Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Beim binären Zahlensystem (zur Basis 2) hat jede Ziffer zwei mögliche Werte, oft als 0 oder 1 dargestellt. Im Gegensatz dazu besitzt das dezimale Zahlensystem (zur Basis 10) zehn mögliche Werte (0,1,2,3,4,5,6,7,8 und 9) für jede Ziffer. Um Verwechslungen bei der Verwendung verschiedener Zahlensystem zu vermeiden, kann die Basis jeder Zahl durch einen Index angegeben werden. So lässt sich zum Beispiel die Binärzahl 10011100 zur Basis zwei ausdrücken, indem man sie als 10011100₂ schreibt. Die Dezimalzahl 156 kann auch als 156₁₀ geschrieben und als "Einhundertsechsundfünfzig zur Basis zehn" gelesen werden. Da das Binärsystem die interne Sprache elektrischer Computer ist, sollten ernsthafte Computerprogrammierer wissen, wie sie Zahlen aus dem Binärsystem in das Dezimalsystem umwandeln. Die Umrechnung in die entgegengesetzte Richtung, vom Dezimalsystem in das Binärsystem, ist oftmals schwieriger zu erlernen.

Methode 1

Methode 1 von 2:

Verwendung der Stellenschreibweise

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Nehmen wir an, du möchtest die Binärzahl 10011011₂ in eine Dezimalzahl umwandeln. Schreibe sie als Erstes einmal auf und notiere darunter die einzelnen Zweierpotenzen von rechts nach links. Beginne bei 2⁰, was "1" entspricht. Erhöhe den Exponenten bei jeder Stelle um eins. Höre auf, sobald die Anzahl Elemente in der Liste gleich der Anzahl Ziffern der Binärzahl ist. Die Beispielzahl 100110011 hat acht Ziffern, also würden die Liste so aussehen: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.
Jetzt schreibst du die einzelnen Ziffern von 10011011 unter die Zahlen 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 und 1, so dass jeder Binärziffer unterhalb der entsprechenden Zweierpotenz steht. Die "1" ganz rechts in der Binärzahl sollte unterhalb der "1" ganz rechts bei den aufgelisteten Zweierpotenzen stehen, usw. Du kannst die Binärziffern auch über die Zweierpotenzen schreiben, wenn du das bevorzugst. Es ist nur wichtig, dass sie richtig angeordnet sind.
Beginne ganz rechts und zeichne nacheinander einzelne Linien ein, die jede Ziffer der Binärzahl mit der entsprechenden Zweierpotenz darüber verbindet. Beginne bei der ersten Ziffer der Binärzahl und zeichne eine Linie zur ersten Zweierpotenz. Wiederhole dies für jede Ziffer, bis alle Zahlen miteinander verbunden sind. Dies soll dir einen visuellen Eindruck von der Beziehung der beiden Zahlenreihen vermitteln.
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Schreibe die endgültigen Werte für jede Zweierpotenz auf. Gehe jede Ziffer der Binärzahl durch: Wenn die Ziffer 1 ist, schreibe die zugehörige Zweierpotenz unter die Linie. Wenn die Ziffer 0 ist, dann schreibe eine 0 unter die Linie.
- Von rechts nach links:
  Zweierpotenz "1" entspricht der Binärziffer "1" → 1
  Zweierpotenz "2" entspricht der Binärziffer "1" → 2
  Zweierpotenz "4" entspricht der Binärziffer "0" → 0
  Zweierpotenz "8" entspricht der Binärziffer "1" → 8
  Zweierpotenz "16" entspricht der Binärziffer "1" → 16
  Zweierpotenz "32" entspricht der Binärziffer "0" → 0
  Zweierpotenz "64" entspricht der Binärziffer "0" → 0
  Zweierpotenz "128" entspricht der Binärziffer "1" → 128
Addiere jetzt die Zahlen unterhalb der Linie zusammen: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Dies entspricht dem Dezimalwert der Binärzahl 10011011.
Nun musst du dein Ergebnis nur als 155₁₀ ausdrücken, um zu zeigen, dass es sich um eine Dezimalzahl handelt. Je mehr du dich mit der Umrechnung von Binär- in Dezimalzahlen beschäftigst, desto einfacher wirst du dir die Zweierpotenzen merken und desto schneller wirst du die Aufgaben erledigen können.
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Verwende diese Methode, um Binärzahlen mit Komma in Dezimalform umzuwandeln. Du kannst diese Methode auch dann anwenden, wenn du eine Binärzahl wie z.B. 1,1₂ in eine Dezimalzahl umrechnen möchtest. Dazu musst du nur wissen, dass du die Ziffern links vom Komma als normale Zweierpotenz ausdrückst, während die Ziffern rechts vom Komma als "halbe" Positionen gewertet werden, also 1 x (1/2).
- Die "1" links vom Komma entspricht 2⁰, also 1. Die 1 rechts vom Komma entspricht 2^-1, also 0,5. Addiere 1 und 0,5 und du erhältst 1,5. Dies entspricht dem Dezimalwert von 1,1₂.
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Methode 2

Methode 2 von 2:

Verwendung der Verdopplungsmethode

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Diese Methode verwendet keine Potenzen und vereinfacht daher die Umrechnung großer Zahlen im Kopf, da du nur über eine Zwischensumme den Überblick behalten musst. Notiere als Erstes die Binärzahl, die du mit Hilfe der Verdopplungsmethode umwandeln möchtest. Nehmen wir als Beispiel die Zahl 1011001₂.
Da wir von unserem Beispiel 1011001₂ ausgehen, ist die Ziffer ganz links eine 1. Deine bisherige Gesamtsumme ist 0, da du noch nichts gerechnet hast. Verdopple die Gesamtsumme (0) und addiere die aktuelle Ziffer (1). 0 x 2 + 1 = 1, also ist deine neue Gesamtsumme 1.
Deine Gesamtsumme ist nun 1 und die aktuelle Ziffer ist eine 0. Verdopple also 1 und addiere 0. 1 x 2 + 0 = 2. Deine neue Gesamtsumme ist 2.
Verdopple erneut deine Gesamtsumme (2) und addiere die nächste Ziffer (1) hinzu. 2 x 2 + 1 = 5. Deine neue Gesamtsumme ist 5.
Verdopple erneut deine Gesamtsumme (5) und addiere die nächste Ziffer (1). 5 x 2 + 1 = 11. Deine neue Gesamtsumme ist 11.
Verdopple deine Gesamtsumme (11) und addiere die nächste Ziffer (0). 2 x 11 + 0 = 22.
Verdopple deine Gesamtsumme (22) und addiere die nächste Ziffer (0). 22 x 2 + 0 = 44.
Jetzt hast du es fast geschafft. Verdopple ein letztes Mal die Gesamtsumme (44) und addiere die letzte Ziffer (1). 2 x 44 + 1 = 89. Damit hast du es geschafft. Du hast die Binärzahl 10011011₂ in die Dezimalzahl 89 umgewandelt.
Notiere dein Endergebnis als 89₁₀, um zu zeigen, dass es sich um eine Zahl im Dezimalsystem zur Basis 10 handelt.
Das Verdoppeln wird angewandt, weil es sich bei der gegebenen Zahl um eine Binärzahl (Basis 2) handelt. Falls eine Zahl eines anderen Zahlensystems gegeben ist, ersetze die 2 mit der Basis der gegebenen Zahl. Sollte es sich beispielsweise um eine Hexadezimalzahl handeln, dann ersetze das "x 2" mit "x 16". Das Endergebnis wird immer in Dezimalform (Basis 10) stehen. Beachte, dass die angezeigte Folie falsch ist und anstatt der Zahl "38" dort überall eine "39" hingehört.
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Tipps

Übe diese Methoden mit Hilfe der folgenden Beispiele: Versuche die Binärzahlen 110100012, 110012 und 111100012 umzurechnen. Die entsprechenden Dezimalwerte sind 20910, 2510 und 24110.
Der Taschenrechner in Microsoft Windows kann diese Konvertierung für dich übernehmen. Als Programmierer ist es allerdings besser, wenn du ein gutes Verständnis darüber hast, wie die Umrechnung funktionert. Um die Umrechnungsoptionen anzeigen zu lassen, öffne das Menü "Ansicht" und wähle die Option "Wissenschaftlich" (oder "Programmierer"). Unter Linux kannst du galculator verwenden.
Hinweis: Dieser Artikel bezieht sich NUR auf das Zählen und nicht auf ASCII-Übersetzungen.

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