كيفية إيجاد معادلة خط المماس

تنزيل المقال

تنزيل المقال

يتغير ميل المنحنى باستمرار كلما تحركت على الرسم البياني وذلك على عكس الخط المستقيم. يقدم حساب التفاضل والتكامل للطلاب فكرة أن كل نقطة على الرسم البياني يمكن وصفها بمنحدر أو "معدل فوري للتغير" ومن هنا نجد أن خط المماس هو خط مستقيم له درجة ميل، ويمر خلال هذه النقطة المحددة على الرسم البياني. لإيجاد معادلة خط المماس تحتاج أن تعرف كيفية أخذ مشتق المعادلة الأصلية.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 2:

إيجاد معادلة خط المماس

تنزيل المقال

1. 
   1
   ارسم الدالة وخط المماس (لتسهيل الحل). يسهّل الرسم البياني الوصول إلى حل المسألة ومعرفة أي الإجابات أكثر منطقية، لذا ارسم الدالة على ورقة رسم بياني باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بالرسوم البيانية إن كان ذلك ضروريًا لك ثم ارسم خط المماس بحيث يمر من خلال النقطة المحددة (تذكر أن خط المماس يمر خلال النقطة وله نفس درجة الميل الخاص بالرسم البياني عند تلك النقطة).

   • مثال 1: ارسم الرسم البياني للقطع المكافئ $f(x)=0.5x^{2}+3x-1$ ثم ارسم خط المماس يمر بنقطة (-6، -1).
     لا زالت معادلة خط المماس غير معلومة حتى الآن لكن يمكنك بالفعل أن تحدد أن الميل سوف يكون بالسالب وبأن قيمة y القاطعة بالسالب (قيمة y = -5.5). إن كانت إجابتك لا تطابق ذلك فعليك التحقق من عملك فربما كان هناك خطأ.
2. 
   2
   استخدم المشتقة الأولى لإيجاد معادلة الميل لخط المماس. بالنسبة للدالة (x)؛ تمثل المشتقة الأولى للدالة f(x) معادلة الميل لخط التماس لأي نقطة على دالة f'(x). توجد العديد من الطرق لأخذ المشتقات وإليك مثال بسيط باستخدام المشتقة الأولى:

   • مثال 1 : يتم وصف الرسم البياني بواسطة الدالة $f(x)=0.5x^{2}+3x-1$.
     استخدم قاعدة الأس عند أخذ المشتقة وعند أخذ المشتقات: ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$.
     عند أخذ المشتقة الأولى = f'(x) = (2)(0.5)x + 3 - 0.
     f'(x) = x + 3 عوّض بقيمة a عن x في هذه المعادلة وبالتالي فإن الناتج هو ميل خط المماس للدالة f(x) عند هذه النقطة حيث x = a.
3. 
   3
   عوّض بقيمة x في النقطة التي تتحقق منها. اقرأ المسألة لتكتشف إحداثيات النقطة التي تحاول إيجاد خط المماس لها ثم عوّض عن إحداثيات x لهذه النقطة في الدالة f'(x) ليكون الناتج هو ميل خط المماس عند هذه النقطة.

   • مثال 1: النقطة المحددة في المسألة هي (-6، -1). استخدم إحداثي -x الأول -6 كمُدخَل في الدالة f'(x):
     (-6) = -6 + 3 = -3
     ميل خط المماس هو -3.
4. 
   4
   اكتب معادلة خط المماس عند نقطة الميل. إن صيغة الميل لنقطة في معادلة خط المماس هي $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ حيث أن m هو الميل بينما $(x_{1},y_{1})$ هي النقطة على الخط. الآن أصبح لديك كل المعطيات التي تحتاجها لكتابة معادلة خط المماس بهذه الصيغة.

   • مثال 1: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
     ميل الخط =-3 وبالتالي $y-y_{1}=-3(x-x_{1})$
     يمر خط التماس خلال النقطة (-6 ، -1) لذا فإن المعادلة النهائية تكون $y-(-1)=-3(x-(-6))$
     والتي يتم تبسيطها إلى $y+1=-3x-18$
     $y=-3x-19$
5. 
   5
   تحقق من المعادلة على رسمك البياني. إن كان لديك آلة حاسبة للرسم البياني، ارسم الدالة الأصلية وخط المماس للتأكد من حصولك على الاجابة الصحيحة، بينما إن كنت تعمل على ورقة فسيكون عليك العودة إلى الرسم البياني الأول الخاص بك للتأكد من عدم وجود أخطاء في إجابتك.

   • مثال 1: أشار الرسم المبدHي إلى أن ميل المنحنى كان سالبًا وتقاطع y كان أقل بكثير من -5.5 ومن خلال معادلة ميل المماس نجد أن y = -3x - 19 على ميل الانحدار يعني أن الميل = -3 وأن القيمة -19 هي الجزء المقطوع من محور y. تتطابق هاتان النتيجتان مع النتيجة المتوقعة من قبل.
6. 
   6
   حاول حل مسائل معقدة أكثر. يمكنك إعادة العملية كلها مرة أخرى باستخدام أرقام مختلفة وفي هذه المرة فإن المطلوب إيجاد ميل المماس $f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1$ حيث x = 2:

   • استخدم قاعدة الأس للمشتقة الأولى $f'(x)=3x^{2}+4x+5$. تخبرنا هذه المعادلة بميل المماس.
   • بما أن x = 2 إذًا فإن $f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25$ وبالتالي يكون الميل عند x = 2.
   • لاحظ أنه لا توجد لديك نقطة محددة هذه المرة؛ أي لديك فقط إحداثيات x. لإيجاد إحداثيات y عوّض عن x = 2 في دالة الرسم المبدأي :$f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27$ وبالتالي تكون النقطة هي (2، 27).
   • اكتب معادلة خط المماس من نقطة الميل $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
     $y-27=25(x-2)$
     إن كان مطلوبًا، اختصر المعادلة وبسّطها إلى y = 25x - 23.

طريقة 2

طريقة 2 من 2:

حل مسائل مشابهة

تنزيل المقال

1. 
   1
   أوجد قيم النقاط المتطرفة على الرسم البياني. هذه هي النقاط حيث يصل الرسم البياني إلى أعلى نقطة محلية (نقطة أعلى من النقاط على كلا الجانبين) أو أقل نقطة محلية (وهى نقطة أقل من النقاط على كلا الجانبين). دائمًا ما يساوي ميل خط المماس على هذه النقاط صفر (خط أفقي) ولكن الميل بدرجة صفر لا يضمن وجود نقطة متطرفة. إليك كيفية إيجاد ذلك:

   • خذ المشتقة الأولى لتحصل على الاشتقاق الأول للدالة f'(x) وهى معادلة ميل خط المماس.
   • عوّض حيث f'(x) = 0 لإيجاد أقصى نقاط ممكنة.
   • خذ المشتقة الثانية لتحصل على الاشتقاق الثاني للدالة f'(x) وهي المعادلة التي تخبرك بسرعة تغير ميل المماس.
   • لكل نقطة متطرفة ضع قيمة النقطة a في محور الدالة f(x) للمشتقة الثانية. إذا كان ناتج الاشتقاق الثاني للدالة (a) موجبًا، فهناك قاع أدنى عند a وإن كان سالبًا فهذا يعني وجود قمة، أما إن كان = 0 فهذا يعني وجود نقطة انقلاب لا نقطة تطرف.
   • إن كان هناك قيمة قصوى أو دنيا للنقطة a فأوجد دالة (a) لتحصل على إحداثيات (y).
2. 
   2
   أوجد معادلة عمود السطح. عمود السطح بالنسبة لمنحنى عند نقطة معينة يمر بهذه النقطة ويكون له ميل عمودي على المماس. لإيجاد معادلة عمود السطح ضع في اعتبارك أن: (ميل المماس )*(ميل عمود السطح) = -1 وذلك عند مرور الاثنين في نفس النقطة على الرسم البياني:

   • أوجد الدالة f'(x) لميل خط المماس.
   • إذا كانت النقطة على x = a أوجد الدالة f'(a) لإيجاد ميل خط المماس لهذه النقطة.
   • احسب ${\frac {-1}{f'(a)}}$ لإيجاد الميل في الحالة العادية.
   • اكتب معادلة الميل لنقطة في صورتها الأصلية.

أفكار مفيدة

• ابدأ بكتابة المعادلة المبدأية إن كان ذلك ضروريًا في الصورة التقليدية وهى: دالة (x) = ... أو (y) = ...