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Dieser Artikel wurde unter Mitarbeit von Grace Imson, MA erstellt. Grace Imson ist eine Mathelehrerin mit mehr als 40 Jahren Unterrichtserfahrung. Grace ist derzeit Mathelehrerin am City College of San Francisco und war vorher am Math Department an der Saint Louis University tätig. Sie hat Mathematik auf der Ebene von Grundschulen, Sekundarschulen und Hochschulen unterrichtet. Sie hat einen Master in Erziehungswissenschaften mit dem Schwerpunkt auf Verwaltung und Betreuung von der Saint Louis University.
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Immer wenn du Messungen durchführst, kannst du davon ausgehen, dass es einen "wahren Wert" gibt, der irgendwo in dem Bereich deiner Messungen liegt. Um die Messunsicherheit zu bestimmen musst du nur die beste Schätzung aus deinen Messungen berechnen und die Streuung der Messwerte mit in Betracht ziehen um die Unsicherheit anugeben. Wenn du wissen willst wie die Messunsicherheit genau berechnet wird, folge dieser Anleitung.
Vorgehensweise
Gib die Messunsicherheit in einer ordentlichen Form an. Angenommen, du misst die Länge eines Stocks, der ungefähr 4,2 cm lang ist oder auch ein Millimeter mehr oder weniger. Das bedeutet, dass du weißt, dass der Stock ungefähr 4,2 cm lang, aber er könnte auch ein bisschen kürzer oder länger als diese Messung sein, und der Irrtum könnte einen Millimeter betragen.- Schreibe die Messunsicherheit folgendermaßen auf: 4,2 cm ± 0,1 cm oder 4,2 cm ± 1 mm, da 0,1 cm = 1 mm.
Runde den experimentellen Messwert immer auf die gleiche Dezimalstelle wie die Messunsicherheit. Messungen, die eine Berechnung der Unsicherheit enthalten, werden typischerweise so gerundet, dass sie eine oder zwei signifikante Stellen haben. Das Wichtigste ist, dass du deine experimentellen Messungen auf die gleiche Stelle rundest wie die Unsicherheit um konsistent zu bleiben.- Wenn deine experimentelle Messung 60 cm ist, dann sollte die Messunsicherheit auch auf eine ganze Zahl gerundet werden. Die Messunsicherheit für diese Messung könnte zum Beispiel als 60 cm ± 2 cm angegeben werden, aber nicht als 60 cm ± 2,2 cm.
- Wenn deine experimentelle Messung 3,4 cm, ist, dann sollte die Messunsicherheit auf 0,1 cm gerundet werden. Die Messunsicherheit für diese Messung könnte zum Beispiel 3,4 cm ± 0,7 cm sein, aber nicht 3,4 cm ± 1 cm.
Berechne die Messunsicherheit für eine Messung. Angenommen, du misst den Durchmesser eines runden Balles mit einem Lineal. Das ist nicht so leicht, denn da die Umgrenzung des Balles rund ist, kann man das Lineal nicht direkt anlegen. Angenommen, du kannst auf dem Lineal bis auf 0,1 cm genau ablesen -- das heißt aber noch nicht, dass du den Durchmesser auf diesem Genauigkeitsniveau angeben kannst.[1]- Schau dir die Grenzen des Balles und das Lineal an um ein Gefühl dafür zu bekommen wie genau du den Durchmesser angeben kannst. Auf einem Standard-Lineal sind die Markierungen für 0,5 cm deutlich zu sehen -- aber angenommen, du kannst es noch genauer ablesen. Wenn es so aussieht, als ob du es auf 0,3 cm genau ablesen kannst, dann ist deine Unsicherheit 0,3 cm.
- Miss nun den Durchmesser des Balles. Angenommen du erhältst 7,6 cm. Gib die Messung mit der Unsicherheit an. Der Durchmesser des Balles ist 7,6 cm ± 0,3 cm.
Berechne die Unsicherheit einer einzelnen Messung verschiedener Objekte. Angenommen, du misst einen Stapel mit 10 CD-Hüllen, die alle gleich dick sind. Angenommen, du möchtest die Dicke einer CD-Hülle messen. Diese Messung hat einen so kleinen Wert, dass deine Unsicherheit einen hohen Prozentanteil ausmacht. Aber wenn du 10 CD-Hüllen, die aufeinander liegen, misst, kannst du einfach das Ergebnis und die Unsicherheit durch die Anzahl der CD-Hüllen teilen um die Dicke einer Hülle zu erhalten.[2]- Angenommen, du kannst es auf 0,2 cm genau ablesen mit dem Lineal. Damit ist deine Unsicherheit ± 0,2 cm.
- Angenommen, die Messung aller CD-Hüllen auf einem Stapel ergibt eine Dicke von 22 cm.
- Teile jetzt die Messung und die Unsicherheit durch 10, der Anzahl der CD-Hüllen. 22 cm/10 = 2,2 cm und 0,2 cm/10 = 0,02 cm. Das bedeutet, dass die Dicke einer CD-Hülle 2,20 cm ± 0,02 cm ist.
Wiederhole deine Messungen. Um die Verlässlichkeit deiner Messungen zu erhöhen, egal ob du die Länge eines Objektes oder die Zeit, die ein Objekt braucht um eine bestimmte Distanz zurückzulegen, misst, erhöhst du deine Chance eine genaue Messung zu bekommen, wenn du mehrmals misst. Wenn du den Mittelwert deiner Messungen nimmst, bekommst du ein genaueres Bild über deine Messungen.Werbeanzeige
Methode 2
Methode 2 von 3:
Berechnung der Messunsicherheit bei wiederholten Messungen
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Miss mehrmals. Angenommen, du willst herausfinden wie lange ein Ball braucht um von Tischhöhe auf den Boden zu fallen. Um ein besseres Ergebnis zu bekommen, musst das wenigstens ein paar mal messen -- sagen wir fünf mal. Dann musst du den Mittelwert der fünf Messungen berechnen und dann die Standardabweichung zu dem Mittelwert addieren und subtrahieren um das bestmögliche Ergebnis zu bekommen.[3]- Angenommen, du hast folgende Zeiten gemessen: 0,43 s, 0,52 s, 0,35 s, 0,29 s, und 0,49 s.
Berechne den Mittelwert der Messungen. Berechne den Mittelwert indem du die fünf Zahlen addierst und das Ergebnis durch fünf teilst, die Anzahl der Messungen. 0,43 s + 0,52 s + 0,35 s + 0,29 s + 0,49 s = 2,08 s. Teile 2,08 durch 5. 2,08 s/5 = 0,42 s. Die Durchschnittszeit ist 0,42 s.
Berechne die Varianz dieser Messungen. Um dies zu tun, berechne erst die Differenz zwischen jeder der fünf Messungen und dem Mittelwert. Subtrahiere dafür die Messung von 0,42 s. Hier sind die fünf Differenzen:[4]- 0,43 s - 0,42 s = 0,01 s
- 0,52 s - 0,42 s = 0,1 s
- 0,35 s - 0,42 s = -0,07 s
- 0,29 s - 0,42 s = -0,13 s
- 0,49 s - 0,42 s = 0,07 s
- Addiere nun die Quadrate dieser Differenzen: (0,01 s)2 + (0,1 s)2 + (-0,07 s)2 + (-0,13 s)2 + (0,07 s)2 = 0,037 s2.
- Berechne den Mittelwert dieser aufaddierten Quadrate indem du das Ergebnis durch 5 teilst. 0,037 s2/5 = 0,0074 s2.
- 0,43 s - 0,42 s = 0,01 s
Berechne die Standardabweichung. Um die Standardabweichung zu berechnen, ziehe einfach die Wurzel aus der Varianz. Die Wurzel aus 0,0074 s2 = 0,09 s und damit ist die Standardabweichung 0,09 s.[5]
Gib das Ergebnis an. Um dies zu tun gib den Mittelwert der Messungen zusammen mit der addierten und subtrahierten Standardabweichung an. Da der Mittelwert 0,42 s und die Standardabweichung 0,09 s ist, ist das Ergebnis 0,42 s ± 0,09 s.Werbeanzeige
Messunsicherheiten addieren. Um Messungen mit Unsicherheiten zu addieren addiere einfach die Messungen und ihre Unsicherheiten, solange die Messungen und die Unsicherheiten in der gleichen Größenordnung sind:- (5 cm ± 0,2 cm) + (3 cm ± 0,1 cm) =
- (5 cm + 3 cm) ± (0,2 cm + 0,1 cm) =
- 8 cm ± 0,3 cm
Subtrahiere Messungen mit Unsicherheiten. Um Messungen mit Unsicherheiten zu subtrahieren subtrahiere die Messungen, aber addiere die Unsicherheiten, solange die Messungen und die Unsicherheiten in der gleichen Größenordnung sind:- (10 cm ± 0,4 cm) - (3 cm ± 0,2 cm) =
- (10 cm - 3 cm) ± (0,4 cm + 0,2 cm) =
- 7 cm ± 0,6 cm
Multiplizieren von Messungen mit Unsicherheiten. Um Messungen mit Unsicherheiten zu multiplizieren multipliziere die Messungen, aber addiere die Unsicherheiten, die du vorher in Prozentzahlen umgewandelt hast. Zum Beispiel:- (6 cm ± .2 cm) = (.2 / 6) x 100 and add a % sign. That is 3.3 %
Deshalb: - (6 cm ± .2 cm) x (4 cm ± .3 cm) = (6 cm ± 3.3% ) x (4 cm ± 7.5%)
- (6 cm x 4 cm) ± (3.3 + 7.5) =
- 24 cm ± 10.8 % = 24 cm ± 2.6 cm
- (6 cm ± .2 cm) = (.2 / 6) x 100 and add a % sign. That is 3.3 %
Division von Messungen mit Unsicherheiten. Um Messungen mit Unsicherheiten zu dividieren, dividiere die Messungen, aber addiere die Unsicherheiten, die du vorher in Prozentzahlen umgewandelt hast. Der Prozess ist derselbe wie bei der Multiplikation!- (10 cm ± .6 cm) ÷ (5 cm ± .2 cm) = (10 cm ± 6%) ÷ (5 cm ± 4%)
- (10 cm ÷ 5 cm) ± (6% + 4%) =
- 2 cm ± 10% = 2 cm ± 0.2 cm
Potenzen von Messungen mit Unsicherheiten. Um Messungen mit Unsicherheiten zu potenzieren, potenziere die Messungen, aber addiere die Unsicherheiten, die du vorher in Prozentzahlen umgewandelt hast.- (2.0 cm ± 1.0 cm)3 =
- (2.0 cm)3 ± (1.0 cm) x 3 =
- 8.0 cm ± 3 cm
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Tipps
- Du kannst Ergebnisse und ihre Standardunsicherheit für alle in einem angeben oder für jedes Ergebnis einzeln. Im Allgemeinen gilt, dass Ergebnisse von wiederholten Messungen weniger unsicher sind als Ergebnisse, die nur auf einer Messung beruhen.
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Warnungen
- Gute Wissenschaft diskutiert nicht über "Fakten" oder "Wahrheiten". Wahrscheinlich liegt das wirkliche Ergebnis in deinem Unsicherheitsbereich, aber es ist nicht garantiert. Wissenschaftliches Messen akzeptiert von Natur aus die Möglichkeit falsch zu liegen.
- Die hier beschriebenen Methoden die Unsicherheit anzugeben gelten nur für normalverteilte (Gauß-verteilte) Daten. Für andere Verteilungen muss die Unsicherheit gegebenenfalls anders dargestellt werden.
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Referenzen
- ↑ http://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/rallain/plab194/error.html
- ↑ http://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/rallain/plab194/error.html
- ↑ http://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/rallain/plab194/error.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
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Mathelehrerin
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