平方根を簡単にする方法

平方根を簡単にする方法は、見た目ほど難しいものではありません。数字を素因数分解して、出て来た完全平方数の平方根を根号の外に出すだけで、平方根を簡単にすることができます。よく使う完全平方の数を記憶して、素因数分解の方法を知れば、さらに簡単に平方根の書き換えができるようになります。

方法 1

方法 1 の 3:

素因数分解をして平方根を簡単にする

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数学の問題が解きやすくなるように、わかりやすい形に書き換えるために、平方根を簡単にします。素因数分解をすると、大きな数を２つ以上の小さい「因数」に分解することができます。たとえば、9は3x3に分解できます。因数を見つけたら、平方根を簡単な形に書き換えることができます。また、普通の整数に書き換えられる場合もあります。たとえば、√9=√(3x3)=3となります。さらに複雑な平方根を簡単にする手順を学ぶために、次のステップを見てみましょう。^{[1]X出典文献}
2
もっとも小さい素数で割る　根号の中の数字が偶数の場合、その数を2で割ります。そして、根号の中の数字が奇数の場合、その数を3で割ります。2でも3でも割り切れない場合、下の素数の一覧を見てみましょう。整数の答えが出るまで、他の素数で割り切れるかどうか計算します。素数でない数は素数を因数として持っているので、根号の中の数字は必ず素数で割りましょう。たとえば、根号の中の数を4で割る必要はありません。皆さんがご存知のように、4で割り切れる数は常に2でも割り切れます。^{[2]X出典文献}
- 2
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
因数はもれなく全て根号の中に書きましょう。たとえば、√98を簡単にしようとするとき、上記のステップに従うと、98÷2=49すなわち 98=2x49であることがわかります。√98=√(2x49)であることを利用して、根号の中の「98」を書き換えます。^{[3]X出典文献}
4
残りの数をさらに素数で割る　平方根を簡単にするために、因数に2乗の数が出るまで素因数分解を続けます。ここで平方根が意味するものについて考えてみると、次のようなことがわかります。√(2x2)という式は、「2乗すると2x2になる数」という意味です。もちろん、この数は2です。この考え方を踏まえて、例題の√(2x49)について、さらに素数で割りましょう。
- 2は上記の一覧にあるように、素数なので、これ以上素因数分解はできません。ここで2は一旦置いておいて、49を割ってみましょう。
- 49は、2でも3でも5でも割り切ることはできません。計算機を使ったり、筆算をすることによって、数字が割り切れるかどうかを確かめることができます。きれいに整数の商が出ないときは、別の素数で割ってみましょう。割り切れるまで計算を続けます。
- 49は7で割り切ることが「できます」。49÷7=7なので、49=7x7と表せます。
- 問題を次のように書き換えましょう。√(2x49)=√(2x7x7)
5
最後に整数を根号の「外に出す」　例題を素因数分解して２乗の数が出たら、その平方根の整数を根号の外に出すことができます。根号の中の残りの因数は移動しません。例題は次のように書き換えられます。√(2x7x7)=√(2)√(7x7)=√(2)x7=7√(2)^{[4]X出典文献}
- さらに素因数分解を続けられる場合でも、2乗の数がわかれば、それ以上計算を続ける必要はありません。たとえば、√(16)=√(4x4)=4となります。ここで素因数分解を続けても答えは同じになりますが、次の式のように、計算の手間が増えます。√(16)=√(4x4)=√(2x2x2x2)=√(2x2)√(2x2)=2x2=4
6
根号の外に2つ以上の整数がある場合、その数を掛け合わせる　大きい数の平方根の場合、根号の外に2つ以上の整数が出てくるときもあります。この場合、整数を掛け合わせて最終的な答えを出します。次の例を見てみましょう。
- √180=√(2x90)
- √180=√(2x2x45)
- √180=2√45　ですが、さらに平方根を簡単にできます。
- √180=2√(3x15)
- √180=2√(3x3x5)
- √180=(2)(3√5)
- √180=6√5
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2乗の数がない場合、「簡単にすることはできない」と書く　すでにこれ以上簡単にすることができない形の平方根もあります。根号の中の全ての因数が素数（上のステップに素数の一覧があります）になるまで素因数分解をして、２乗の数が出ないのであれば、平方根を簡単にすることはできません。これはひっかけ問題です。たとえば、√70を以下のように簡単にしてみましょう。^{[5]X出典文献}
- 70=35x2すなわち√70=√(35x2)
- 35=7x5より√(35x2)=√(7x5x2)
- 3つの数全てが素数なので、これ以上の素因数分解はできません。3つの数全てが異なっているので、整数を「根号の外に出せません」。よって、√70を簡単にすることはできません。
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方法 2

方法 2 の 3:

完全平方について知る

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1
完全平方数を覚える　ある数を2乗する、すなわち、同じ数を2つ掛け合わせると答えは完全平方数になります。たとえば、5x5すなわち5²の答えは25なので、25は完全平方数です。少なくとも、はじめの10個の完全平方数を覚えておけば、完全平方数の平方根を見つけて、即座に簡単にすることができます。1から10までの完全平方数を、以下に示します。
- 1²=1
- 2²=4
- 3²=9
- 4²=16
- 5²=25
- 6²=36
- 7²=49
- 8²=64
- 9²=81
- 10²=100
2
完全平方数の平方根を見つける　根号の中に完全平方数を見つけたら、即座に平方根にして根号（√）を外すことができます。たとえば、根号の中に25という数を見つけた場合、25は完全平方数なので、答えは5だということがわかります。根号のついた数字を整数の答えに書き換える式を、上記の完全平方数の一覧と同様にして、以下に示します。
- √1=1
- √4=2
- √9=3
- √16=4
- √25=5
- √36=6
- √49=7
- √64=8
- √81=9
- √100=10
3
素因数分解をして完全平方数を出す　次に述べる素因数分解の方法で平方根を簡単にすると、完全平方数によって計算を楽に進めることができます。因数に完全平方数を出すことができれば、時間と労力の節約ができます。では、そのコツを見てみましょう。^{[6]X出典文献}
- たとえば、√50=√(25x2)=5√2のように、数字の下２桁が25、50、75で終わる場合、常に25を因数に出すことができます。
- √1700=√(100x17)=10√17のように、下２桁が00で終わる場合、常に100を因数に出すことができます。
- √72=√(9x8)=3√8のように、因数に9がある場合、これを計算に利用することができます。9の倍数を見つけるコツがあります。「全ての」桁の数を足した合計が9ならば、常に9を因数に出すことができます。
- 特にコツがあるというわけではありませんが、√12=√(4x3)=2√3のように、下２桁の数が4で割り切れるかどうかを常に見ていると、完全平方数が見つかることがあります。因数を見つけたいときは、このことを頭に入れておきましょう。
4
一つの数を素因数分解して、2つ以上の完全平方数を出す　因数に2つ以上の完全平方数がある場合、完全平方数は全て根号の外に出しましょう。平方根を簡単にする過程で複数の完全平方数を見つけたとき、その完全平方数の平方根を√記号の外に移して、掛け合わせます。たとえば、√72を簡単にしてみましょう。
- √72=√(9x8)
- √72=√(9x4x2)
- √72=√(9)x√(4)x√(2)
- √72=3x2x√2
- √72=6√2
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方法 3

方法 3 の 3:

専門用語を知る

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たとえば、√25という式において、「√」は根号です。^{[7]X出典文献}
式を簡単にするには、被開平数の平方根を見つける必要があります。たとえば、√25という式において、「25」は被開平数です。^{[8]X出典文献}
係数は根号と掛け合わされている数です。それゆえ、係数は√記号の左側にあります。たとえば、7√2という式において、「7」は係数です。
たとえば、8÷4=2と割り切れるので、2は8の因数です。しかし、8÷3は答えが整数にならないので、3は8の因数ではありません。さらに一つ例を挙げると、5x5=25より、5は25の因数です。
平方根を簡単にするとは、被開平数を完全平方数を含む積の形に素因数分解して、出てきた完全平方数の平方根を根号の左につけることを言います。このとき、完全平方数以外の因数は根号の中に残します。根号の中の数が完全平方数の場合、平方根の数を書いて、根号を無くします。たとえば、√98を簡単にすると、7√2になります。
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ポイント

ある数を素因数分解して完全平方数を見つける一つの方法として、完全平方数の一覧を見るという手があります。被開平数すなわち根号の中の数字よりも小さい素数の中から最大の数を見つけて、その数から被開平数を割り切れるものを探していきます。たとえば、27の完全平方数の因数を見つけたい場合、25、16という順番で割り切れる素数を探していきます。そして、「9」のところで27を割り切れる素数を見つけることができます。