Eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umwandeln

Das dezimale Zahlensystem (Basis 10) hat für jeden Stellenwert zehn mögliche Werte (0,1,2,3,4,5,6,7,8 und 9), wohingegen das binäre Zahlensystem (Basis 2) für jeden Stellenwert nur zwei mögliche Werte besitzt, die als 0 oder 1 dargestellt werden.^{[1]XForschungsquelle} Da das Binärsystem die interne Sprache elektronischer Computer darstellt, sollten ernsthafte Computerprogrammierer wissen, wie man Zahlen aus dem Dezimal- in das Binärsystem umwandelt. In dieser Anleitung erfährst du anhand einiger einfacher Schritte, wie du diese Umwandlung meistern kannst.

Methode 1

Methode 1 von 2:

Division durch zwei mit Rest

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1
Notiere deine Aufgabe. Nehmen wir für dieses Beispiel an, dass du die Dezimalzahl 156₁₀ in eine Binärzahl umwandeln möchtest. Unterstreiche die Dezimalzahl und schreibe links daneben die Basis von dem Zahlensystem, in das du deine Zahl konvertieren möchtest. In unserem Fall ist das die "2" für das binäre Zahlensystem.
- Diese Methode lässt sich wesentlich einfacher verstehen, wenn man sie auf einem Blatt Papier vor sich hat. Außerdem ist sie besonders für Anfänger geeignet, da sie ausschließlich auf der Division durch 2 aufgebaut ist.
- Um Verwirrung vor oder nach der Umwandlung zu vermeiden, füge die Basis für das Zahlensystem, mit dem du gerade arbeitest, als Index an jede Zahl an. In unserem Fall erhält die Dezimalzahl den Index 10 und ihr binäres Gegenstück den Index 2.
2
Dividiere deinen Ausgangswert durch 2. Schreibe dein ganzzahliges Ergebnis (Quotient) unter deinen Ausgangswert und schreibe den Rest (0 oder 1) rechts daneben.^{[2]XForschungsquelle}
- Da wir durch 2 teilen, erhalten wir bei einem geraden Dividenden einen binären Rest 0 und bei einem ungeraden Dividenden einen binären Rest von 1.
Arbeite dich nach unten vor, indem du jeden neuen Quotienten durch 2 teilst und den Rest rechts neben jeden Dividenden schreibst. Höre damit auf, sobald dein Quotient 0 ist.
4
Schreibe deine neue Binärzahl auf. Lies die Ziffernfolge der Restwerte von ganz unten nach oben. In unserem Beispiel solltest du 10011100 ablesen können. Das ist die binäre Entsprechung von der Dezimalzahl 156. Falls du die Basis mitangeben möchtest, schreibst du: 156₁₀ = 10011100₂
- Diese Methode kann so modifiziert werden, dass du vom Dezimalsystem in jedes beliebige Zahlensystem umwandeln kannst. Der Divisor ist in unserem Beispiel immer 2, weil die Basis des gesuchten Zahlensystems 2 ist (binär). Falls du in ein anderes Zahlensystem umrechnen möchtest, ersetze die 2 mit der gewünschten Basis. Wenn das gewünschte Zahlensystem beispielsweise die Basis 9 hat, dann ersetze die 2 mit einer 9. Das Endergebnis wird sich dann in dem gesuchten Zahlensystem befinden.
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Methode 2

Methode 2 von 2:

Absteigende Zweierpotenzen und Subtraktion

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Liste darin die Zweierpotenzen von rechts nach links auf. Beginne bei 2⁰, was "1" entspricht. Erhöhe den Exponenten für jede Zweierpotenz um eins und notiere dir den ausgerechneten Wert. Führe die Liste fort, bis du eine Zahl erreicht hast, die sehr nah an der vorgegebenen Zahl aus dem Dezimalsystem liegt. Nehmen wir als Beispiel an, du möchtest die Dezimalzahl 156₁₀ in eine Binärzahl umwandeln.
Wähle die größte Zweierpotenz, die kleiner als deine umzuwandelnde Zahl ist. 128 ist die größte Zweierpotenz, die in 156 hineinpasst, also schreibe eine 1 unter das entsprechende Feld in deiner Tabelle, um die erste (ganz linke) Binärziffer zu erhalten. Subtrahiere anschließend 128 von deiner Ausgangszahl und du erhältst 28.
Bewege dich mit deiner neuen Zahl (28) entlang deiner Tabelle und notiere jeweils, wie oft die Zweierpotenz darin hineinpasst. 64 passt nicht in 28, also schreibe eine 0 unterhalb des entsprechenden Felds in deiner Tabelle. Mach solange weiter, bis du eine Zweierpotenz erreicht hast, die kleiner als 28 ist.
Subtrahiere jede nachfolgende Zahl, die in deine gegebene Zahl hineinpasst, und notiere eine 1 unter das entsprechende Feld in deiner Tabelle. 16 passt in 28, also schreibst du eine 1 unterhalb des entsprechenden Felds und subtrahierst 16 von 28, wodurch du 12 erhältst. 8 passt in 12, also schreibe eine 1 unterhalb des Tabelleneintrags für die 8 und subtrahierst 8 von 12. Du erhältst als Ergebnis 4.
Denke daran, dass du immer eine 1 unter jede Zweierpotenz setzt, die in deine neue Zahl hineinpasst, und ansonsten dort eine 0 notierst.
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Setze die Binärzahl zusammen. Deine Binärzahl entspricht genau der Zahlenfolge aus Nullen und Einsen, die du unter deiner Tabelle findest. In unserem Beispiel solltest du dort 10011100 ablesen können. Das ist die binäre Entsprechung der Dezimalzahl 156. Falls du die Basis mitangeben möchtest, schreibst du: 156₁₀ = 10011100₂
- Wenn du diese Methode oft genug wiederholst, wirst du die einzelnen Zweierpotenzen im Kopf beherrschen, wodurch du Schritt 1 weglassen kannst.
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Tipps

Der in deinem Betriebssystem integrierte Taschenrechner kann diese Umwandlung für dich übernehmen. Als Programmierer bist du aber oftmals besser beraten, diese Vorgehensweise im Schlaf zu beherrschen. Die Umrechnungsfunktionen des Taschenrechners kannst du anzeigen lassen, indem du das Menü "Ansicht" öffnest und die Option "Programmierer" auswählst.
Die Umrechnung in die andere Richtung, von Binärzahl in Dezimalzahl, ist am Anfang oftmals einfacher zu erlernen.
Übe diese Methoden. Versuche die Dezimalzahlen 178₁₀, 63₁₀, 8₁₀ umzuwandeln. Die binären Äquivalente sind 10110010₂, 00111111₂ und 00001000₂. Versuche außerdem 209₁₀, 25₁₀ und 241₁₀ zu 11010001₂, 00011001₂ und 11110001₂ umzuwandeln.