Karekök Nasıl Sadeleştirilir?

Bir karekökü sadeleştirmek göründüğü kadar zor değildir. Bir karekökü sadeleştirmek için yapman gereken sadece sayıyı çarpanlarına ayırmak ve bulduğun tam kareli ifadeleri karekök sembolünden çıkarmaktır. Birkaç yaygın tam kareyi ezberledikten ve bir sayıyı nasıl çarpanlarına ayıracağını öğrendikten sonra karekökü sadeleştirmek için önünde bir engel kalmayacak.

Yöntem 1

Yöntem 1 / 3:

Çarpanlarına Ayırarak Karekökü Sadeleştirmek

Makaleyi İndir

Bir karekökü sadeleştirmekteki amaç onu daha kolay anlaşılır bir biçimde yazmak ve matematik problemlerinde kullanmaktır. Çarpanlarına ayırma büyük bir sayıyı iki veya daha fazla küçük çarpanlara ayırır; örneğin, 9’u 3 x 3 yapar. Bu çarpanları bulduktan sonra karekökü daha basit bir biçimde yazabilir, hatta bazen normal bir tamsayıya dönüştürebilirsin. Örneğin, √9 = √(3x3) = 3. Daha karmaşık karekökler için bu işlemi öğrenmek üzere aşağıdaki adımları takip et.^{[1]XKaynağı araştır}
2
Mümkün olan en küçük asal sayıya böl. Eğer karekök içindeki sayı çift sayı ise onu 2’ye böl. Eğer sayın tek ise onu 3’e bölmeye çalış. Eğer bunların ikisi de sana tam sayı vermiyorsa bir tam sayıya ulaşana kadar diğer asal sayıları dene. Diğer sayıların çarpanlarında da asal sayılar olduğundan sadece asal sayıları denemen gerekir. Örneğin, 4’ü denemen gerekmez, çünkü 4’e bölünebilen herhangi bir sayı 2’ye de bölünebilir, ki zaten bunu denemiştin.^{[2]XKaynağı araştır}
- 2
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
Her şeyi karekök sembolü altında tut ve her çarpanı belirtmeyi unutma. Örneğin, eğer √98’i sadeleştiymeyi deniyorsan 98 ÷ 2 = 49, yani 98 = 2 x 49 olduğunu görmek için üstteki adımı takip et. Asıl karekök içindeki "98"i bu bilgiyi kullanarak yeniden yaz: √98 = √(2 x 49).^{[3]XKaynağı araştır}
4
Kalan sayılardan biriyle tekrarla. Karekökü sadeleştirmeden önce sayıyı iki özdeş kısıma ayırana kadar çarpanlarına ayırmaya devam ederiz. Karekökün ne anlama geldiğini düşündüğünde bu akla yatacaktır: √(2 x 2) demek "2 x 2'ye eşitlemek için kendisiyle çarpabileceğin sayı" anlamına gelir. Belli ki bu sayı 2! Bunu hatırda tutarak √(2 x 49) örnek problemimiz için yukarıdaki adımları tekrar edelim:
- 2’nin daha küçük bir çarpanı yoktur (başka bir ifadeyle bu, yukarıdaki listede yer alan asal sayılardan biri). Bunu şimdilik geçeceğiz ve 49’u bölmeye çalışacağız.
- 49, 2’ye, 3’e ya da 5’e eşit bir şekilde bölünemez. Bunu kendin bir hesap makinesi ya da uzun bölme işlemiyle test edebilirsin. Bu şekilde tam sayılı sonuçlara ulaşamayacağımız için bunları atlayarak denemeye devam edeceğiz.
- 49 yediye eşit bir şekilde bölünebilir. 49 ÷ 7 = 7, yani 49 = 7 x 7.
- Problemi yeniden yaz: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
5
Sadeleştirmeyi bir tam sayıyı "dışarı çıkarak" bitir. Problemi iki özdeş çarpana ayırdıktan sonra karekök dışına normal bir tam sayı olarak dışarı çıkarabilirsin. Diğer tüm çarpanları karekökün içinde bırak. Örneğin, √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).^{[4]XKaynağı araştır}
- Çarpanlarına ayırmaya devam etmek mümkünse bile, iki özdeş çarpan bulduktan sonra bunu yapmana gerek olmaz. Örneğin, √(16) = √(4 x 4) = 4. Eğer çarpanlarına ayırmaya devam etseydik aynı sonuca ulaşırdık ama daha fazla iş yapmak zorunda kalırdık: √(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4.
6
Birden fazla olması durumunda tam sayıları birbiriyle çarp. Bazı büyük kareköklerde birden fazla sadeleştirme yapabilirsin. Bu olduğunda, en sadeleşmiş sayıyı elde etmek için tam sayıları birbiriyle çarp. İşte bir örnek:
- √180 = √(2 x 90)
- √180 = √(2 x 2 x 45)
- √180 = 2√45, fakat bu daha da sadeleştirilebilir.
- √180 = 2√(3 x 15)
- √180 = 2√(3 x 3 x 5)
- √180 = (2)(3√5)
- √180 = 6√5
7
Eğer başka özdeş çarpan yoksa "sadeleştirilemez" yaz. Bazı karekökler zaten en basit biçimindedir. Eğer karekök içerisindeki her terim bir asal sayı (yukarıdaki adımlardan birinde verilmişti) olana kadar çarpanlara ayırmaya devam edersen ve hepsi farklı sayılarsa o zaman yapabileceğin bir şey yok. Zor bir soru ile karşı karşıya olabilirsin! Örneğin, √70’i sadeleştirmeye çalışalım:^{[5]XKaynağı araştır}
- 70 = 35 x 2, yani √70 = √(35 x 2)
- 35 = 7 x 5, yani √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
- Bu üç sayı da asal sayıdır, yani başka çarpanlara ayrılamazlar. Hepsi farklı, öyleyse bir tam sayıyı karekök dışına "çıkarmanın" bir yolu yok. √70 sadeleştirilemez.
Reklam

Yöntem 2

Yöntem 2 / 3:

Tam Kareleri Öğrenmek

Makaleyi İndir

1
Birkaç tam kare ezberle. Bir sayının karesini almak ya da onu kendisi ile çarpmak bir tam kare oluşturur. Örneğin, 25 bir tam karedir çünkü 5 x 5 ya da 5²’ye eşittir 25. En azından ilk on tam kareyi ezberlemek tam karekökleri tanımana ve hızlıca sadeleştirmene yardımcı olabilir. İşte ilk on tam kare:
- 1² = 1
- 2² = 4
- 3² = 9
- 4² = 16
- 5² = 25
- 6² = 36
- 7² = 49
- 8² = 64
- 9² = 81
- 10² = 100
2
Bir tam karenin karekökünü bul. Eğer kök işareti altındaki bir tam kareyi tanırsan onu hemen kareköküne dönüştürüp kök işaretinden (√) kurtulabilirsin. Örneğin, kök işareti altında 25 sayısını görürsen cevabın 5 olduğunu bilirsin çünkü 25 bir tam karedir. İşte karekökü ve cevabını gösteren yukarıdaki listenin bir benzeri:
- √1 = 1
- √4 = 2
- √9 = 3
- √16 = 4
- √25 = 5
- √36 = 6
- √49 = 7
- √64 = 8
- √81 = 9
- √100 = 10
3
Sayıları tam karelere ayır. Karekökleri sadeleştirmede çarpanlarına ayırma yöntemini takip ederken, tam kareleri kendi yararına kullan. Eğer bir tam kareyi çarpanlara ayırmanın bir yolunu fark edersen bu sana zaman ve emek tasarrufu sağlar. İşte bazı ipuçları:^{[6]XKaynağı araştır}
- √50 = √(25 x 2) = 5√2. Eğer bir sayının son iki basamağı 25, 50 veya 75 ile bitiyorsa daima 25’i bir çarpan olarak yazabilirsin.
- √1700 = √(100 x 17) = 10√17. Eğer son iki basamak 00 ile bitiyorsa daima 100’ü bir çarpan olarak yazabilirsin.
- √72 = √(9 x 8) = 3√8. Dokuzun katlarını tanımak çoğu zaman yardımcı olur. Bunun için bir püf noktası var: Eğer bir sayının tüm basamaklarının toplamı dokuz yapıyorsa dokuz daima bir çarpandır.
- √12 = √(4 x 3) = 2√3. Burada özel bir püf nokta yok, fakat küçük bir sayının 4’e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek daima kolaydır. Çarpanları ararken bunu aklında tut.
4
Birden fazla tam karesi olan bir sayıyı çarpanlarına ayır. Eğer sayının çarpanları arasında birden fazla tam kare varsa hepsini kök işaretinin dışına taşı. Eğer sadeleştirme işlemin sırasında birden fazla tam kare bulursan hepsinin karekökünü √ sembolünün dışına taşı ve hepsini birbiriyle çarp. Örneğin, √72’yi sadeleştirelim:
- √72 = √(9 x 8)
- √72 = √(9 x 4 x 2)
- √72 = √(9) x √(4) x √(2)
- √72 = 3 x 2 x √2
- √72 = 6√2
Reklam

Yöntem 3

Yöntem 3 / 3:

Terminolojiyi Bilmek

Makaleyi İndir

Örneğin, √25 probleminde "√", kök işaretidir.^{[7]XKaynağı araştır}
Bu sayının karekökünü bulman gerekecek. Örneğin, √25 probleminde "25" kök içidir.^{[8]XKaynağı araştır}
Bu sayı, karekökün çarpıldığı sayıdır; √ sembolünün soluna gelir. Örneğin, 7√2 probleminde "7" katsayıdır.
Örneğin, 2, 8’in çarpanıdır çünkü 8 ÷ 4 = 2, fakat 3, 8’in çarpanı değildir çünkü 8÷3 işleminin sonucu tam bir sayı değildir. Başka bir örnek olarak, 5, 25’in çarpanıdır çünkü 5 x 5 = 25.
Bir karekökü sadeleştirmek herhangi bir tam kareyi kök içinden kurtarmak, onu kök işaretinin soluna taşımak ve diğer çarpanı kök işareti içinde bırakmak demektir. Eğer sayı tam kare ise kökü yazdığında kök işareti kaybolur. Örneğin, √98 sadeleştirilerek 7√2 elde edilebilir.
Reklam

İpuçları

Bir sayının çarpanı olarak ayrılabilen tam kareleri bulmanın bir yolu da, kök içine göre en küçük olandan ya da karekök sembolünün altındaki sayıdan başlayarak tam kareler listesine bakmaktır. Örneğin, 27'ye giden tam kareyi ararken, 25'ten başlayıp listede 16'ya kadar inebilir ve 27'ye bölüneni bulduğunda 9'da durabilirsin.

Reklam

Uyarılar

Hesap makineleri büyük sayılar için faydalı olabilir, fakat kendi başına ne kadar pratik yaparsan bu işlem o kadar kolaylaşacaktır.
Sadeleştirme, çözme ile aynı değildir. Bu işlem sırasında ondalık basamağı olan bir sayı elde etmemelisin!

Reklam