Küp Kök El İle Nasıl Hesaplanır?

Makaleyi İndir

Makaleyi İndir

Bu Makalede:

Örnek Bir Küp Kök Problemiyle Çalışmak

Tekrarlanan Tahminle Küp Kökleri Bulmak

Bu Hesaplamanın Nasıl Çalıştığını Anlamak

İlgili Makaleler

Referanslar

Hesap makinelerinin kullanımı ile birlikte herhangi bir sayının küp kökünü bulmak birkaç tuş uzağında olabilir. Fakat elinde hesap makinesi olmayabilir ya da arkadaşlarını küp kökleri el ile hesaplama yeteneğinle etkilemek istiyor olabilirsin. Bu süreç ilk başta biraz zahmetli görünebilir, ancak pratikle oldukça kolaylaşacaktır. Bazı temel matematik becerilerini ve küplü sayılar ile ilgili bazı cebir bilgilerini hatırlaman yararlı olacaktır.

Adımlar

Kısım 1

Kısım 1 / 3:

Örnek Bir Küp Kök Problemiyle Çalışmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Problemi kur. Bir sayının küp kökünü çözmek, birkaç özel farkla uzun bir bölme problemini çözmek gibi görünecektir. İlk adım, problemi uygun formatta kurmaktır.

   • Küp kökünü bulmak istediğin sayıyı yaz. Ondalık ayırıcıyı başlangıç yerin olarak kullanarak rakamları üçlü gruplar hâlinde yaz. Bu örnek için, 10'un küp kökünü bulacaksın. Bunu 10.000 000 olarak yaz. Fazladan 0'lar çözümde kesinlik sağlamak içindir.
   • Sayının üzerine bir küp kök işareti çiz. Bu, uzun bölme çizgisi ile aynı amaca hizmet eder. Tek fark, sembolün şeklidir.
   • Çizginin üzerine, asıl sayıdaki ondalık noktasının hemen üzerine bir ondalık nokta yerleştir.
2. 
   2
   Tek haneli sayıların küplerini bil. Bunları hesaplamalarda kullanacaksın. Bu küpler aşağıdaki gibidir:

   • $1^{3}=1*1*1=1$
   • $2^{3}=2*2*2=8$
   • $3^{3}=3*3*3=27$
   • $4^{3}=4*4*4=64$
   • $5^{3}=5*5*5=125$
   • $6^{3}=6*6*6=216$
   • $7^{3}=7*7*7=343$
   • $8^{3}=8*8*8=512$
   • $9^{3}=9*9*9=729$
   • $10^{3}=10*10*10=1000$
3. 
   3
   Çözümünün ilk rakamını bul. Kübü alındığında, ilk üç sayı kümesinden küçük, olası en büyük sonucu veren bir sayı seç.

   • Bu örnekte, ilk üç sayı kümesi 10'dur. 10'dan küçük olan en büyük tam küpü bul. Bu sayı 8 ve küp kökü 2'dir.
   • 2 sayısını kök çizgisinin üstüne, 10 sayısının üzerine yaz. 10 sayısının altına $2^{3}$ yani 8 değerini yaz, bir çizgi çiz ve uzun bölmede yaptığın gibi çıkar. Sonuç 2'dir.
   • Çıkarma işleminden sonra, çözümün ilk basamağını elde ettin. Bu tek rakamın yeterince kesin bir sonuç olup olmadığına karar vermelisin. Çoğu durumda olmayacaktır. Tek rakamın küpünü alarak kontrol edebilir ve istediğin sonuca yeterince yakın olup olmadığına karar verebilirsin. Burada, $2^{3}$ 8 olduğundan, 10'a çok yakın olmadığı için devam etmelisin.
4. 
   4
   Sonraki rakamı bul. Bir sonraki üç sayı grubunu kalanın yanına çek ve elde edilen sayının soluna küçük bir dikey çizgi çiz. Bu, küp kökün çözümünde bir sonraki basamağı bulmak için taban sayısı olacaktır. Bu örnekte, elimizdeki sayı aşağı çektiğin üç 0'lık grupla, önceki çıkarma işleminin kalanı olan 2'den oluşan 2000 sayısı olmalıdır.

   • Dikey çizginin solunda, üç ayrı sayının toplamı olarak sonraki böleni çözüyor olacaksın. Bu numaralar için aralarında artı işareti bulunan üç boş alt çizgi yaparak boşluklar bırak.
5. 
   5
   Sonraki bölenin başlangıcını bul. Bölenin ilk kısmı için, kök işaretinin üzerinde olanın karesinin üç yüz katını yaz. Bu durumda, üstteki sayı 2'dir, $2^{2}$ 4'tür ve 4*300 = 1200'dür. Öyleyse ilk boşluğa 1200 yaz. Çözümün bu adımı için bölen 1200, artı daha sonra bulacağın bir şey olacaktır.
6. 
   6
   Küp kök çözümünde bir sonraki sayıyı bul. Böleni 1200-bir şey ile çarpıp 2000'in geri kalanından çıkarabileceğin bir rakam seçerek çözümünün sonraki basamağını bul. Bu sadece 1 olabilir, zira 2 kere 1200, 2400 olacaktır, bu 2000'den büyüktür. Kök işaretinin üzerindeki bir sonraki boşluğa 1 rakamını yaz.
7. 
   7
   Bölenin geri kalanını belirle. Çözümün bu adımı için bölen üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm, zaten sahip olduğun 1200'dür. Böleni tamamlamak için buna iki terim daha eklemen gerekir.

   • Şimdi, 3 x 10 x (çözümünde kök işaretinin üzerinde bulunan iki basamağın her biri) çarpımını hesapla. Bu örnek problem için, bu 3 * 10 * 2 * 1 anlamına gelir, yani 60'tır. Bunu elindeki 1200'e eklersen 1260 elde edersin.
   • Son olarak, son basamağın karesini ekle. Bu örnek için, bu 1’dir ve $1^{2}$ yine 1'dir. Bu nedenle toplam bölen 1200 + 60 + 1 veya 1261'dir. Bunu dikey çizginin soluna yaz.
8. 
   8
   Çarp ve çıkar. Çözümünün son basamağını -bu durumda 1 sayısı- az önce hesapladığın bölen 1261 ile çarparak çözümün bu turunu tamamla. 1 * 1261 = 1261. Bunu 2000'in altına yaz ve çıkar; cevap 739 olacak.
9. 
   9
   Daha fazla doğruluk için devam edip etmeyeceğine karar ver. Her adımın çıkarma kısmını tamamladıktan sonra, cevabının yeterince kesin olup olmadığını düşünmen gerekir. 10'un küp kökü için, ilk çıkarmadan sonra küp kökün sadece 2 idi, ki bu çok hassas bir sonuç değil. Şimdi, ikinci turdan sonra çözüm 2,1'dir.

   • Bu sonucun hassasiyetini 2,1*2,1*2,1 şeklinde kontrol edebilirsin. Sonuç 9,261'dir.
   • Sonucunun yeterince kesin olduğuna inanıyorsan bırakabilirsin. Daha kesin bir cevap istiyorsan bir tur daha yapman gerekir.
10. 
    10
    Sonraki turun bölenini bul. Bu durumda, daha fazla alıştırma ve daha kesin bir cevap için aşağıdaki gibi adımları tekrarla:

    • Sonraki üç basamaklı grubu aşağı indir. Bu durumda, bunlar üç 0'dır ve kalan 739'u takip ederek 739.000 olur.
    • Bölene, 300 çarpı şu anda kök çizgisinin üzerindeki sayının karesiyle başla. Bu $300*21^{2}$, yani 132.300'dür.
    • Çözümünün sonraki basamağını öyle bir seç ki bunu 132.300 ile çarptıktan sonra kalan 739.000'den daha az olsun. 5*132.300 = 661.500 olduğundan 5 iyi bir seçim olacaktır. 5 rakamını kök çizgisinin üzerindeki bir sonraki boşluğa yaz.
    • 3 çarpı kök çizgisinin üstündeki önceki sayı (21) çarpı, az önce yazdığın son rakam (5) çarpı 10 işlemini yap. Bu, $3*21*5*10=3.150$ sonucunu verir.
    • Son olarak son hanenin karesini al. Bu, $5^{2}=25$ yapar.
    • Böleninin parçalarını ekleyerek 132.300+3.150+25 = 135.475 elde edersin.
11. 
    11
    Bölen ile çözüm sayını çarp. Bir sonraki turun bölenini hesapladıktan ve çözümüne bir basamak daha ekledikten sonra aşağıdaki gibi devam et:

    • Böleni çözümünün son hanesi ile çarp. 135.475*5=677.375.
    • Çıkarma işlemini yap. 739.000-677.375=61.625.
    • 2,15 çözümünün yeterince kesin olup olmadığını değerlendir. Küpünü alarak $2,15*2,15*2,15=9,94$ elde edersin.
12. 
    12
    Son cevabını yaz. Kök işaretinin üzerindeki sonuç, bu noktada üç anlamlı hane için doğru olan küp köktür. Bu örnekte, 10'un küp kökü 2,15'tir. 2,15^3 = 9,94 hesabını yaparak bunun 10'a yaklaştığını doğrula. Daha fazla doğruluğa ihtiyacın varsa işleme istediğin kadar devam et.
    Reklam

Kısım 2

Kısım 2 / 3:

Tekrarlanan Tahminle Küp Kökleri Bulmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Üst ve alt sınırları ayarlamak için sayıların kübünü kullan. Herhangi bir sayının küp kökü istenirse hedef sayını aşmadan, olabildiğince yakın olan bir tam küp seçerek başla.

   • Örneğin, 600'ün küp kökünü bulmak istiyorsan hafızandan (veya sayıların küpü tablosunu kullan) $8^{3}=512$ ve $9^{3}=729$ olduğunu hatırla. Bu nedenle, 600 küp kökü için çözüm 8 ile 9 arasında olmalıdır. Çözümün için üst ve alt sınırlar olarak 512 ve 729 sayılarını kullanacaksın.
2. 
   2
   Sonraki basamağı tahmin et. İlk basamak, belirli sayıların küpü hakkındaki bilginden geldi. Sonraki basamak için, hedef numaranın iki sınır numarası arasında nerede olduğuna bağlı olarak 0 ile 9 arasında bir sayı tahmin et.

   • Çalışma örneğinde, 600 hedefi, 512 ve 729 arasındaki sınır sayılarının yaklaşık ortasına denk geliyor. Bu nedenle, bir sonraki basamak için 5'i seç.
3. 
   3
   Tahminini onun küpünü alarak test et. Hedef sayıya ne kadar yaklaştığını görmek için şu anda çalıştığın tahmini çarpmayı dene.

   • Bu örnekte, $8,5*8,5*8,5=614,1$ işlemini yap.
4. 
   4
   Tahminini gerektiği gibi ayarla. Son tahmininin küpünü aldıktan sonra, sonucun hedef sayına göre nereye denk geldiğini kontrol et. Eğer sonuç, hedefin üzerindeyse tahminini bir veya daha fazla küçültmen gerekecektir. Eğer sonuç, hedefin altındaysa hedefi aşana kadar yukarı doğru ayarlaman gerekebilir.

   • Örneğin, bu problemde $8,5^{3}$, 600 hedefinden daha büyüktür. Bu yüzden tahmini 8,4'e düşürmelisin. Bu sayının küpünü al ve hedefinle karşılaştır. $8,4*8,4*8,4=592,7$ olduğunu göreceksin. Bu, hedefinden daha küçük. Bu nedenle, 600'ün küp kökünün en az 8,4 ancak 8,5'ten küçük olması gerektiğini biliyorsun.
5. 
   5
   Daha fazla kesinlik için sonraki rakamı tahmin et. Cevabın istediğin kesinlikte olana kadar 0'dan 9'a rakamları tahmin etme sürecine devam edeceksin. Her bir tahmin turu için en son hesaplamanın sınır sayıları arasında nereye denk geldiğini not ederek başla.

   • Bu çalışma örneğinde, son hesaplama turun $8,4^{3}=592,7$, $8,5^{3}=614,1$ olduğunu gösteriyor. 600 hedefi, 614'e kıyasla 592'ye biraz daha yakındır. O hâlde, bir sonraki tahminin için, 0 ile 9'un yarısından biraz daha küçük bir sayı seçerek başla. 4 iyi bir tahmindir ve böylece küp kök tahmini 8,44 olur.
6. 
   6
   Tahminini test etmeye ve ayarlamaya devam et. Gerektiği kadar tahmininin küpünü al ve hedefine kıyasla nasıl olduğunu gör. Hedef sayının hemen altında ve hemen üstünde olan sayıları bulman gerekir.

   • Bu çalışma örneği için $8,44*8,44*8,44=601,2$ olduğunu bularak başla. Bu hedefin çok az üstünde, bu yüzden aşağı in ve 8.43'ü test et. Bu sana $8,43*8,43*8,43=599,07$ sonucunu verecektir. Bu nedenle, 600'ün küp kökünün 8,43'ten fazla ve 8,44'ten küçük olduğunu biliyorsun.
7. 
   7
   İstediğin kesinliğe göre devam et. Çözümün arzu ettiğin kadar kesin olana dek, gerektiği kadar tahmin etme, karşılaştırma ve yeniden tahmin etme adımlarına devam et. Her ondalık basamakla birlikte, hedef sayılarının gerçek sayıya gittikçe yaklaştığına dikkat et.

   • 600’ün küp kökü örneğinde, iki ondalık basamak kullandığında (8,43) hedeften 1'den daha az uzaktaydın. Üçüncü bir ondalık basamağa devam edersen $8,434^{3}=599,93$’ün doğru cevaptan 0,1 az olduğunu bulacakın.
   Reklam

Kısım 3

Kısım 3 / 3:

Bu Hesaplamanın Nasıl Çalıştığını Anlamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Binom açılımı gözden geçir. Bu algoritmanın, küp kökleri bulmak için neden işe yaradığını anlamak için önce kübik genişlemenin bir binom için neye benzediğini hatırlaman gerekir. Muhtemelen bunu lisede Cebir veya Cebir II'de öğrenmişsindir (ve çoğu insan gibi muhtemelen kısa süre sonra unutmuş olabilirsin). Tek haneli sayıları temsil etmek için $A$ ve $B$ değişkenlerini seç. Ardından, iki basamaklı bir sayıyı temsil etmek için $(10A+B)$ binomunu oluştur.

   • $10A$ terimi ile iki basamaklı bir sayı oluşturulur. $A$ için hangi rakamı seçersen seç, $10A$ o rakamı onlar basamağına koyacaktır. Örneğin, $A$ 2 ve $B$ 6 ise $(10A+B)$ 26 olur.
2. 
   2
   Binomu bir küp hâline getir. Burada küp kök çözümünün neden işe yaradığını görmek için önce küpü oluşturarak geriye doğru çalışıyoruz. $(10A+B)^{3}$ değerini bulmamız gerekiyor. Bunu $(10A+B)*(10A+B)*(10A+B)$ ile çarparak yaparsın. Bu, burada gösterilemeyecek kadar uzun, ancak sonuç $1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}$ olacaktır.

   • Bu sonucu elde etmek üzere binom açılımı yapmak konusunda daha fazla bilgi için binom çarpımı konusuna göz at. Daha ileri, kısa bir yol için Pascal üçgeni ile (x+y)^n değerinin hesaplanması konusuna bak.
3. 
   3
   Uzun bölme algoritmasının amacını bil. Küp kökü hesaplama yönteminin uzun bölme gibi çalıştığına dikkat et. Uzun bölmede, birbiriyle çarpıldığında başladığın sayıyı verecek iki çarpan bulursun. Buradaki hesaplamada, çözdüğün sayı (kök işaretin üstüne gelen sayı) küp köktür. Bu, (10A+B) terimini temsil ettiği anlamına gelir. Sadece cevapla olan ilişkiyi anladığın sürece, gerçek A ve B şimdilik önemsizdir.
4. 
   4
   Genişletilmiş yolu incele. Genişletilmiş polinoma baktığında, küp kök algoritmasının neden işe yaradığını görebilirsin. Algoritmadaki her adımın böleninin, hesaplaman ve toplaman gereken dört terimin toplamı olduğunu bil. Bu terimler aşağıdaki gibi ortaya çıkar:

   • İlk terim 1000'in katlarını içerir. İlk terim, küp hâline getirilebilen ve ilk basamak için uzun bölme aralığı içinde kalan bir sayıdır. Bu, binom açılımda 1000A^3 terimini sağlar.
   • Binom açılımın ikinci terimi 300 katsayısına sahiptir (bu esasında, $3*10^{2}$ ifadesinden gelir). Küp kök hesaplamasında, her adımdaki ilk basamağın 300 ile çarpıldığını hatırla.
   • Küp kök hesaplamasının her adımındaki ikinci terim, binom açılımın üçüncü teriminden gelir. Binom açılımında 30AB^2 terimini görebilirsin.
   • Her adımın son basamağı B^3 terimidir.
5. 
   5
   Kesinliğin arttığını gör. Uzun bölme algoritmasını gerçekleştirirken tamamladığın her adım, cevabın için daha fazla kesinlik sağlar. Örneğin, bu makalede çalışılan örnek problem 10'un küp kökünü bulmaktır. İlk adımda çözüm 2'dir, çünkü $2^{3}$ 10'a yakın, ancak 10'dan küçüktür. Aslında, $2^{3}=8$'dir. İkinci turdan sonra 2,1'in çözümünü elde edersin. Bunu hesapladığında, istenen değer olan 10'a çok daha yakın olan $2,1^{3}=9,261$ değeri elde edilir. Üçüncü turdan sonra, 2,15 elde edersin ve bu, $2,15^{3}=9,94$ değerini verir. İhtiyacın kadar kesin bir cevap almak için üç basamaklı gruplar hâlinde çalışmaya devam edebilirsin.
   Reklam

İpuçları

• Matematikteki her şeyde olduğu gibi, pratik mükemmelleştirir. Ne kadar çok pratik yaparsan bu hesaplamada o kadar iyi olursun.

Reklam

Uyarılar

• Hesaplama hatası yapmak kolaydır. Çalışmanı dikkatlice kontrol et ve gözden geçir.

Reklam

İhtiyacın Olan Şeyler

• Tükenmez ya da kurşun kalem
• Kâğıt parçası
• Cetvel
• Silgi