Comment résoudre les problèmes de fractions en mathématiques

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Connaitre quelques généralités sur les fractions

Calculer des expressions avec des fractions

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Références

En mathématiques, les fractions sont toujours un peu redoutables à manipuler, surtout quand leurs dénominateurs sont différents. Avec un peu d'attention, tout devrait bien se passer. Apprenez bien votre cours, la terminologie aussi, puis exercez-vous encore et toujours à additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions. Conseil : une fois les opérations faites, vérifiez que tout a été exécuté dans les règles.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Connaitre quelques généralités sur les fractions

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   Sachez ce qu'est une fraction. C'est une expression mathématique avec un trait horizontal (« de fraction ») sur lequel il y a une valeur numérique ou littérale (numérateur) et sous lequel il y a une autre valeur (dénominateur). Ce dernier est une sorte de référence à un tout qui est divisé en parts et le numérateur précise combien de parts de ce tout sont pris réellement en compte. Quatre parts de gâteau mangées sur six parts totales font que vous avez mangé quatre sixièmes (${\frac {4}{6}}$) du gâteau .

   • Dans la fraction ${\frac {3}{5}}$, 3 est le numérateur et 5 est le dénominateur. Cette fraction signifie que sur un tout qui comporte 5 parties, on n'en considère que 3. Dans
     ${\frac {7}{8}}$, 7 est le numérateur et 8 le dénominateur.
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   Pour l'occasion, sachez transformer un chiffre en fraction. Pour cela, il suffit de lui adjoindre un dénominateur égal à 1. En fait, une fraction n'est rien d'autre qu'une division, celle du numérateur par le dénominateur. Or, 1 est l'élément neutre pour la division, c'est-à-dire que tout nombre divisé par 1 reste inchangé .

   • Pour transformer un chiffre en fraction, il suffit de la ramener sur 1 : $7={\frac {7}{1}}$.
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   Simplifiez éventuellement certaines fractions. Pour cela, vous devez trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur. Le PGCD est le plus grand nombre qui divise à la fois et exactement le numérateur et le dénominateur. Cela fait, divisez le numérateur et le dénominateur par ce plus grand commun diviseur .

   • Prenons un exemple : pour simplifier ${\frac {15}{45}}$, vous devez trouver le PGDC qui est ici 15, qui divise aussi bien 15 que 45. Cela fait, divisez le numérateur par 15, ce qui donne 1 et faites de même avec le dénominateur, ce qui donne 3. En conclusion, écrivez que : ${\frac {15}{45}}={\frac {1}{3}}$.
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   Sachez transformer un nombre fractionnaire en fraction impropre. Un nombre fractionnaire se compose d'un entier suivi d'une partie fractionnaire. Quand il s'agit d'opérations impliquant des nombres fractionnaires, éventuellement avec des fractions, il faut préalablement transformer les nombres fractionnaires en fractions dont les numérateurs seront supérieurs aux dénominateurs (c'est la définition d'une fraction impropre). Pour la transformation, multipliez la partie entière par le dénominateur de la partie fractionnaire, ajoutez le numérateur et ramenez le tout sur le dénominateur .

   • Transformoez $1\ {\frac {2}{3}}$ en fraction. Multipliez 1 (partie entière) par 3 (dénominateur), soit 3. Ajoutez 2 (numérateur), soit 5, puis ramenez le tout sur le dénominateur, soit 3. En conclusion, $1\ {\frac {2}{3}}={\frac {5}{3}}$.

   Conseil : le plus souvent, cette conversion des nombres fractionnaires en fractions impropres est nécessaire quand il faut les multiplier ou les diviser entre eux.
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   Sachez convertir une fraction impropre en un nombre fractionnaire. Souvent, l'opération de conversion du nombre fractionnaire est suivie de l'opération inverse, la reconversion en un nombre fractionnaire. Commencez par diviser le numérateur de la fraction impropre par son dénominateur, mais arrêtez-vous quand vous vous apprêtez à mettre une virgule au quotient. Prenez ce dernier, il constituera la partie entière du nombre fractionnaire. Récupérez ensuite le reste, mettez-le en numérateur d'une fraction dont le dénominateur sera le même que celui de la fraction de départ .

   • Supposons que l'on vous demande dans un exercice de transformer la fraction impropre ${\frac {17}{4}}$ en un nombre fractionnaire. Commencez par diviser 17 par 4
     (17 ÷ 4). Il y va 4 fois (quotient) et il reste 1 ( 4 x 4 = 16, ôté de 17). Le nombre fractionnaire égal à ${\frac {17}{4}}$ est : $4\ {\frac {1}{4}}$, 4 étant le quotient et 1 le reste.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Calculer des expressions avec des fractions

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   Additionnez les fractions ayant le même dénominateur. C'est simple, vous gardez ce dénominateur et vous additionnez les numérateurs. Le résultat est une fraction avec ce dénominateur et un numérateur qui est la somme des numérateurs des fractions .

   • La somme ${\frac {5}{9}}+{\frac {1}{9}}$ est facile à résoudre, car les deux dénominateurs sont identiques. Additionnez les deux numérateurs, puis rapportez au dénominateur :
     ${\frac {5}{9}}+{\frac {1}{9}}={\frac {(5+1)}{9}}={\frac {6}{9}}$, qui se simplifie en ${\frac {2}{3}}$.
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   Soustrayez des fractions fractions ayant le même dénominateur. Comme pour l'addition, vous gardez le dénominateur et vous soustrayez les numérateurs. Faites attention à l'ordre de la soustraction et aux signes, surtout dans le cas de soustractions de signe négatif .

   • La différence ${\frac {6}{8}}-{\frac {2}{8}}$ est facile à résoudre, les deux dénominateurs sont identiques. Soustrayez les deux numérateurs, puis rapportez au dénominateur :
     ${\frac {6}{8}}-{\frac {2}{8}}={\frac {(6-2)}{8}}={\frac {4}{8}}$, qui se simplifie en ${\frac {1}{2}}$.
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   Trouvez le PPCM. Pour additionner ou soustraire des fractions n'ayant pas les mêmes dénominateurs, réduisez-les au même dénominateur en trouvant le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs. Pour chaque fraction, multipliez le numérateur et le dénominateur par une même valeur en sorte que le dénominateur soit le commun multiple. Ensuite, vous pouvez additionner ou soustraire les numérateurs .

   • Pour additionner ${\frac {1}{2}}$ et ${\frac {2}{3}}$, commencez par chercher le PPCM. Ici, c'est 6, car
     2 x 3 = 3 x 2 = 6. Avec ${\frac {1}{2}}$, multipliez par 3 le numérateur et le dénominateur :
     1 x 3 = 3 et 2 x 3 = 6, ce qui donne ${\frac {3}{6}}$, le dénominateur est bien 6. Avec ${\frac {2}{3}}$, il faut avoir 6 en dénominateur et pour cela, multipliez par 2 le numérateur et le dénominateur : 2 x 2 = 4 et 3 x 2 = 6, ce qui donne ${\frac {4}{6}}$. Les deux fractions ayant le même dénominateur, additionnez les numérateurs : ${\frac {3}{6}}+{\frac {4}{6}}={\frac {7}{6}}$. Soyez très attentif à bien multiplier par les bons nombres. C'est une fraction impropre que vous pouvez convertir en nombre fractionnaire : ${\frac {7}{6}}=1\ {\frac {1}{6}}$.
   • Autre exemple : vous devez faire l'opération ${\frac {7}{10}}-{\frac {1}{5}}$. Ici, le dénominateur commun est 10, car 10 est multiple de 5. Il suffit donc ici de ramener la seconde fraction sur 10 en multipliant son numérateur et son dénominateur par 2 :
     ${\frac {1}{5}}={\frac {2}{10}}$, la première fraction est déjà sur 10. L'opération devient : ${\frac {7}{10}}-{\frac {2}{10}}$ et la réponse est ${\frac {(7-2)}{10}}$, soit ${\frac {5}{10}}$ qui, après simplification, par 5 devient ${\frac {1}{2}}$
     (${\frac {7}{10}}-{\frac {1}{5}}={\frac {1}{2}}$).
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   Sachez multiplier les fractions. Au préalable, si les fractions peuvent être simplifiées, faites-le. Ensuite, tracez un trait de fraction pour la réponse, mettez en numérateur le produit des numérateurs des fractions, et en dénominateur, le produit des dénominateurs des fractions .

   • Pour multiplier ${\frac {2}{3}}$ par ${\frac {7}{8}}$, multipliez les numérateurs (2 x 7 = 14), puis les dénominateurs (3 x 8 = 24), tracez le trait de fractions et disposez vos réponses dans le même ordre : ${\frac {2}{3}}\times {\frac {7}{8}}={\frac {2\times 7}{3\times 8}}={\frac {14}{24}}$. Simplifiez le résultat à sa plus simple expression en divisant des deux côtés par 2 : ${\frac {14}{24}}={\frac {7}{12}}$.
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   Divisez des fractions en faisant une multiplication. C’est original, mais c'est ce qu'il faut faire. Prenez l'inverse de la fraction diviseuse, ce qui revient à intervertir le numérateur et le dénominateur. Multipliez cette nouvelle fraction par la fraction du haut. Les numérateurs sont multipliés ensemble, tout comme les dénominateurs .

   • Exemple : divisez ${\frac {1}{2}}$ par ${\frac {1}{6}}$. Inscrivez l'inverse de ${\frac {1}{6}}$, soit ${\frac {6}{1}}(=6)$. Multipliez ce résultat par ${\frac {1}{2}}$, ce qui donne : ${\frac {1}{2}}\times {\frac {6}{1}}={\frac {1\times 6}{2\times 1}}={\frac {6}{2}}$ qui, après simplification, est égal à ${\frac {3}{1}}$ (division par 2), soit 3.
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Conseils

• Avec les fractions, il vaut lire deux fois plutôt qu'une l'énoncé afin de ne pas faire d'erreur et de désamorcer les pièges.
• Une fois les calculs faits, demandez à votre enseignant si le résultat doit être simplifié ou présenté sous une certaine forme (nombre mixte ou fraction impropre).
• Pour trouver l'inverse d'un entier, il suffit de le mettre sous 1. Ainsi, l'inverse de 5 est
  ${\frac {1}{5}}$.
• Une fraction ne peut jamais avoir de dénominateur égal à 0, car 0 n'a pas d'inverse : ce serait une faute et c'est une aberration mathématique.

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