन्ग डिवीजन यूज करके इसे जांच सकते हैं। क्योंकि इससे आपको रिजल्ट में एक अच्छा, होल नंबर नहीं मिल रहा है, हम उन्हें इग्नोर करेंगे और कोशिश करते रहेंगे।
   • 49 को सात से एक समान रूप से डिवाइड किया जा सकता है। 49 ÷ 7 = 7, इसलिए 49 = 7 x 7 होगा।
   • प्रॉब्लम को फिर से लिखें: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7)
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   एक इंटीजर "निकालते हुए" सिम्प्लिफ़ाई करना खत्म करें: एक बार जैसे ही आप प्रॉब्लम को दो आइडेंटिकल फ़ैक्टर्स में तोड़ लेते हैं, फिर आप उन्हें स्क्वेर रूट के बाहर एक रेगुलर इंटीजर में ले आ सकते हैं। बाकी सारे फ़ैक्टर्स को स्क्वेर रूट के अंदर ही छोड़ दें। उदाहरण के लिए, √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2) हो सकता है।

   • फिर भले आगे और भी फ़ैक्टरिंग कर पाना मुमकिन हो, लेकिन तब भी आपके दो आइडेंटिकल फ़ैक्टर्स पा लेने के बाद आपको उसे करने की कोई जरूरत नहीं होगी। उदाहरण के लिए, √(16) = √(4 x 4) = 4 होगा। अगर हम फ़ैक्टर करते रहेंगे, तो भी हमको यही जवाब मिलेगा, लेकिन बस हमारी मेहनत बढ़ जाएगी: √(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4
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   इंटीजर्स अगर एक से ज्यादा हों, तो उन्हें एक साथ मल्टीप्लाय कर दें: कुछ बड़े-बड़े स्क्वेर रूट्स के साथ, आप एक से ज्यादा बार सिम्प्लिफ़ाई कर सकते हैं। अगर ऐसा होता है, तो अपनी फ़ाइनल प्रॉब्लम को पाने के लिए इंटीजर्स को एक-साथ मल्टीप्लाय कर दें। यहाँ एक उदाहरण दिया हुआ है:

   • √180 = √(2 x 90)
   • √180 = √(2 x 2 x 45)
   • √180 = 2√45, लेकिन इसे आगे और भी सिम्प्लिफ़ाई किया जा सकता है।
   • √180 = 2√(3 x 15)
   • √180 = 2√(3 x 3 x 5)
   • √180 = (2)(3√5)
   • √180 = 6√5
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   अगर आपको दो आइडेंटिकल फ़ैक्टर्स नहीं मिलते हैं, तो "इसे सिम्प्लिफ़ाई नहीं किया जा सकता" लिख लें: कुछ स्क्वेर रूट्स पहले से ही सिंपल फॉर्म में मौजूद होते हैं। अगर आप स्क्वेर रूट के अंदर प्राइम नंबर (ऊपर दिए हुए स्टेप्स में लिस्ट किए हुए) आने तक फ़ैक्टर करते रहने जारी रखते हैं और वो दोनों ही सेम नहीं हैं, तो फिर कुछ नहीं किया जा सकता है। आपको शायद एक मुश्किल सवाल दिया गया है! उदाहरण के लिए, √70 को सिम्प्लिफ़ाई करके देखते हैं:

   • 70 = 35 x 2, so √70 = √(35 x 2)
   • 35 = 7 x 5, so √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
   • ये तीनों नंबर्स ही प्राइम हैं, इसलिए आप इन्हें इससे आगे फ़ैक्टर नहीं कर सकते। ये सारे ही अलग हैं, इसलिए इसमें से इंटीजर "बाहर निकालने" का कोई तरीका नहीं है। √70 को सिम्प्लिफ़ाई नहीं किया जा सकता है।

विधि 2

विधि 2 का 3:

परफेक्ट स्क्वेर्स को जानना (Knowing the Perfect Squares)

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   कुछ परफेक्ट स्क्वेर्स याद कर लें: एक नंबर को स्क्वेर करना या उसे खुद से ही मल्टीप्लाय करने से परफेक्ट स्क्वेर तैयार होता है। उदाहरण के लिए, 25 एक परफेक्ट स्क्वेर है, क्योंकि 5 x 5, या 5², 25 के बराबर होता है। शुरुआती दस परफेक्ट स्क्वेर याद कर लेने से आपको फौरन ही किसी परफेक्ट स्क्वेर रूट्स को सिम्प्लिफ़ाई करने में मदद मिल सकती है। यहाँ पर पहले दस परफेक्ट स्क्वेर्स दिए हुए हैं:

   • 1² = 1
   • 2² = 4
   • 3² = 9
   • 4² = 16
   • 5² = 25
   • 6² = 36
   • 7² = 49
   • 8² = 64
   • 9² = 81
   • 10² = 100
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   परफेक्ट स्क्वेर के स्क्वेर रूट की तलाश करें: अगर आपको स्क्वेर रूट सिंबल के अंदर एक परफेक्ट स्क्वेर नजर आता है, तो आप फौरन ही इसे इसके स्क्वेर रूट में बदल सकते हैं और रेडिकल साइन (√) से बाहर निकाल सकते हैं। उदाहरण के लिए, अगर आपको स्क्वेर रूट के अंदर 25 नजर आता है, तो आपको मालूम होगा, कि इसका जवाब 5 है, क्योंकि 25 एक परफेक्ट स्क्वेर है। यहाँ पर स्क्वेर रूट से जवाब निकालती हुई, ठीक ऊपर जैसी ही एक लिस्ट दी हुई है:

   • √1 = 1
   • √4 = 2
   • √9 = 3
   • √16 = 4
   • √25 = 5
   • √36 = 6
   • √49 = 7
   • √64 = 8
   • √81 = 9
   • √100 = 10
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   नंबर्स को परफेक्ट स्क्वेर में फ़ैक्टर कर दें: स्क्वेर रूट्स को सिम्प्लिफ़ाई करने के लिए फ़ैक्टर मेथड फॉलो करते वक़्त, परफेक्ट स्क्वेर को अपने फायदे के लिए यूज करें। अगर आप फ़ैक्टर करते वक़्त एक परफेक्ट स्क्वेर सामने पाते हैं, तो ये आपके टाइम और मेहनत को बचा सकता है। यहाँ पर कुछ टिप्स दी गई हैं:

   • √50 = √(25 x 2) = 5√2 हुआ। अगर किसी भी नंबर की आखिरी दो डिजिट्स 25, 50, या 75 पर खत्म होती है, तो आप हमेशा 25 को फ़ैक्टर कर सकते हैं।
   • √1700 = √(100 x 17) = 10√17 हुआ। अगर किसी भी नंबर की आखिरी की दो डिजिट्स 00 पर खत्म होती हैं, तो आप हमेशा ही 100 को फ़ैक्टर कर सकते हैं।
   • √72 = √(9 x 8) = 3√8 हुआ। 9 के मल्टीपल्स को पहचान पाना हमेशा ही मददगार होता है। इसे करने की एक ट्रिक है: अगर किसी नंबर की सारी डिजिट्स को जोड़ने पर 9 मिलता है, तो 9 हमेशा इसका फ़ैक्टर होगा।
   • √12 = √(4 x 3) = 2√3 हुआ। यहाँ पर इसके लिए कोई स्पेशल ट्रिक नहीं है, लेकिन फिर भी किसी छोटे नंबर के 4 से डिविजिबल होने की जांच करना, आमतौर पर आसान होता है। फ़ैक्टर्स की तलाश करते वक़्त इसे अपने मन में लेकर चलें।
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   नंबर को एक से ज्यादा परफेक्ट स्क्वेर से फ़ैक्टर करें: अगर नंबर के फ़ैक्टर में एक से ज्यादा परफेक्ट स्क्वेर मौजूद हैं, तो उन सबको रेडिकल साइन से बाहर निकाल लें। अगर आपको सिम्प्लिफिकेशन प्रोसेस के दौरान कई सारे परफेक्ट स्क्वेर नजर आते हैं, तो उन सभी के स्क्वेर रूट्स को √ सिंबल से बाहर निकाल लें और उन्हें एक-साथ मल्टीप्लाय कर दें। उदाहरण के लिए, √72 को सिम्प्लिफ़ाई करके देखते हैं:

   • √72 = √(9 x 8)
   • √72 = √(9 x 4 x 2)
   • √72 = √(9) x √(4) x √(2)
   • √72 = 3 x 2 x √2
   • √72 = 6√2

विधि 3

विधि 3 का 3:

परिभाषाओं को जानना (Knowing the Terminology)

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   इस बात को जानें, कि रेडिकल सिंबल (√) एक स्क्वेर रूट सिंबल होता है: उदाहरण के लिए, √25 वाले प्रॉब्लम में, "√" एक रेडिकल सिंबल है।
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   इस बात को जानें, कि रेडिकल सिंबल के अंदर मौजूद नंबर रेडिकेंड (मूलांक) होता है: आपको इसी नंबर के स्क्वेर रूट को निकालना है। उदाहरण के लिए, √25 वाले प्रॉब्लम में, "25" एक रेडिकेंड है।
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   इस बात को जानें, कि रेडिकल सिंबल के बाहर मौजूद नंबर कोएफ़िशिएंट होता है: ये वो नंबर होता है, जिसके साथ में स्क्वेर रूट को मल्टीप्लाय किया जाना होता है; ये √ सिंबल के लेफ्ट में रहता है। उदाहरण के लिए, 7√2 वाले प्रॉब्लम में, "7" कोएफ़िशिएंट है।
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   इस बात को जानें, कि फ़ैक्टर वो नंबर है, जिसे दूसरे नंबर ले साथ में एक-समान रूप से डिवाइड किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, क्योंकि 8 ÷ 4 = 2 होता है, इसलिए 2, 8 का एक फ़ैक्टर है, लेकिन क्योंकि 8÷3 से रिजल्ट में कोई होल नंबर नहीं मिलता है, इसलिए 3, 8 का फ़ैक्टर नहीं है। एक और दूसरे उदाहरण के तौर पर, क्योंकि 5 x 5 = 25 होता है, इसलिए 5, 25 का एक फ़ैक्टर हुआ।
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   स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई करने के मतलब को समझें: स्क्वेर रूट को सिम्प्लिफ़ाई करने का मतलब ये है, आपको रेडिकेंड के अंदर से एक परफेक्ट स्क्वेर को, रेडिकल साइन के लेफ्ट में रखते हुए, बाहर निकालना है, और बाकी के फ़ैक्टर को रेडिकल साइन के अंदर ही रहने देना है। अगर वो नंबर एक परफेक्ट स्क्वेर है, तो आपके इसके रूट लिखने के बाद ही, रेडिकल साइन गायब हो जाएगा। उदाहरण के लिए, √98 को 7√2 जैसे सिम्प्लिफ़ाई किया जा सकता है।

सलाह

• परफेक्ट स्क्वेर्स निकालने का एक तरीका ये है, कि आप परफेक्ट स्क्वेर्स की लिस्ट में, अपने रेडिकैंड या रूट साइन के अंदर मौजूद नंबर की तुलना में अगले सबसे छोटे परफेक्ट स्क्वेर्स की तरफ देखें। nder the square root sign.उदाहरण के लिए, जब 27 के लिए परफेक्ट स्क्वेर्स की तलाश कर रहे हों, तब आपको पहले 25 से शुरू करना होगा, फिर लिस्ट में 16 तक जाना होगा और फिर जैसे ही आपको 27 को डिवाइड करने वाला 9 मिले, तब रुक जाएँ।

चेतावनी

• बड़े नंबर्स के लिए कैलकुलेशन आपके लिए मददगार हो सकते हैं, लेकिन आप जितना ज्यादा खुद से इसे करने की प्रैक्टिस करेंगे, ये आपके लिए उतना ही आसान होते जाएगा।
• किसी भी चीज़ को सिम्प्लिफ़ाई करना, उसे इवेल्यूएट (मूल्यांकन) करने जैसा नहीं होता। इस प्रोसेस में किसी भी पॉइंट पर आपको कभी भी डेसिमल पॉइंट वाला कोई नंबर नहीं मिलेगा