كيفية حساب الجذر التكعيبي بطريقة يدوية

تنزيل المقال

تنزيل المقال

قد يكون إيجاد الجذر التكعيبي لأي رقم بالآلة الحاسبة مسألة ضغط أزرار فحسب، لكن ربما لا تتوافر الآلة الحاسبة لديك أو تحتاج لإبهار أصدقائك بقدرتك على حساب الجذر التكعيبي بدون آلة حاسبة. هناك عملية تبدو متعبة قليلًا في البداية لكنها ستنجح بسهولة نسبيًا مع الممارسة، وسيفيدك أن تتذكر بعض مهارات الرياضيات الأساسية وبعض الجبر المتعلق بالأرقام التكعيبية.

الخطوات

جزء 1

جزء 1 من 3:

حل مثال على الجذور التكعيبية

تنزيل المقال

1. 
   1
   جهز المسألة. سيبدو إيجاد الجذر التكعيبي لرقم ما كحل مسألة قسمة مطولة مع وجود بعض اختلافات واضحة. أول خطوة هي تجهيز المسألة بصيغة مناسبة.

   • اكتب الرقم الذي تريد إيجاد جذره التكعيبي. اكتب الأرقام المكونة للعدد في مجموعات ثلاثية مستخدمًا العلامة العشرية كنقطة بداية. سنجد الجذر التكعيبي للرقم 10 في هذا المثال، اكتبه بالصورة 10,000000 وسنستخدم الأصفار الإضافية لزيادة دقة الحل.
   • ارسم علامة الجذر على الرقم. يؤدي هذا نفس غرض شرطة القسمة المطولة لكن الفرق الوحيد هو شكل الرمز.
   • ضع علامة عشرية فوق الخط، تمامًا فوق العلامة العشرية للرقم الأصلي.
2. 
   2
   اعرف مكعبات الأرقام المفردة لأنك ستستخدمها في الحسابات، وهي كالتالي:

   • $1^{3}=1*1*1=1$
   • $2^{3}=2*2*2=8$
   • $3^{3}=3*3*3=27$
   • $4^{3}=4*4*4=64$
   • $5^{3}=5*5*5=125$
   • $6^{3}=6*6*6=216$
   • $7^{3}=7*7*7=343$
   • $8^{3}=8*8*8=512$
   • $9^{3}=9*9*9=729$
   • $10^{3}=10*10*10=1000$
3. 
   3
   جد أول رقم في الحل. اختر الرقم الذي يعطي عند تكعيبه أكبر نتيجة ممكنة تكون أصغر من مجموعة الأرقام الأولى المكونة من 3 خانات.

   • أول مجموعة من 3 أرقام في هذا المثال هي 10. جد أكبر مكعب كامل يكون أصغر من 10، هذا الرقم هو 8 وجذره التكعيبي 2.
   • اكتب الرقم 2 فوق خط الجذر. اكتب قيمة $2^{3}$ وهي 8 تحت الرقم 10 وارسم خطًا واطرح كما في القسمة المطولة تمامًا. النتيجة هي 2.
   • ستحصل على أول رقم من الحل بعد الطرح. يجب أن تحدد ما إذا كان هذا الرقم دقيقًا بما يكفي كنتيجة، ولن يكون كذلك في معظم الحالات. يمكنك التحقق من هذا بتكعيب الرقم المفرد وتحديد مدى قربه من النتيجة المطلوبة. يجب أن تستمر هنا لأن $2^{3}$ 8 فقط وهي ليست شديدة القرب من 10.
4. 
   4
   استعد لإيجاد الرقم التالي. انسخ مجموعة الأرقام التالية المكونة من 3 خانات في الباقي وارسم خطًا رأسيًا صغيرًا إلى يسار الرقم الناتج. سيكون هذا هو الرقم الأساسي لإيجاد الرقم التالي من حل الجذر التكعيبي، وفي هذا المثال يجب أن يكون 2000 الذي يتكون من 2 (باقي عملية الطرح السابقة) مع مجموعة الأصفار التي أنزلتها.

   • ستجد المقسوم التالي إلى يسار الخط الرأسي كناتج جمع 3 أرقام منفصلة. ارسم مساحات تلك الأرقام بوضع 3 شرطات سفلية فارغة مع علامات زائد بينها.
5. 
   5
   جد بداية المقسوم التالي. اكتب 300 أمثال مربع ما يوجد فوق علامة الجذر أيًا كان لإيجاد أول جزء من المقسوم. الرقم الموجود بالأعلى في هذه الحالة هو 2 و2^2 هو 4 و4*300=1200 لذا اكتب 1200 في الخانة الأولى. سيكون المقسوم في هذه الخطوة من الحل 1200 زائد شيء ستجده بعد ذلك.
6. 
   6
   جد الرقم التالي من حل الجذر التكعيبي. جد الرقم التالي من الحل باختيار ما يمكن ضربه في المقسوم، 1200- رقم ما تطرحه من بقية الرقم 2000 بعدها، وقد يكون 1 فقط لأن 2 مضروبة في 1200 ستكون 2400 وهو أكبر من 2000. اكتب الرقم 1 في الفراغ التالي فوق علامة الجذر.
7. 
   7
   حدد بقية المقسوم. يتكون المقسوم في هذه الخطوة من الحل من 3 أجزاء: أول جزء هو 1200 الذي أوجدته بالفعل ويجب أن تضيف حدين أخرين لإكمال المقسوم.

   • احسب الآن حاصل ضرب 3 في 10 في كل من الرقمين الموجودين بالحل فوق علامة الجذر، ما يعني في هذا المثال 3*10*2*1 وهي 60. أضف هذا إلى 1200 التي أوجدتها بالفعل لتحصل على 1260.
   • اجمع مربع الرقم الأخير في النهاية – وهو 1 في هذا المثال و1^2 لا زالت 1 – وبالتالي يصبح المقسوم الكلي 1200+60+1 أو 1261. اكتبه إلى يسار الخط الرأسي.
8. 
   8
   اضرب واطرح. أتم هذه الجولة من الحل بضرب الرقم الأخير – وهو في هذه الحالة 1 – في المقسوم الذي حسبته للتو، 1261,1*1261=1261. اكتب هذا تحت 2000 واطرح لتجد 739.
9. 
   9
   حدد ما إذا كنت ستستمر بذلك لمزيد من الدقة. يجب أن تفكر ما إذا كانت الإجابة دقيقة بما يكفي بعد أن تتم جزء الطرح من كل خطوة. كان الجذر التكعيبي للرقم 0 بعد عملية الطرح الأولى 2 فحسب وهذا ليس دقيقًا كفاية، أما الآن بعد التقريب الثاني فالحل هو 2,1.

   • يمكنك التحقق من دقة هذه النتيجة بتكعيب 2,1*2,1*2,1 وستكون النتيجة 9,261.
   • يمكنك التوقف إذا شعرت أن النتيجة دقيقة بما يكفي، أما إذا أردت إجابة أدق فعليك المتابعة وإتمام جولة أخرى.
10. 
    10
    جد مقسوم الجولة التالية. كرر الخطوات لجولة أخرى كما يلي في هذه الحالة لمزيد من التدريب وللحصول على إجابة أدق:

    • أنزل المجموعة التالية ثلاثية الأرقام. ستكون 3 أصفار في هذه الحالة وستتبع 739 لتحصل على 739000.
    • ابدأ المقسوم ب300 أمثال مربع الرقم الموجود فوق اخط الجذر حاليًا وهو $300*21^{2}$ أي 13200.
    • اختر الرقم التالي من الحل بحيث يسعك ضربه في 132300 ويكون الناتج أقل من الباقي 739000. سيكون 5 خيارًا جيدًا لأن 5*132300=661500. اكتب الرقم 5 في الفراغ التالي فوق خط الجذر.
    • جد 3 أمثال الرقم السابق الموجود فوق خط الجذر –وهو 21- في آخر رقم كتبته –وهو 5- في 10، وسيعطيك هذا $3*21*5*10=3,150$.
    • وأخيرًا ربع الرقم الأخير وهو $5^{2}=25.$
    • اجمع أجزاء المقسوم لتحصل على 132300+3150+25=135475.
11. 
    11
    اضرب المقسوم في الرقم الذي أوجدته في الحل. تابع كما يلي بعد حساب المقسوم في الجولة التالية وإضافة خانة أخرى للحل:

    • اضرب المقسوم في آخر رقم من أرقام الحل. 135475*5=677375.
    • اطرح 739000-677375=61625.
    • فكر ما إذا كان الحل 2,15 دقيقًا بما يكفي، وكعبه لتحصل على $2.15*2.15*2.15=9.94$.
12. 
    12
    اكتب الإجابة النهائية. النتيجة الموضحة فوق الجذر – وهي الجذر التكعيبي – دقيقة عند هذه النقطة لثلاثة أرقام. الجذر التكعيبي للرقم 10 في هذا المثال هو 2,15. تحقق من ذلك بحساب 2,15^3=9,94 وهي تقارب 10. واصل العملية قدر ما تشاء إذا أردت دقة أكبر.

جزء 2

جزء 2 من 3:

إيجاد الجذور التكعيبية بالتقدير المتكرر

تنزيل المقال

1. 
   1
   استخدم الأرقام المكعبة لوضع الحدود العليا والصغرى. ابدأ باختيار مكعب كامل قريب قدر الإمكان إذا طلب منك الجذر التكعيبي لأي رقم تقريبًا دون تجاوز الرقم المستهدف.

   • تذكر أن $8^{3}=512$ و$9^{3}=729$ (أو استخدم جدول الأرقام المكعبة) مثلًا إذا أردت إيجاد الجذر التكعيبي للرقم 600، لذا فإن الجذر التكعيبي للرقم 600 لابد أن يكون بين 8 و9. ستستخدم الأرقام 512 و729 كحدود عليا وسفلى لحلك.
2. 
   2
   قدر الرقم التالي. أتى أول رقم من معرفتك بأرقام مكعبة معينة. قدر رقمًا ما بين 0 و9 بناءً على موقع الرقم المستهدف بين الحدين لإيجاد الرقم التالي.

   • يقع الرقم المستهدف 600 في المنتصف بين 512 و729 في المثال الحالي لذا اختر 5 للرقم التالي.
3. 
   3
   اختبر تقديرك بتكعيبه. جرب ضرب القيمة التقديرية التي تعمل عليها حاليًا لترى مدى اقترابك من الرقم المستهدف.

   • اضرب $8.5*8.5*8.5=614.1.$ في هذا المثال.
4. 
   4
   عدل القيمة التقديرية حسب الحاجة. تحقق من النتيجة بمقارنتها بالرقم المستهدف بعد تكعيب آخر قيمة، إذا كانت أكبر من الرقم المستهدف فعليك تقليلها بمقدار 1 أو أكثر، أما إذا كانت أصغر منه فعليك زيادتها حتى تتجاوز الرقم المستهدف.

   • في هذه المسألة مثلًا $8.5^{3}$ أكبر من الرقم المستهدف 600 لذا يجب أن تقلل القيمة التقديرية إلى 8,4. كعب هذا الرقم وقارنه بالرقم المستهدف، ستجد أن $8.4*8.4*8.4=592.7$ وهذا أصغر من الرقم المستهدف لذا تعلم أن الجذر التكعيبي ل600 لابد أن يكون 8,4 على الأقل ولكن أصغر من 8,5.
5. 
   5
   قدر الرقم التالي لمزيد من الدقة. ستستمر بهذه العملية في تقدير الأرقام من 0 إلى 9 حتى تصبح إجابتك دقيقة كما تريد. ابدأ في كل جولة بملاحظة مكان الحساب الأخير بين الأرقام التي تشكل الحدود.

   • تظهر جولة التقدير الأخيرة في المثال الحالي أن $8.4^{3}=592.7$ بينما $8.5^{3}=614.1$. الرقم المستهدف 600 أقرب قليلًا إلى 592 منه إلى 614 لذا ابدأ في التقدير التالي باختيار رقم أقل من نصف المسافة بين 0 و9 بقليل. 4 تخمينٌ جيد وسيكون القيمة التقديرية للجذر التكعيبي 8,44.
6. 
   6
   استمر باختبار القيم التقديرية وتعديلها. كعب القيمة التقديرية وقارنها بالرقم المستهدف قدر الحاجة. يجب أن تجد الأرقام التي تقع تحت الرقم المستهدف وفوقه تمامًا.

   • ابدأ بإيجاد $8.44*8.44*8.44=601.2$ في هذا المثال. هذا بالكاد فوق الرقم المستهدف لذا قللها واختبر 8,43 فهذا سيعطيك $8.43*8.43*8.43=599.07$ وبالتالي ستعرف أن الجذر التكعيبي للرقم 600 أكبر من 8,43 وأقل من 8,44.
7. 
   7
   استمر قدر ما ترغب للدقة. استمر بخطوات التقدير هذه والمقارنة وإعادة التقدير حسب الحاجة حتى يصبح الحل دقيقًا قدر ما تشاء. لاحظ أن الأرقام المستهدفة ستزداد قربًا من الرقم الفعلي مع كل علامة عشرية.

   • في مثالنا للجذر التكعيبي للرقم 600 حصلنا على 8,43 حين استخدمنا رقمين عشريين وكنا على بعد أقل من 1 عن الرقم المستهدف. وحين استمرينا للرقم العشري الثالث نحصل على $8.434^{3}=599.93$ وهو أقل من الإجابة الفعلية ب0,1.

جزء 3

جزء 3 من 3:

فهم آلية عمل هذه العملية الحسابية

تنزيل المقال

1. 
   1
   راجع نظرية ذات الحدين. عليك أولًا تذكر نظرية ذات الحدين مع التكعيب لتفهم سبب نجاح هذه الطريقة في إيجاد الجذور التكعيبية؛ لقد تعلمت هذا في الغالب في مادتي الجبر 1 و2 في المدرسة الثانوية (وعلى الأرجح سرعان ما نسيته فيما بعد)! اختر متغيرين $A$ و$B$ لتمثيل الأرقام أحادية الخانات ثم أنشئ المعادلة ثنائية الحدين $(10A+B)$ لتمثيل الرقم المكون من خانتين.

   • استخدام الحد $10A$ هو ما يكون الرقم ذا الخانتين، وأيًا كان الرقم الذي تختاره للمتغير $A$ فإن $10A$ سيضعه في خانة العشرات فمثلًا إذا كان $A$ يساوي 2 و$B$ يساوي 6 فإن $(10A+B)$ تصبح 26.
2. 
   2
   حول ذات الحدين إلى معادلة تكعيبية. إننا نعمل بشكل معكوس هنا بتكوين المكعب أولًا ومن ثم معرفة سبب نجاح حل الجذور التكعيبية؛ علينا إيجاد قيمة $(10A+B)^{3}$ ويتم هذا بضرب $(10A+B)*(10A+B)*(10A+B)$، وهذا أطول من أن نوضحه هنا لكن النتيجة النهائية هي $1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}$.

   • يمكنك مراجعة ضرب ذات الحدين لمزيد من المعلومات عن فك ذات الحدين للحصول على هذه النتيجة. اقرأ حساب (س+ص)^ن بمثلث باسكال لنسخة مختصرة وأكثر تقدمًا.
3. 
   3
   اعرف معنى خوارزمية القسمة المطولة. لاحظ أن طريقة حساب الجذر التكعيبي تعمل كالقسمة المطولة، ففي الأخيرة تجد عاملين يُضربان في بعضهما البعض ليعطياك الرقم الذي بدأت به. الرقم الذي تحاول إيجاده هنا (الذي يتكون فوق علامة الجذر) في العملية الحسابية الموضحة هو الجذر التكعيبي، ويعني هذا أنه يمثل الحد(10A+B). قيم A وB الفعلية الآن غير مهمة ما دمت تعرف علاقتهما بالإجابة.
4. 
   4
   راجع المعادلة بعد فكها. يمكنك عند النظر إلى كثيرة الحدود بعد فكها أن ترى سبب تحقق خوارزمية الجذر التكعيبي. اعرف أن المقسوم في كل خطوة من الخوارزمية هو مجموع 4 حدود عليك حسابها وجمعها معًا، والحدود كما يلي:

   • يحتوي أول حد على أحد مضاعفات 1000. ستجد أولًا رقمًا يمكن تكعيبه ويظل ضمن نطاق القسمة المطولة لأول خانة من الرقم، وهذا سيعطيك الحد 1000A^3 في كثيرة الحدود.
   • أما الحد الثاني من ذات الحدين فمعامله 300 (ويرجع السبب إلى $3*10^{2}$) تذكر أن أول خانة في كل خطوة تضرب في 300 لحساب الجذر التكعيبي.
   • تنتج الخانة الثانية من كل خطوة في حساب الجذر التكعيبي عن الحد الثالث في مفكوك ذات الحدين، إذ يمكنك أن ترى الحد 30AB^2 في المفكوك.
   • الخانة الأخيرة لكل خطوة هي B^3.
5. 
   5
   لاحظ تزايد الدقة. كل خطوة تتمها بعد خوارزمية القسمة المطولة تزيد من دقة إجابتك، فمثلًا في نفس المثال المستخدم في هذه المقالة لإيجاد الجذر التكعيبي للرقم 10، في الخطوة 1 كان الحل 2 لأن $2^{3}$ مقاربة لكنها أقل من 10، في الحقيقة $2^{3}=8$. ستحصل على 2,1 في الجولة الثانية وحين تجربها ستجد $2.1^{3}=9.261$ وهذا أقرب بكثير للقيمة المرجوة 10. ستحصل على 2,15 بعد الجولة الثالثة ما يعطيك $2.15^{3}=9.94$. يمكنك متابعة العمل في مجموعات من 3 خانات لتحصل على إجابة دقيقة قدر الحاجة.

أفكار مفيدة

• التكرار له فوائده الكبيرة في التعليم كما في أي شيء آخر في الرياضيات، وكلما تدربت أكثر تحسنت في هذه العمليات الحسابية.

تحذيرات

• يسهل الوقوع في الأخطاء الحسابية، لذا تفقد حلك بحرص وراجعه.

الأشياء التي ستحتاج إليها

• قلم جاف أو رصاص
• ورقة
• مسطرة
• ممحاة